特殊平行見邊形（知識梳理+21個高頻易錯考點(diǎn)）

考點(diǎn)分類目錄指引

知識梳理技巧點(diǎn)撥...............................................................................2

知識點(diǎn)梳理01：菱形.........................................................................2

知識點(diǎn)梳理02：矩形.........................................................................3

知識點(diǎn)梳理03：正方形.......................................................................3

優(yōu)選題型考點(diǎn)講練...............................................................................4

考點(diǎn)1：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度.........................................................4

考點(diǎn)2：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長.......................................................6

考點(diǎn)3：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積.........................................................8

考點(diǎn)4：矩形與折疊問題.....................................................................11

考點(diǎn)5：斜邊的中線等于斜邊的半............................................................16

考點(diǎn)6：添一條件使四邊形是矩形............................................................19

考點(diǎn)7：證明四邊形是矩形...................................................................22

考點(diǎn)8：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度........................................................25

考點(diǎn)9：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長......................................................29

考點(diǎn)10：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積.......................................................32

考點(diǎn)11：正方形折疊問題....................................................................35

考點(diǎn)12：求正方形重疊部分面積.............................................................38

考點(diǎn)13：根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度.....................................................41

考點(diǎn)14：根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長...................................................43

考點(diǎn)15：根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積.....................................................46

考點(diǎn)16：根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明.......................................................49

考點(diǎn)17：中點(diǎn)四邊形........................................................................54

考點(diǎn)18：利用（特殊）平行四邊形的對稱性求陰影面積.........................................57

考點(diǎn)19：（特殊）平行四邊形的動點(diǎn)問題......................................................59

考點(diǎn)20：四邊形中的線段最值問題...........................................................63

考點(diǎn)21：四邊形其他綜合問題...............................................................68

考點(diǎn)21：四邊形其他綜合問題...............................................................71

中考真題實(shí)戰(zhàn)演練..............................................................................75

難度分層拔尖沖刺..............................................................................81

基礎(chǔ)夯實(shí)...................................................................................81

培優(yōu)拔高...................................................................................89

日外知識梳理技巧點(diǎn)撥

知識點(diǎn)梳理01：菱形

1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2、菱形的性質(zhì)

(1)邊：四條邊都相等.

即AB=BC=CD=AD；

對邊平行.

即AD//BC.

(2)角：對角相等.

gPADAB=ZDCB,/ADC=/ABC

(3)對角線：對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角.

即AC1BD,OA=OC,OD=OB

平分NQ/4(N8C。)，BD(DB)平分/ABC(NADC)

(4)對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有2條對稱軸.

3、菱形的判定

(1)方法一(定義法)：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

(2)方法二：四條邊都相等的四邊形是菱形.

(3)方法三：對角線互相垂直的平行四邊形菱形.

4、菱形的面積

菱形的面積-底X高-兩對角線乘積的一半.

即5=底乂高=工4。?8。

知識點(diǎn)梳理02：矩形

1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2、矩形的性質(zhì)

（1）邊：對邊平行且相等.

AC/ICD^LAB=CD,AD//BC^AD=BC

（2）角：四個角都是直角.

即/ABC=/BCD=ZCDA=NDAB=90°

（3）對角線：對角線相等且互相平分，

即AC=BD,OA=OC=OB=OD

（4）對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有2條對稱軸.

3、矩形的判定

（1）方法一（定義法）：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）方法二：有三個角是直角的四邊形是矩形；

（3）方法三：對角線相等的平行四邊形是矩形.

知識點(diǎn)梳理03：正方形

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的的平行四邊形叫做正方形.

2、正方形的性質(zhì)

（1）邊：四條邊都相等.

即AB=BC=CD=AD；

對邊平行.

即4B//CD,AD!IBC.

（2）角：四個角都是直角.

即Z.ABC=NBCD=ZADC=ZBAD=90°

（3）對角線：對角線互相垂直平分且相等，每一條對角線都平分一組對角（對角線與邊的夾角為45。）.

即ACVBD.AC=BDADAC=NCAB=ZDCA=NACB=ZADB=ZBDC=NABD=ZDBC=45°

（4）對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有4條對稱軸.

3、正方形的判定

（1）方法一（定義法）：有一個角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.

（2）方法二：一組鄰邊相等的矩形是正方形.

（3）方法三：一個角是直角的菱形是正方形.

（4）方法四：對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.

（5）方法五：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.

優(yōu)選題型考點(diǎn)講練

考點(diǎn)1：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度

【典例精講】（2025?江西萍鄉(xiāng)?二模）（1）計算：V9-（-l）2025-（-5）°.

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD,過點(diǎn)B作BE_LAD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF_LCD于點(diǎn)F.求

證：AE=CF.

【答案】（1）3

（2）證明過程見詳解

【思路引導(dǎo)】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握算術(shù)平

方根，乘方，零次霜的計算，菱形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

（1）分別計算算術(shù)平方根，乘方，零次塞的結(jié)果，再進(jìn)行加減計算即可；

（2）根據(jù)題意得到四邊形ABCD是菱形，△ABE-Rt△CBF（AAS）,即可求解?.

