第05講有理數(shù)的乘除運(yùn)算（知識(shí)點(diǎn)+題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）

目錄

知識(shí)梳理

L有理數(shù)乘法法則2.倒數(shù)3.有理數(shù)乘法法則的推廣

4.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律5.有理數(shù)除法法則6.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

題型鞏固

兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算二、多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

三、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用四、倒數(shù)五、有理數(shù)乘法運(yùn)算律

六、有理數(shù)的除法運(yùn)算七、有理數(shù)除法的應(yīng)用

八、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算九、九理數(shù)乘除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算

十、有理數(shù)四則混合運(yùn)第、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

十二、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的式負(fù)十三、數(shù)軸上的翻折

強(qiáng)化訓(xùn)練

單選題（7）填空題（8）解答題（8）

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)L有理數(shù)乘法法則

類(lèi)型運(yùn)算法則運(yùn)算步驟示例

同號(hào)兩數(shù)同號(hào)得正，并把絕對(duì)值相乘（1）先看有無(wú)為0的因數(shù)，若(+5)x(+3)=15,

有，則乘積為0；(-5)x(-3)=15

異號(hào)兩數(shù)異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘⑵如果沒(méi)有為0的因數(shù)，則先(-5)x(+3)=-15,

確定乘積的符號(hào)，再求乘積的(+5)x(-3)=-15

一個(gè)因數(shù)為0任何數(shù)與0相乘，積仍為0絕對(duì)值(-5)x0=0,0x(+3)=0

知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)

1.定義如果兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1,那么稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個(gè)有理數(shù)互

為倒數(shù).

2.互為倒數(shù)與互為相反數(shù)的異同

項(xiàng)目互為倒數(shù)互為相反數(shù)

不特點(diǎn)不同兩數(shù)之積等于1兩數(shù)之和等于0

同性質(zhì)不同互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的符號(hào)相同互為相反數(shù)且不等于0的兩個(gè)數(shù)的符號(hào)一正一負(fù)

點(diǎn)范圍不同只有0沒(méi)有倒數(shù)任意一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)

⑴都是指兩人有理數(shù)之間的一種關(guān)系；

相同點(diǎn)⑵都具有規(guī)定性(可規(guī)定其中任意一個(gè)數(shù)是加另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)或相反數(shù))、相對(duì)性(倒數(shù)或

相反數(shù)是相對(duì)于另一個(gè)數(shù)而言的)、成對(duì)性(倒數(shù)或相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的)

知識(shí)點(diǎn)3.有理數(shù)乘法法則的推廣

1.幾個(gè)不等于o的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為負(fù),

當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為正，即“奇負(fù)偶正”.

圖示：

2.幾個(gè)有理數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,結(jié)果就是0；反之，若幾個(gè)有理數(shù)的乘積為0,則至少有一個(gè)因

數(shù)為0.

圖示：

多個(gè)有理數(shù)相乘,一[乘積為。]

其中有因數(shù)為0,

知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律

運(yùn)算律內(nèi)容用字母表示示例

乘法交換律兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變ah=ha6x(-8)=(-8)x6

乘法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘或先把后(ab)c=a(be)[3x(-4)]x(-6)=

兩個(gè)數(shù)相乘，積不變3x[(-4)x(-6)]

乘法對(duì)加法的一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)a(b+c)=ab-^ac4x(—3+5)=

分配律同兩個(gè)數(shù)分別相乘再把積相加4x(—3)+4x5

知識(shí)點(diǎn)5.有理數(shù)除法法則

1.法則(一)

⑴兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.

例如：

同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)

II+II*

(-12)+(-3)=+(12+3)=4][(-0.5)+0.25=-(0.5子0.25)=巨|

IIGI14

絕對(duì)值相除絕對(duì)值相除

(2)0除以任何非0的數(shù)都得0.注意：0不能作除數(shù).

2.法則二

⑴除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即：a4-b=aXl/b(b豐0).

例如：

除法變乘法

(+2T)^(-1T)=Tx(-f)=-2

]了

除數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù)

⑵運(yùn)算步驟：先將除號(hào)變?yōu)槌颂?hào)，將除數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù)，再運(yùn)用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)6.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

1.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算順序

按照從左到右的順序計(jì)算，有括號(hào)的，先計(jì)算括號(hào)里面的.

2.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則

有理數(shù)乘除混合運(yùn)算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個(gè)有理數(shù)相乘的法則計(jì)算.