【規(guī)范解答】解：（1）內(nèi)一（一1產(chǎn)025_（-5）。

=3+1-1

=3；

(2)VAB=BC=CD=AD,

???四邊形ABCD是菱形，

AZA=ZC,

VBE1AD.BF1CD,

/.ZAEB=ZCFB=90°,

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，Z.A=Z.C

zAEB=Z.CFB,

AB=CB

:.Rt△ABE三Rt△CBF(AAS),

???AE=BF.

【變式訓(xùn)練】（22-23八年級下?廣西桂林-階段練習(xí)）在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)0,￡為八8的中

⑴求乙ABC的度數(shù)；

⑵求菱形ABCD的面積.

【答案】（1）120。

（2）273

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)/為AB的中點(diǎn)，且DE1AB,得到AD=BD,結(jié)合菱形性質(zhì)得到AD=AB=BD,從

而得到△ADD是等邊三角形，即可得到々ABC的度數(shù)；

（2）根據(jù)4ABD是等邊三角形結(jié)合勾股定理求出DE直接求解即可得到答案.

【規(guī)范解答】⑴解：???￡為AB的中點(diǎn)，且DE_LAB,

/.AD=BD,

???四邊形ABCD是菱形，

,\AD=AB=BD,ZABC=2ZABD,

△ABD是等邊三角形,

AZABD=60°,

.LABC=120°；

（2）解：???AB=2,〃為AB的中點(diǎn)，

AAE=|AB=1,AD=2,

VDE1AB,

/.DE=V22-l2=V3,

**?^ABCD=2Xyj3—2V3.

【考點(diǎn)剖析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是得到4ABD是等

邊三角形.

考點(diǎn)2：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長

【典例精講】（24-25九年級上?陜西西安?期中）如圖，在AABC中，BA=BC,。是邊AC上的中點(diǎn)，延長

BO至點(diǎn)D,使得OB=OD,DE1BC于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）若CD=5,DE=4,求AC的長.

【答案】⑴見解析

⑵AC=275

【思路引導(dǎo)】本題主要考查平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解

答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理得出CE,BD,進(jìn)而利用菱形面積公式解答即可.

【規(guī)范解答】（1）證明：?.?。是邊AC上的中點(diǎn)，

:.AO=OC,

vOB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

vBA=BC,

四邊形ABCD是菱形；

（2）解：DE1BC,CD=5,DE=4,

zDEB=90°,

由勾股定理可知，CE=VCD2-DE2=V52-42=3,

由（1）可得BC=CD=5,

:.BE=BC+CE=8,

在Rt△DBE中，BD=VBE2+DE2=V82+42=475,

,S菱形ABCD=BC.DE=-AC?BD,

.?.5x4=IACx475，

:.AC=2V5.

【變式訓(xùn)練】（24-25八年級下-山東青島-階段練習(xí)）如圖1,在平行四邊形ABCD中，ZA=600,

AD=DC,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ADTDCTCB方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)B停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為X,

△APB的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為.

圖1圖2

【答案】2V6

【思路引導(dǎo)】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是

解此題的關(guān)鍵.先證明四邊形ABCD是菱形，根據(jù)圖1和圖2判定三角形ABD為等邊三角形，它的面積為6仃

解答即可.

【規(guī)范解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD-DC,

???四邊形ABCD是菱形，

D___________C

AAD=AB,

???匕A=60°,

??.△ABD為等邊三角形，

設(shè)AB=a,由圖2可知，當(dāng)P,D兩點(diǎn)重合時，4ABD的面積為6遍，

???△ABD的面積=^a2=673,

解得：a=2傷（負(fù)值已舍），

故答案為：2后.

考點(diǎn)3：根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積

【典例精講】（23-24八年級卜.?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)0,且

AO=C。，點(diǎn)E在BD上，滿足4EA0=NDC0.

（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；

⑵若AB=BC,CD=5,AC=8,求四邊形AECD的面積.

（3）在（2）的條件下，平行線AD與EC間的距離為______.

【答案】（1）見解析

⑵24

⑶g

【思路引導(dǎo)】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判斷和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形AECD

為菱形是關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可證明aAOE三ZkCOD,得到OD=OE,從而根據(jù)“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”

證明即可：

（2）根據(jù)AB=BC,AO=CO,可證明BD為AC的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據(jù)條件求出DE

的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可；

（3）根據(jù)等積法進(jìn)行求解即可.

【規(guī)范解答】（1）證明：在AAOE和△8口中，

rzEAO=ZDCO

AO=CO

LAOE=4COD

:.△AOEwZkCOD(ASA).

AOD=OE.

又???AO=CO,

.?.四邊形AECD是平行四邊形.

(2)VAB=BC,AO=CO,

???EO為AC的垂直平分線，BOIAC.

工平行四邊形AECD是菱形.

VAC=8,

:.CO=^AC=4.

在KtaCOD中，CD=5,

???OD=VCD2-CO2=V52-42=3,

DE=2OD=6,

S菱形AECD=叔E?AC=5x6x8=24,

???四邊形AECD的面積為24.

(3)VOD=3,AO=1AC=4,zAOD=90°,

/.AD=VAO2+DO2=5

設(shè)平行線AD與EC間的距離為x,

則SgAECD=AD-x=24,

解得X=g

故答案為：

【變式訓(xùn)練】(23-24九年級上-山東淄博?期末)我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的3

倍的三角形叫做和諧三角形，例如：某三角形三邊長分別是百，3,2,因?yàn)?國產(chǎn)+32=12=3x22,所

以這個三角形是和諧三角形.在平行四邊形ABCD中，AC1BD于點(diǎn)。AB=K，且4ABD是和諧三角形,

則該平行四邊形ABCD的面積為.(溫馨提示：?xVE=癡，a>0,b>0)

【答案】百或3

【思路引導(dǎo)】本題考查了新定義，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，埋解新定義，掌握性質(zhì)，能根據(jù)“和諧

三角形”中不同的第三邊進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

由菱形的判定方法得四邊形ABCD是菱形，①BD為第三邊時，由新定義得AD2+AB2=3BD2,再由菱形的性

質(zhì)得08=知=多由勾股定理得0A=JAB2—0B2=手，由菱形的面積得S菱形ABCD=3C.BD,即可

求解；②AB（或AD）為第三邊時，同理可求解.

【規(guī)范解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ACJLBD,

四邊形ABCD是菱形，

AD=AB=V3；

①如圖，BD為第三邊時,

△ABD是和諧三角形,

AD2+AB2=3BD2

2

???(75)2+(b)2=3BD,

解得：BD=V2：

OB=ABD=烏

22

OA=VAB2-OB2

=，(母-仔)

_/To

一T;

:.AC=20A=V10>

1

'S芟形ABCD=，AC?BD

1,—廣

=-xV10xV2

=心

②如圖，AB(或AD)為第三邊時,

△ABD是和諧三角形,

AD2+BD2=3AB2

(V3)2+BD2=3x(V3)2,

解得：BD=V6：

/.OB=2BD=匹

2

0A=VAB2-OB2

=（可一售）

=漁

_T,

:.AC=2OA=V6>

1

S菱形ABCD=aAC.BD

1=「

=-xV6xV6

乙

=3；

綜上所述：該平行四邊形ABCD的面積為遙或3.

故答案：訴或3.

考點(diǎn)4：矩形與折疊問題

【典例精講】（23-24九年級上?江蘇鹽城?期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，洛矩形ABCD

沿BE所在的直線折疊，C,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為C',D',連接AD'交BC'于點(diǎn)F.

/0

(1)若NDED'=68。，求4DAD'的度數(shù)；

(2)連接EF,試判斷四邊形C'D'EF的形狀，并說明理由.

【答案】(1)34。

⑵矩形，見解析

【思路引導(dǎo)】本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的判定，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌

握矩形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)犍.

(1)根據(jù)點(diǎn):E是AD的中點(diǎn)，沿BE所在的直線折疊，可得AAED’是等腰三角形，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即

可求解：

(2)如圖所示，連接EF,點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得四邊形BED'F是平行四邊形，如

圖所示，連接EC,EC',過點(diǎn)E作EG_LBC于點(diǎn)G,可證四邊形C‘D'EF是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得比’=

ZD=zC=ZD=90°,由此即可求證.

【規(guī)范解答】(I)解：???叫邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).

/.AE=DE,

???沿BE所在的直線折疊，C,D的時應(yīng)點(diǎn)分別為C',D,

DE=DE,

???AE=D'E,則△AED'是等腰三角形，

Z.ZD'AE=4AD'E,

VZDED'=68°,即ND'ED-ZD'AE+zAD'E-68°,

AZD'AE=zAD'E=IzDED'=68。=34°,

???/DAD'的度數(shù)為34。.

(2)解：如圖所示，連接EF,點(diǎn)H是BE上的一點(diǎn)，

???四邊形ABCD是矩形，

ADE||BC,zC=zD=90°,即CD1BC,

???沿BE所在的直線折存，C,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為C',D,

??.，C'=ZD*=zc=ZD=90°,C'FIIDE,BE是ZCBC/DED.的角平分線,

由(1)可知，ZEAD'=zED'A=|zDED',

AZED'A=ZD'EH,

AAD'IIBE,且BF||ED',

???四邊形BED'F是平行四邊形，則BF=ED',FD'=BE,

如圖所示，連接EC,EC',過點(diǎn)E作EGj.BC于點(diǎn)G,

???點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),EGIBC,

???點(diǎn)G是線段BC的中點(diǎn),則AE=DE=BG=CG,

在△BEG,△CEG中,

(BG=CG

ZBGE=ZCGE=90°,

IEG=EG

:.△BEGwZkCEG(SAS),

/.BE=CE,Z.EBG=Z.ECG,

???沿BE所在的直線折疊，C,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為C',D,

/.ZC=Z.D=Z.C=ZD=90°,CF||DE,ZGBE=Z.FBE,

在ABCEGBCE中,

BC'=BC

ZCBE=ZCBE,

BE=BE

???△BC'EwZkBCE(SAS),

EC=EC,Z.BCE=Z.BCE,

AEC=EC=EB,

AEC'=FD',

???四邊形C'D'EF是平行四邊形,

vzc'=ND'=zC=zD=90°,

???平行四邊形C'D'EF是矩形.