€題型鞏固

題型一、兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

(1、

L計(jì)算：-15x4的結(jié)果是()

A.1B.-1C.5D.-6

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：(T；)X4=4X4=-6,

故選：D.

2.計(jì)算:

(1)x0.25+(-3)x(-134)-2x5.3x0=.

(2)(-8)xf-ll|k(-7)xf-Iiq+115卜1124x5=

【答案】012

(2)原式=-&10)=-35.

(3)原式=0.125x8=1.

(4)原式=0.

題型二、多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

4.(25.26七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是()

A.0x(-5)x3B.4x(-0.5)x(-10)

C.(-1.5)x(-2)x3D.(-2)、信卜卜；

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)乘法法則，多個(gè)數(shù)相乘時(shí)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)枳為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)枳為止數(shù)，且

任何數(shù)乘以。結(jié)果均為0;逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的積的符號(hào)即可.

【詳解】解：A、0x(-5)x3：含因數(shù)0,結(jié)果為0,不是負(fù)數(shù).

B、4x(-0.5)x(-10)：兩個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，積為正數(shù).

C、(-1.5)x(-2)x3：兩個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，積為正數(shù).

、/I、r2、

D、(z-2)x--x--：三個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，積為負(fù)數(shù).

故選：D.

5.(24-25七年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè))計(jì)算：(-2)x(-g)x(-3)=：

【答案】-3

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】解：(-2)x(-；卜(一3)=-3.

故答案為：-3.

6.(2025七年級(jí)上?全國(guó)?專題練E)計(jì)算：,1；卜(一弓卜(-1，卜(-|3乂］-13乂(一13.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】此題考查r有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解即可.

r

【詳解】解:

3'8、

X

2I3

345678

=—x—x—x—x—x—

234567

=4.

題型三、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

7.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?期中）一件風(fēng)衣，原價(jià)1200元，現(xiàn)在八五折出售，現(xiàn)在一件這樣的風(fēng)衣（）

A.1002%B.1000元C.696元D.1020元

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解打折的含義：打幾折現(xiàn)價(jià)就是原價(jià)的百分之幾十幾,

由此找出單位"1〃，進(jìn)而求解.八五折是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的85%,把原價(jià)看成單位"1",用原價(jià)乘上85%就是現(xiàn)

在的價(jià)格.

【詳解】解:1200x85%=1020（元）

答：現(xiàn)在的售價(jià)是1020元.

故選：D.

8.閱讀計(jì)算：5+（-；-2g-2）x6.

解：原式=5+—1x6……第一步

=5+（—25）……第二步

=-20......第三步

⑴開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是第一步；

⑵清寫(xiě)出這個(gè)計(jì)算題的正確解題步驟.

【答案】⑴一

（2）-24

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，

（1）運(yùn)用有理數(shù)的加減運(yùn)算，括號(hào)里算得的結(jié)果是［-不!由此可得第?步出錯(cuò)；

（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算括號(hào)的數(shù)，再運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算即可求解.

【詳解】（1）解：根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算，括號(hào)里的結(jié)果為W）,由此可得第一步出錯(cuò),

故答案為：一；

=-24.

題型四、倒數(shù)

9.（24-25七年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）2的倒數(shù)是,-2的倒數(shù)是.

【答案】

g22

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理解倒數(shù)定義：“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)根據(jù)倒

數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：2的倒數(shù)是上，-2的倒數(shù)是-g.

故答案為：y;.

10.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）求下列各數(shù)的倒數(shù)：-9,-31,0.75,-（-2）,--1.

【答案】見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題考查倒數(shù).乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此解答各題即可.

【詳解】解：-9的倒數(shù)為-"：

因?yàn)?3?=-乎，所以-3。的倒數(shù)為二：

55516

因?yàn)?.75=：3,所以0.75的倒數(shù)為4彳；

43

因?yàn)?（-2）=2,所以-（-2）的倒數(shù)為g：

5553

因?yàn)開(kāi)_：=_：，所以的倒數(shù)為一1.

題型五、有理數(shù)乘法運(yùn)算律

15（5、1

11.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算15X,---x2亍的結(jié)果是（）

20285

A.—B.—C.0D.—

7514

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法法則，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算解答即可.

15(5)?1J55cl5八20

【詳解】解:—x————x2—=1—x-I——x2—=v(l—t-2-4=-x4=

27I7J2277272271~

故選：A.