【變式訓(xùn)練】如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，將△ADE沿直線AE折疊,

當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，DE的長為

【思路引導(dǎo)】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)題意分兩種

情況①點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，②點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的外面，過點(diǎn)F作FN1AB于點(diǎn)N,

延KNF交DC于點(diǎn)M,構(gòu)造直角二的形.結(jié)合矩形的性質(zhì)和判定,折疊的性質(zhì).垂直平分線性質(zhì).勾股定理

求解，即可解題.

【規(guī)范解答】解：①點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部,

過點(diǎn)F作FNJLAB于點(diǎn)N,延長NF交DC于點(diǎn)M,

???四邊形ABCD為矩形,

.-.zD=zDAN=90°,

vzFNA=90°,

四邊形ANMD為矩形，

vAD=5,AB=8,

...MN=AD=5,

???點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上，

.?.AN=AAB=4=DM,

由折疊的性質(zhì)可知AF=AD=5,DE=EF,

NF=VAF2-AN2=3,

:.MF=MN—NF=2,

VME=DM-DE=4-DE,ME2+MF2=EF2,

(4-DE)2+22=DE2,

解得DE.

②點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的外面，

過點(diǎn)F作FN1AB于點(diǎn)N,延長NF交DC于點(diǎn)M,

由①同理可得Al；=AD=5,DE=EF,四邊形ANMD為矩形,

MN=AD=5,DM=AN=4.

NF=3,

vMF2+ME2=EF2,

.??(5+3產(chǎn)+(DE—4產(chǎn)=DE2,

解得DE=10,

綜上所述DE的長為2.5或10,

故答案為：2.5或10.

考點(diǎn)5：斜邊的中線等于斜邊的半

【典例精講】（2025?河南周口?三模）如圖，菱形ABCD中，BC=10,對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A

作AE_LBC,交邊BC于點(diǎn)E,連接EO,若EO=0M,則菱形的面積為.

【思路引導(dǎo)】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，由菱形的性質(zhì)可得A0=co=JAC,

AC1BD,BD=2BO,由直角三角形的性質(zhì)可得OC=E。=g,AC=2依，由勾股定理求出BO=3

VTO,即可得出BD=6SM,最后由菱形的性質(zhì)計算即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的

關(guān)鍵.

【規(guī)范解答】解：???四邊形ABCD為菱形,

/.AO=CO=1AC,AC1BD,BD=2B0,

VAE1BC,EO=Vlo,

AOC=EO=V10,AC=2-/10,

BO=VBC2-OC2=3V10,

BD=2BO=6^10>

???菱形的面積為xAC=lx6y/wx2Vw=60,

故答案為：60.

【變式訓(xùn)練】（2025?安徽阜陽?三模）在△ABC中，zABC=a（a>90°）,AB=BC,D是AC上一點(diǎn)，連接

BD,將BD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)a,得到BE,作EH_LAB交直線AB點(diǎn)H,交直線AC于點(diǎn)F.

(1)若〃重合，求證：點(diǎn)D是AF的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)E在4BAC內(nèi)，作EG||AB交AC于點(diǎn)G,判斷AD與FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)AD=1FG,見解析

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三

角形的性質(zhì)與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)先由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到4A=ZACB=90。一天，則由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BE,Z

DBE=a,則4BDE=NBED=90O—ga,據(jù)此可證明4A=/BED,得至iJAD=DE,再證明NF=4DEF,得到

DE=DF,據(jù)此可證明結(jié)論；

(2)取FG的中點(diǎn)為M點(diǎn)，連接EM.由平行線的性質(zhì)得到NFEG=zH=90。，則EM=GM=抑，即有NMGE=

4MEG,進(jìn)而得到NCME=24MGE：進(jìn)而可得4CME=2NA：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BE/DBE=4

ABC=a,則可證明△ABD三△CBE（SAS）,得到AD=CE,Z.BCE=Z.A=Z.ACB,則可證明z_ECM=z_CME,

得到CE=EM,則AD=EM=1FG.

【規(guī)范解答】（1）證明：???AB=BC,ZABC=a（a>90°）

???ZA=ZACB=I8。丁"=90°-1a

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BE,ZDBE=a,

18O0-ZDBE

ZBDE=ZBED==90。一件

2

/.ZA=ZBED,

AAD=DE.

VEFlAB,

??.ZA+zF=90°,zBED+上DEF=90°,

AZF=zDEF,

ADE=DF,

--.AD=DF,即點(diǎn)D是AF的中點(diǎn)；

（2）解：AD=1FG,證明如下：

如圖,取FG的中點(diǎn)為M點(diǎn),連接EM.

VEG||AB,

AZFEG=ZH=90°,

???,#是FG的中點(diǎn)，

.'EM=GM=1FG,

AZMGE=4MEG,

Z.zCME=zMGE+zMEG=2zMGE；

VEG||AB,

zMGE=zA,

ZCME=2Z.A；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BE/DBE=zABC=a,

zABD=Z.CBE=a—zDBC,

XVAB=BC,

△ABDsACBE(SAS),

AD=CE,Z.A=zBCE,

VAB=BC,

/.zBCE=NA=Z.ACB,

Z.zECM=zACB+zBCE=2zACB,

.,.ZECM="ME,

,\CE=EM,

AAD=EM=1FG.

考點(diǎn)6：添一條件使四邊形是矩形

【典例精講】（24-25八年級下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交

于點(diǎn)0,動點(diǎn)E以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向運(yùn)動，點(diǎn)F同時以每秒2個單位長度的速度從

點(diǎn)發(fā)沿CA方向運(yùn)動，若AC=8,BD=5,則經(jīng)過秒時，四邊形BEDF是矩形.

【答案】9或?

【思路引導(dǎo)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握矩形的判定是解題關(guān)鍵.設(shè)經(jīng)

過t秒時，四邊形BEDF是矩形，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得0A=0C=：AC=4,OB=0D=|BD=|,

再分兩種情況：①0<tv2和②2<t<4,證出四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定可得要使平行

四邊形BEDF是矩形，貝懦EF=BD,即0E=0B,由此即可得.

【規(guī)范解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，四邊形BEDF是矩形，

由題意得：AE=CF=2t,

VAC=8,

???點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C所需時間為募=4秒；當(dāng)點(diǎn)E,F相遇時，2t+2t=8,

解得t=2,此時。￡=(^=4=#(：,點(diǎn)￡下在點(diǎn)。相遇，

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,AC=8,BD=5,

OA=OC=IAC=4,0B=OD=1BD=|.

①如圖1,在點(diǎn)E,F相遇前,即0vtv2,

圖1

.??OA-AE=OC-CF=4-2t,即OE=OF=AEF,

XVOB=OD,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

要使平行四邊形BEDF是矩形，則需EF=BD,即。E=OB,

.\4-2t=1,

解得t=；，符合題設(shè)；

②如圖2,在點(diǎn)E,F相遇后,即2vt<4,

圖2

???AE-OA=CF-OC=2t-4,即0E=OF=1EF,

又YOB=OD,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

要使平行四邊形BEDF是矩形，則需EF=BD,即0E=0B,

解得t=f,符合題設(shè)：

綜上，經(jīng)過，或?秒時，四邊形BEDF是矩形，

故答案為：［或

【變式訓(xùn)練】(24-25九年級上?河南平頂山?期中)如圖，AH是aABC的高，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),

點(diǎn)P在BC上，F(xiàn),G分別是BP,PC的中點(diǎn)，連接AP,DE,DF,GE.

⑴求證：四邊形DFGE是平行四邊形；

(2)若AH=8,BH=8,HC=2.填空：

①當(dāng)BP=_時，四邊形DFGE是矩形；

②當(dāng)BP=_時，四邊形DFGE是菱形.

【答案】⑴見解析

⑵①8：②2

【思路引導(dǎo)】本題考杳了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定、勾股定理、三角形的中位線等知

識，熟練掌握知識點(diǎn)推理證明是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中點(diǎn)，得出DE是△ABC的中位線，DF是aABP的中位線，EG是4ACP的中位線，根據(jù)三角形中

位線的性質(zhì)，得出DEIIBC,DFHAP,EGHAP,則DE||FG,DF||EG,根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形”，即可證明四邊形DFGE是平行四邊形；

(2)①當(dāng)BP=8時，點(diǎn):P和點(diǎn)H重合，得出DF是AABH的中位線，則DF||AH,推出乙DFG=/AHC=90。，

根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，即可得出此時四邊形DFGE是矩形；

②當(dāng)BP=2時，求出BC=BH+HC10,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得出DE=5,DF=|AP,當(dāng)BP=2時,

求出PH=BH-BP=6,根據(jù)勾股定理計算AP=，AH2+P#=10,得出DF=DE,根據(jù)“一組鄰邊相等

的￥行四邊形是菱形”，即可得出此時四邊形DFGE是菱形.