12.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算:

(1)(-2)x(-7)x(-5)

2

(2)-0.75x0.4x-1-=

<3，

【答案】10y

【知識(shí)*】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算.

（1）利用乘法交換律和結(jié)合律，將便「計(jì)算的數(shù)結(jié)合相乘：

（2）先將小數(shù)和帶分?jǐn)?shù)化為分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算.

【詳解】解：（1）（—2）x（—7）x（—5）x]—；'

I?7

=[(-2)x(-5)]x㈠乂9]

=10；

(2)-0.75x0.4x^-l|

32(5)

4513yl

「3j5丫2

L4I3〃5

52

=—x—

45

=-1

2,

故答案為：(1)10；(2)；

13.（24-25七年級(jí)上?天津?qū)幒?階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

'1557、

x(-36)

('1\)2-------9-+-6------1--2-J;

【答案】⑴-7

⑵-6

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了利用乘法分配律巧妙簡(jiǎn)化有理數(shù)運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

（1）利用乘法分配律將原算式分成四項(xiàng)，先算乘法，再算加、減即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算律計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）解：佶4+"，］（一36）

yo1Z2

1557

=-x(-36)--x(-36)+-x(-36)--x(-36)

=-18+20-30+21

6

(2)解:

5

=HHHX+0

6

x5

5

=-6.

題型六、有理數(shù)的除法運(yùn)算

14.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）下列等式成立的是（）

4.415r51

A.—+4=-x—B.—+5=4x5C.-2」D.—+7=—+—

5544952II117

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的除法計(jì)算，除以一個(gè)非零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此求解判斷即

可.

441

【詳解】解：A、=原式成立，符合題意；

554

B、!+5原式不成立,不符合題意；

445

c、（^2=|x1*原式不成立，不符合題意；

D、尋7=3,原式不成立，不符合題意：

故選：A.

1（2、

15.（24-25七年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?階段練習(xí)）新定義一種運(yùn)算，4M=].則（-3A4）A2的值

ci\bj

是?

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】先根據(jù)新定義運(yùn)算求出-3A4的值，再將其結(jié)果與2進(jìn)行新定義運(yùn)算，從而得出最終答案.本題主

要考查了新定義運(yùn)算，熟練掌握新定義運(yùn)算的規(guī)則并按照順序逐步計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（-3A4）A2

-1（2V

=一+__A2

L-3I4〃

=-△2

3

十月

=[+（T）

=--3

2

故答案為：?3

16.（24-25七年級(jí)上?吉林白城?階段練習(xí)）計(jì)算：

⑴-io+卜仁）；

*卜㈢+包

【答案】（1）6

（2）-|

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則.

（1）按照有理數(shù)除法的運(yùn)算法則計(jì)算即可：

（2）按照有理數(shù)除法的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：-10+（一弓）

=104-1-

3

=104--

3

3

=10x-

5

=6；

一1476）

（376）

=一—X—X—

1437；

=—一6

4

=——3

2°

題型七、有理數(shù)除法的應(yīng)用

17.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí)）有?棟居民住宅樓，每?jī)蓪訕侵g的樓梯都是由17級(jí)臺(tái)階組成

的，小明一口氣從一樓一級(jí)臺(tái)階一級(jí)臺(tái)階地跑到最高-一層，緊接著又一級(jí)臺(tái)階一級(jí)臺(tái)階地回到一樓，他一

邊數(shù)一邊跑，當(dāng)他數(shù)到238時(shí)，恰好回到了一樓，那么這棟樓有（）

A.7層B.8層C.6層D.9層

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題考查的是有理數(shù)的除法的應(yīng)用，由小明一共跑了238級(jí)臺(tái)階，則238是這棟樓臺(tái)階級(jí)數(shù)的2

倍.求出樓層間隔數(shù)，這株樓的總層數(shù)=樓層間隔數(shù)+1.

【詳解】解：因?yàn)樾∶鲝囊粯桥艿巾敇?，又從頂樓跑到一樓，共跑?38級(jí)臺(tái)階，

所以一樓到頂樓的總臺(tái)階數(shù)為238+2=119.

又因?yàn)檫@棟樓每?jī)蓪又g有17級(jí)臺(tái)階,

所以樓層間隔數(shù)為119+17=7,

所以則這棟樓有7+1=8（層）.

故選:B.

24

18.（24-25七年級(jí)上?吉林松原?階段練習(xí)）小英用1小時(shí)走了1千米，則小英行走的速度是每小時(shí)

千米.

【答案】j2

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】此題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，根據(jù)速度=路程+時(shí)間卻可求解，弄清路程、速度、時(shí)間三者之間

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2/=上冷，

2

故答案為：

19.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?期中）中國(guó)高鐵設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)高，行駛穩(wěn)定，是中國(guó)發(fā)展的一張獨(dú)特而亮麗的“名

片”.至2022年底，中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程超過(guò)4.3萬(wàn)千米，位居世界第一，高鐵的票價(jià)是按“票價(jià)=每千米乘

車(chē)價(jià)錢(qián)又乘車(chē)路程''的方法計(jì)算的，已知A站至G站的里程為2000千米，全程票價(jià)為800元，沿途各站的路

程如圖.李老師從C站上車(chē)，購(gòu)買(mǎi)了一張80元的票，他可能會(huì)在哪一站下車(chē)？請(qǐng)列式說(shuō)明.

ABCDEFG

IIIIIIIII1I

0200400600100016002000

【答案】到。站或到4站，說(shuō)明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，先求出每千米的票價(jià)，進(jìn)而求出李老師買(mǎi)票的費(fèi)用除以單價(jià),

求出里程,進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

ABCDEG

III1II—?800+2000=0.4（元/千米）

020040060010001600200C

80-5-0.4=200（千米）

400+200=600（千米）或400-2。0=200（千米）

到。站或到Z?站都可.

題型八、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

20.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算（-1）+（-弓卜（-；［的結(jié)果是（）

A.7B.3C.—D.-■

73

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算，先把除法化為乘法，再進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算，即可作答.

【詳解】解：（TR卜弓卜（一1

1

7

故詵:C

21.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算：（-1）+（-弓上3=.

【答案】|9

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，先把除法化為乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，即

可作答.

【詳解】解：（-1）+,w卜3

=9

~5,

故答案為：!9

題型九、有理數(shù)乘除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算

（1s7、

22.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?周測(cè)）計(jì)算：-72又—+（-2）.

14912’

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，先利用乘法分配律計(jì)算，然后求和，最后運(yùn)算除法解答即可.

【詳解】解：原式=一72、%（一?2卜0+（-72卜卜-2）

=[-18+40+（-42）]+（-2）

=(-20%(-2)

=10.

23.（23-24七年級(jí)上?廣東河源?期中）學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)后，薛老師給同學(xué)們出了這樣的兩道題:

①("力+/

下面是小剛和小明做的過(guò)程：

小刖：解：①原式=（-；+；-；：x（—24）=8-12+6=2.

小明：解:②原式十專上（一3+2—4）=（—如卜5）=去.

請(qǐng)回答：

⑴小剛和小明的解題都對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程;

（2）小華是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他觀察了①、②這兩個(gè)式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，故先求出①式的結(jié)果,

即可得到②式的結(jié)果，你認(rèn)為他的思路正確嗎？

⑶如果你認(rèn)為小華是正確的，請(qǐng)?jiān)囌哂?jì)算:

【答案】（1）小剛的解題是對(duì)的，小明的解題是不對(duì)的，見(jiàn)解析

⑵小華的思路正確，理由見(jiàn)解析

畔

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)乘除的簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)除法的運(yùn)算法則即可解答；

（2）根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）先計(jì)算：子-士的值，再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可求解.

\o243672JV727

【詳解】（1）解：小剛的解題是對(duì)的，小明的解題是不對(duì)的，

②的正確計(jì)算過(guò)程如下：

<1J

--?

2?

zX

/±

!U

=l-

\/

214

z\

=d-一7-

k2±4\

/-

/

=m-247

\

1

2-

（2）解：小華的思路正確，理由如下:

=1>

???①、②這兩個(gè)式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，

由小剛的解題可得，一與+不一I卜-ZT=2,

???'一:]+[-;+;-1=與⑴中的計(jì)算結(jié)果相符,

???先求出①式的結(jié)果，即可得到②式的結(jié)果，

???小華的思路正確;

(1171)1

(3)解:

[8243612)72>

1171)/

-+------------x(-72)

8243672；v)

=-9-3+14+1

=3,

\_J__1)

與8+24-36-72j互為倒數(shù)的關(guān)系,

<"72丁公一石72.

__1_\

=—.

<-7282436723

?，?原式=：+3=與.