【規(guī)范解答】(1)證明：YD,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上，F(xiàn),G分別是BP,PC的中點(diǎn)，

???DE是aABC的中位線，DF是4ABP的中位線，EG是4ACP的中位線，

ADEIIBC,DFHAP,EGHAP,

ADEHFG,DFHEG,

???四邊形DFGE是平行四邊形；

(2)解：①當(dāng)BP=8時，四邊形DFGE是矩形，理由如下，

VBH=8,

???當(dāng)BP=8時，點(diǎn)P和點(diǎn)H重合,

???此時點(diǎn)F也是BH的中點(diǎn),

?.”是AB的中點(diǎn)，

???此時DF是AABH的中位線，

???DFIIAH,

???AH是aABC的高，

AZAHC=90°,

AZDFG=ZAHC=90°,

由：由(1)得四邊形DFGE是平行四邊形，

??.此時四邊形DFGE是矩形，

故答案為：8：

②當(dāng)BP=2時，四邊形DFGE是菱形，理由如下，

VBH=8,HC=2,

ABC=BH+HC=8+2=10,

rtl(1)得DE是△ABC的中位線，DF是AABP的中位線，四邊形DFGE是平行四邊形,

ADE=1BC=1x10=5,DF=；AP,

當(dāng)BP=2時，PH=BH-BP=8-2=6,

???AH是4ABC的高，AH=8,

/.AP=VAH2+PH2=V82+62=10,

ADF=1xl0=5,

???此時DF=DE,

.,.當(dāng)BP=2時,四邊形DFGE是菱形,

故答案為：2.

考點(diǎn)7：證明四邊形是矩形

【典例精講】(2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AF,

BC于點(diǎn)F,延長BC到點(diǎn)F,使得CE=BF,連接DE.

(1)求證：四邊形AFED是矩形；

(2)連接OF,若AB=5,OF=3,求BD的長.

【答案】(1)見解析

(2)BD=8

【思路引導(dǎo)】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)，勾股定理等知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD||BC且AD=BC,再證BC=EF,推出四邊形AFED是平行四邊形，根據(jù)矩形的

判定定理即可得到結(jié)論；

(2)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OF=/C=OA=3,再由勾股定理得0B=4,即可得出答案.

【規(guī)范解答】(1)證明：?.?四邊形ABCD是菱形，

，ADIIRC旦AD=BC,

vCE=BF,

/.BC=EF,

:.AD=EF,

vAD||EF,

二四邊形AFED是平行四邊形，

VAFlBC,

zAFE=90°,

???平行四邊形AFED是矩形；

(2)解：???四邊形ABCD是菱形，

0A=OC,OB=OD,ACJLBD,

由(1)可知,ZAFC=90°,

...OF=|AC=OA=3,

222

在Rt△AOB中，OB=A/AB2—OA=V5-3=4,

:.BD=2OB=8.

【變式訓(xùn)練】（24-25九年級上-吉林?期中）“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖①，在RtZiABC

中，4ABe=90。，BD為AC邊上的中線.將，其△ABD沿射線BC的方向平移，得至iJ^EFG,其中點(diǎn)A、B、D

的對應(yīng)點(diǎn)分別為E、F、G.如圖②，當(dāng)線段EF經(jīng)過點(diǎn)〃時，連接DG、GC,請判斷四邊形DFCGf勺形狀，并說

明理由.

數(shù)學(xué)思考

（1）請回答老師提出的問題；

深入探究

（2）老師將圖②中的4EFG繞點(diǎn)川按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到APEQ,其中點(diǎn)E、G的對應(yīng)點(diǎn)分別為P、Q,線

段PF、QF分別與邊BD交于點(diǎn)M、N.如圖③，當(dāng)PQ||BD時,讓同學(xué)們提出新的問題.“勤學(xué)小組”提出問

題：試猜想線段PM和FM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）矩形，理由見解析；（2）PM=FM,見解析

【思路引導(dǎo)】（1）四邊形DFCG是矩形,由平移的性質(zhì)得到DG=BF,DG||BF,EF||AB,從而得到/EFC=4

ABC=90°,根據(jù)BD為AC邊上的中線，推出BD=CD=AD=加，進(jìn)而證明△BCD是等腰三角形，推出

BF=CF,CF=DG,證明四邊形DFCG是平行四邊形，再根據(jù)/DFC=90°,即可證明四邊形DFCG是矩形：

（2）由平移的性質(zhì)得到乙E=ZA,AD=EG,BD=FG,BD||FG,從而得到乙EFG=ZBDF,由（1）可得

BD=AD,進(jìn)而得到NE=NEFG=NA=NBDF,在圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NP=々E,EF=PF,根據(jù)平行

線的性質(zhì)推出4P=4DMF,證FM=FD,再根據(jù)四邊形DFCG是矩形，推出FD=：PF=FM,即可證明PM=FM.