題型十、有理數(shù)四則混合運(yùn)算

24.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?周測(cè)）要使算式6-1：口2/勺計(jì)算結(jié)果最小，口中應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)是（）

A.+B.C.xD.十

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，要使算式結(jié)果最小，需使括號(hào)內(nèi)的值最大.分別計(jì)算各符號(hào)代入后

的結(jié)果，比較后確定最大值對(duì)應(yīng)的符號(hào).

（\'

【詳解】解：原式為6---D2.要使結(jié)果最小，需使括號(hào)內(nèi)的值最大.

IZ/

加號(hào)(十):」+23

22

1、5

減號(hào)(-):------2=-----,

22

乘號(hào)(X)：---x2=-1,

2

1一1

除號(hào)(+):-----j-2=—,

2-------4

3

括號(hào)內(nèi)最大值為對(duì)應(yīng)加號(hào).

此時(shí)原式結(jié)果為6-3==9q，為最小值.

22

故選A.

題型十一、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

25.（24-25七年級(jí)上?新疆烏魯木齊?期末）根據(jù)如圖可知，某地2023年人均年收入（）元.

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】先根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得出2022年人均年收入，再結(jié)合2023年相對(duì)2022年的增長(zhǎng)比例，計(jì)算出2023年

的人均年收入.本題主要考查了分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用，熟練掌握求比一個(gè)數(shù)多幾分之兒的數(shù)是多少的計(jì)算方法

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解一?由統(tǒng)計(jì)圖可知2。22年人均年收入為6。。。元，必年比2。22年增加《

15

???2023年人均年收入為600（）x1+-=6000x-=7500（元）

I4）4

故選:A.

26.（24-25七年級(jí)上?湖北十堰?期末）甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)前往相距270千米的8地，甲每小時(shí)比乙

多走10千米.甲到達(dá)4地后立即返回A地，在距4地30千米處與乙相遇，則甲出發(fā)_小時(shí)甲乙第一次相遇.

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了行程問(wèn)題綜合應(yīng)用，熟練掌握路程、時(shí)間和速度三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.甲乙

兩人第一次相遇時(shí)，兩人合走兩個(gè)全程，目相遇地點(diǎn)在距"地30千米處，即相遇時(shí)，甲走「（270+30）千米,

乙走「（270-30）千米，兩者相減即可求出甲乙行走的路程差，根據(jù)“時(shí)間=路程差+速度差”即可求出相遇

時(shí)間，即甲出發(fā)幾小時(shí)后甲乙第一次相遇.

【詳解】解：[（270I30）（27030）]：10

=[300-240]-=-10

=60?10

=a小時(shí)）

答：甲出發(fā)6小時(shí)甲乙第一次相遇.

故答案為：6.

27.（2025七年級(jí)上?浙江寧波?專題練習(xí)）有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底部有一塊擋板（垂直于底面，厚度忽略），

將容器下面分成小8兩部分，8部分有一個(gè)漏洞，水可以往下漏.C是用來(lái)測(cè)量水面高度的尺子，。是進(jìn)

水管，每秒進(jìn)水0.75升.如圖記錄的是開(kāi)始注水后水面高度隨時(shí)間變化的情況.請(qǐng)回答：

⑴上表示多少？

（2）漏洞每秒鐘漏出多少升水？

⑶廣、G各表不幾?

【答案】（1）15

（2）0.3

（3）尸表示54,G表示30

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了觀察信息，讓學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)表表示的意義，再分析數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答.

（1）根據(jù)圖像可知15秒可注滿4部分，時(shí)間乘流速，求出力的容積，再除以它的長(zhǎng)和寬，可求出它的高

度；

（2）根據(jù)題圖可知隔板的高度是15厘米，用8部分高15厘米的容積，除以注滿8部分高15厘米時(shí)用的

時(shí)間，就是每秒注入8部分時(shí)的流速，用0.75升減去注入8部分的流速，就是每秒從洞中流出的速度；

（3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75減去洞的流速，據(jù)此可求出RG表示的數(shù).

【詳解】（1）解:0.75升=750立方厘米，

750x15+25+30=15（厘米），

故E表示水面高度為15厘米：

（2）30x15x15=6750（立?方厘米）=6.75（升），

6.75+15=0.45（升/秒），

0.75-0.45=0.3（升/秒），

答：漏洞每秒鐘漏出0.3升水；

（3）由（2）可知，在30秒到70秒之間注水速度為0.45升/秒=450cn?/s，

尸點(diǎn)表示的數(shù)是：

（25+15）x30x（24-15）4-450=54（秒），

G點(diǎn)表示的數(shù)是：

（70-30）x450^[（25+15）x30]+15=30（厘米），

故F表示54,G表示30.