【規(guī)范解答】解：（1）四邊形DFCG是矩形，

理由如下：???△ABD平移得到AEFG,

二DG=BF,DG||BF,EF||AB,

.?./EFC=zABC=90°,

???BD為AC邊上的中線，

BD=CD=AD=1AC,

???△BCD是等腰三角形，

vZEFC=4ABC=90°,

:.EF1BC,

BF=CF,

.-.CF=DG,

vCF||DG,

四邊形DFCG是平行四邊形，

???zDFC=90°,

四邊形DFCG是矩形；

(2)PM=FM,

證明：在圖2中，???△ABD平移得至“△EFG,

:.zE=z.A,AD=EG,BD=FG,BD||FG,

:.zEFG=zBDF

由(1)可得，BD=AD,

EG=FG,

zE=Z.EFG=zA=Z.BDF,

在圖3中，4EFG旋轉(zhuǎn)得到aPEQ,

zP=z.E,EF=PF,

vPQIIBD,

zP=Z.DMF,

ZBDF=ZDMF,

FM=FD,

由圖2可知，四邊形DFCG是矩形.

zFDG=90°,

...ED=FD=1EF,

...FD=|PF=FM,

PM=FM.

【考點(diǎn)剖析】本題考查平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定與

性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)8：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度

【典例精講】(23-24八年級下?遼寧大連?期中)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)/在邊BC上，連接

AE,BD交于點(diǎn)F,4BFE=24DBC.

(1)如圖1,若AB=BC=AE,則乙DBC的度數(shù)為°

(2)如圖2,若乙ABC=90。，AF=5,四邊形ABCD的周長為28,求四邊形ABCD的面積.

【答案】(1)36；

⑵四邊形ABCD的面積為48.

【思路引導(dǎo)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用完全平方公式求面積是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)乙DBC=x，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出&BEF三個角的度數(shù)，列方程得出X,即可得

到，DBC的度數(shù)；

(2)連接AC,求出對角線BD的長度，從而得出四邊形ABCD的邊長，求出面積.

【規(guī)范解答】(1)解：???四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形，

設(shè)/DBC=X,則ZJXBD=x,ZBFE=2x,

.?./ABE=2x,

VAB=AE,

zAEB=Z.ABE=2x,

VzAEB+zBFE+zDBC=180°,

/.2x+2x+x=180°,

...X=36°,

AZDBC=36°,

故答案為:36；

（2）解：連接AC交BDF點(diǎn)、0,如圖:

設(shè)NDBC=x,則乙BFE=2x,

???四邊形ABCD是平行四邊形，4ABe=90°,

???四邊形ABCD是矩形，

AA0=OD,

zDAO=zADO=Z.DBC=x,zAOB=zBFE=2x,AF=AO=5,

ABD=10,

設(shè)AB=a,AD=b.

a4-b=14,a24-b2=100,

...ab=0+b）2鏟士￥）=48,

???四邊形ABCD的面積為48.

【變式訓(xùn)練】（2024?福建三明?二模）如圖，在AABC中，"BC=90。，BA=BC,把AABC繞點(diǎn)/逆時

針旋轉(zhuǎn)得到AADE,點(diǎn)〃與點(diǎn)8對■應(yīng)，點(diǎn)〃恰好落在AC上，過夕作EFIIAB交BC的延長線于點(diǎn)匕連接BD并

延長交EF于點(diǎn)G,連接CE交BG于點(diǎn)//.下列結(jié)論：①BD=DG；②CE=&BD；③CH=EH；④FG=&

【答案】A

【思路引導(dǎo)】連接DF、HF,可證四邊形ABFE是矩形，4ABC三AADE,即可判斷①③：根據(jù)①③的結(jié)論可

推出CE垂直平分DF,進(jìn)而可得△HDF是等腰直角三角形，從而可判斷②；證明△BCDW^DEG,推出

CD=EG=CF,設(shè)AB=BC=m,推出EG=CF=（變一i）m,FG=EF-EG=（2-V2）m,判斷④即可.

【規(guī)范解答】解：連接DF、HF,如圖所示:

AE

G

BC

VZABC=90°,BA=BC,

AZBAC=ZBCA=45°

由題意得：△ABCwaADE

AAD=AB/ADE=90°/DEA=乙DAE=45°

1800-45°

/ABD=zADB==67.5°

2

AZBAE=90°

VEFIIAB.

AZAEF=90°

??.四邊形ABFE是矩形,

AZGFB=90°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-ZAED=45°

??.ZGBF=90°-ZABD=22.5°

?"EDC=zEFC=90°,ED=EF,EC=EC

/.△EDCm△EFC

.\CD=CF

AZCFD=乙CDF=izACB=22.5'=zGBF

AZGFD=90°-"FD=67.5°=4FGD

ABD=FD=GD

???點(diǎn)D是BG的中點(diǎn)

即：BD=DG,故①正確；

VZGDC=zADB=67.5°,,

.\zEDG=90o-zGDC=22.5°

△EDC三△EFC

AZDEH=ZFEC=IzDEF=22.5°=zEDG

.\DH=EH

同理可證DH=CH

ACH=EH,故③正確;

△EDC三△EFC

???CE垂直平分DF

AHD=HF

VZHDF=zDBF+zDFB=45°

???aHDF是等腰直角三角形

???DF=&DH

VCE=2DH,BD=DF

.\CE=V2BD,故②正確；

VBC=DExBCD=Z.DEG=45°,zFBG=EDG=22.5°,

/.△BCD三△DEG.