題型十二、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)

28.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）有理數(shù)小人在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a+b的值（）

U6>

A.大于0B.小于0C.等于0D.無(wú)法確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)

【分析】本題考查r數(shù)軸、有理數(shù)的加法，關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出〃和力的取值情況.根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上的

位置以及有理數(shù)的加法法則判斷即可.

【詳解】解:由圖可得:a<0,5>0,\a\>\b\,

a+b<0.

故選：B.

29.如圖，A、6兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為口、b,下列式子成立的是（填序號(hào)）.

①|(zhì)a+6|=a+b；②\a-b\=b-a-③（3一1）（。一1）>0；（4）（Z）-l）（a+1）>0

_____________>

-la01h

【答案】①②④

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】此潁主要考杏數(shù)軸上的有理數(shù)性質(zhì)，熟練掌提，即可?解題.首先根據(jù)數(shù)軸上的有理數(shù)判定

一1<。<0<1<〃，然后逐一判定即可.

【詳解】由題意，得一1<。<0<1<6

/.A+/）>0,a-b<0,?-!<（）,/?-1>（）,tz+1>0

①|(zhì)a+M=a+力，正確；

@\a-t\=b-a,正確；

③（6—錯(cuò)誤；

④S—1）（。+1）>0,正確；

故答案為：①②④.

30.如圖，力、B、。三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為〃、b、c.

ABC

_____________III__________I土

a0bc

（1）若一〃=5,|6|=5,-=—,則a=_____；b=_____：c=_____.

c10

⑵化簡(jiǎn):百曙+會(huì)

（3）在（1）的條件下，B,。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)片運(yùn)動(dòng)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)，求點(diǎn)8,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系是

VB=Vc.

7

【答案】（1）-5,5,10；（2）1；（3）-

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)位數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、帶布字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸判斷出a，b,c的符號(hào)，再根據(jù)相反數(shù)、絕對(duì)值以及倒數(shù)，求出a，b,c的值即可;

(2)根據(jù)小b,c的符號(hào)，去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)即可；

(3)根據(jù)(1)求得力3、力。的亞離，即可求解.

【詳解】解：(1)由數(shù)軸可得：。<0,b>0,c>0

XV-?=5，n=5,l=1

a=-5,b=5,c=10

故答案為-5,5,10：

(2)由(1)得：a<0,b>0,c>0

\a\=-a,網(wǎng)=b,\c\=c

c|b|acba,

/.—+J~■+——=-+-+—=1

\c\b\a\cb-a

(3)由(1)得。=一5,b=5,c=10

所以，48=10,4c=15

.10〃15

所rr以i，匕rz=7,Vc~~

”.與102

所以，彳二43

【點(diǎn)睹】此題考查了數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值以及倒數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸確定6b,。的符號(hào).

題型十三、數(shù)軸上的翻折

31.（24-25七年級(jí)?河南開(kāi)封?期末）一個(gè)長(zhǎng)方形月8co在數(shù)軸上的位置如圖所示，/8=3,32,若此長(zhǎng)

方形繞著頂點(diǎn)按照順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)A所對(duì)■應(yīng)的數(shù)為1,求翻轉(zhuǎn)2018次后，

點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)（）

93,

2

IIi11111>

CQ01234

A.5040B.5042C.5043D.5044

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的翻折

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)的位置變化規(guī)律，通過(guò)分析得出規(guī)律每翻轉(zhuǎn)4次，點(diǎn)〃就會(huì)落在數(shù)軸上，

再根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可得解，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,

牛

&______

④⑤⑥…

IIIII隰I.

-5-4-3-2-10123456789101112131415

將長(zhǎng)方形繞著頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次，點(diǎn)8首次落在數(shù)軸上的點(diǎn)反對(duì)應(yīng)的數(shù)為4,當(dāng)點(diǎn)8第

二次落在數(shù)軸上時(shí)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是與，對(duì)應(yīng)的數(shù)是14,而色厚=14-4=10,以后，每翻轉(zhuǎn)4次，點(diǎn)8就會(huì)

落在數(shù)軸上，

翻轉(zhuǎn)2018次后，點(diǎn)8會(huì)第（2018-2）+4=504次落在數(shù)軸上，

故翻轉(zhuǎn)2018次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是504x10+4=5044,

故選：D.