/.CD=EG,

AEG=CF,

設(shè)AB=BC=m,

則：BF=AE=AC=&m,EF=m,

/.EG=CF=（V2—l）m,

?，.FG—EF—EG-（2—V2）m,

FG=V2EG；故④正確;

故選：A.

【考點(diǎn)剖析】本題綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、斜中半定理等知識點(diǎn)，綜合

性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ).

考點(diǎn)9：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

【典例精講】（2025?福建南平?三模）如圖，P是線段AB所在直線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)C、D在AB的兩側(cè)，CA1

AB.DB1AB,AB=4,AC=3,DB=2,連接PC、PD,分別取PC、PD的中點(diǎn)M、N,連接MN.隨著點(diǎn)P

的運(yùn)動，線段MN的長（）

c

A.隨著點(diǎn)P的位置變化而變化B.保持不變，長為］

C.保持不變，長為2D.保持不變，長為浮

【答案】I）

【思路引導(dǎo)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，連接CD,過點(diǎn)C作CE1DB,

交DB的延長線于E,可得四邊形ABEC為矩形，即得BE=AC=3,CE=AB=4,得到DE=DB+BE=5,

進(jìn)而由勾股定理得CD=，DE2+CE2="T,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到MN=#D=浮，據(jù)此即可求

解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【規(guī)范解答】解：如圖，連接CD,過點(diǎn)C作CE1DB,交DB的延長線于E,

VCA1AB,DB1AB,

.\zCAB=zABE=ZE=90°,

???四邊形ABEC為矩形，

ABE=AC=3,CE=AB=4,

/.DE=DB+BE=2+3=5,

ACD=VDE2+CE2=7s2+42="T,

??,點(diǎn)M、N分別為PC、PD的中點(diǎn)，

???MN為APCD的中位線，

,-.MN=1CD=251,

即MN的長保持不變，長為手，

故選：D.

【變式訓(xùn)練】（2025?江蘇連云港?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E為線段AC上的

動點(diǎn)，四邊形DAEF為平行四邊形，貝IJBE+BF的最小值為.

【答案】V13

【思路引導(dǎo)】利用四邊形DAEF為平行四邊形，得出EF=AD,EF=AD,由E為線段AC上的動點(diǎn)，可知E、F

運(yùn)動方向和距離相等，利用相對運(yùn)動，可以看作EF是定線段，菱形ABCD在AC方向上水平運(yùn)動.過點(diǎn)B作AC

的平行線MN,過點(diǎn)E作關(guān)于線段MN的對稱點(diǎn)E',由對稱性得BE=BE',則BE+BF=BE'+BF工E,F,當(dāng)且

僅當(dāng)E'、B、F依次共線時，BE'+BF取得最小值E'F,此時，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)0,EE,交MN于點(diǎn)H,延長E'E交

FD延長線于點(diǎn)G,分別證明四邊形E0BH和四邊形D0EG是矩形，求出GF=GD+DF=E0+AE=A0=2,

GE=EH=E'H=1,再利用勾股定理求出E'H即可.

【規(guī)范解答】解：???四邊形DAEF為平行四邊形，

??.EF=AD,DF=AE,

???E為線段AC上的動點(diǎn)，

???可以看作EF是定線段，菱形ABCD在AC方向上水平運(yùn)動，

則如圖，過點(diǎn)B作AC的平行線MN,

過點(diǎn)E作關(guān)于線段MN的對稱點(diǎn)E；

由對稱性得BE=BE',

???BE+BF=BE'+BFKE'F,當(dāng)且僅當(dāng)E'、B、F依次共線時,BE'+BF取得最小值E'F,

此時如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)0,EE,交MN于點(diǎn)H,延長E,E交FD延長線于點(diǎn)G,

E,

「菱形ABCD中，AC=4,BD=2,

AAO=|AC=2,BO=DO=1BD=1,AC1BD,

由題可得AC||MN,

???由對稱性可得EH_LHB,

AAC1GH,

AZOEH=ZEOB=ZEHB=90°,

???四邊形EOBH是矩形，

AEH=EH=OB=1,

???四邊形DAEF為平行四邊形，

:.DF=AE,DF||AC,

AGD1DO,

AZGDO=乙DOE=4GEO=90°,

??.四邊形DOEG是矩形，

??.GD=EO,GE=DO=1,

/.GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE=GE4-EH+EH=3,

AEF=JGF2+GE?=V22+32=V13,

即BE+BF的最小值為g,

故答案為：V13.

【考點(diǎn)剖析】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì),

兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)題意結(jié)合相對運(yùn)動得出運(yùn)動軌跡，再利用將軍飲馬解決問題是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)10：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積

【典例精講】（2023?貴州貴陽?二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相