32.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?周測(cè)）如圖，在紙上有一條數(shù)釉.折疊這張紙，使-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重

合，則3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合.

-5-4-3-2-1012345

【答案】-5

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的翻折

【分析】本題考查數(shù)軸的對(duì)折問(wèn)題，先求出對(duì)折處的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)對(duì)折點(diǎn)到兩個(gè)重合的點(diǎn)的距離相

等，即可求解.

【詳解】解：丁-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，

-3+1

???對(duì)折處的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：式'=T，

2

v3-（-l）=4,-l-4=-5,

二?3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合.

故答案為：-5.

33.（25-26七年級(jí)上?全國(guó)?周測(cè)）已知在紙面上有一數(shù)軸（如下圖所示）.

-5-4-3-2-1012345

⑴折疊紙面，使表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，則表示-3的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合.

（2）折疊紙面，使表示-1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：

①表示5的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合：

②若數(shù)軸上48兩點(diǎn)之間的距離為II（點(diǎn)力在點(diǎn)8的左側(cè)），且48兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求48兩點(diǎn)表示

的數(shù).

【答案】⑴3

⑵①-3：②A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-4.5,6.5

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的翻折

【分析】本題考查了數(shù)軸的折置問(wèn)題，通過(guò)折疊使數(shù)軸上的點(diǎn)重合，考查“對(duì)稱點(diǎn)〃和“中點(diǎn)”概念的理解和應(yīng)

用.

（1）根據(jù)表示1的點(diǎn)和表示-1的點(diǎn)重合，由此可以得到折痕點(diǎn)為0,由此可以得到表示-3的點(diǎn)重合的點(diǎn).

（2）①根據(jù)已知條件可知對(duì)稱點(diǎn)為表示1的點(diǎn)，由此即可找到與表示5的點(diǎn)的重合點(diǎn).

②根據(jù)題意可知力和4與對(duì)稱點(diǎn)的距離，由此即可得到4和4兩點(diǎn)表示的數(shù).

【詳解】（1）解?：折疊紙面，使表示1的點(diǎn)與表示T的點(diǎn)重合，所以折痕點(diǎn)為原點(diǎn)，借助數(shù)粕可得，則表

示-3的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合.

故答案為：3.

（2）解：折疊紙面，使表示-1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，所以折痕點(diǎn)為1；

①借助數(shù)軸可得，表示5的點(diǎn)與表示-3的點(diǎn)重合；

故答案為：-3.

②由題意可得，A,8兩點(diǎn)與折痕點(diǎn)的距離都為：

11+2—5.5

因?yàn)辄c(diǎn)力在點(diǎn)4的左側(cè)，所以A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-456.5.

區(qū)強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.-^x24-（-l）x2=（）

2I2）

A.2B.-1C.1D.4

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合計(jì)算，先把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法計(jì)算法則求解即

可.

【詳解】解：-；x2+（-；）x2=—lx（_2><2=4,

故選：D.

2.計(jì)算4x--的結(jié)果是（）

乙）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，需注意符號(hào)的處理和分?jǐn)?shù)的乘法法則.

【詳解】解：4x[-il=-4xl=-2.

故選：C.

3.有理數(shù)〃，力在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么回-"-旦[+F的值是（）

aa+b|I-D|b-a

ab

-------L-9_i_?_i------＞

-101

A.4B.2C.0D.-2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題

【分析】本題考查化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸，判斷出有理數(shù)的符號(hào)，式

子的符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即司二

【詳解】解：由圖可知：-力，

:.。。＜0,1—。＞0,

.-aa+bi-ba-b,,,..

??一+--------+---=-1+1-1-1=-2；

aa+b\-hb-a

故選:D.

4.下列算式中，正確的是（）

A.（24x”（—6）=-4；B.

9(2、/8、3

C.（—6）“—4）HD.—+----X------=-------

1613M55

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法，首先根據(jù)除以一個(gè)不為。的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),

把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果判斷正誤.

選項(xiàng):（（⑹一二外,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

【詳解】解:A24x#A

B選項(xiàng)：-3.5二7十/1小A/荊-#57X百4丁3,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：（一6），（-吟ix㈢]=6x3冷，故C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng):故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

16V3jI5j16I.2；I5j162520

故選:C.

5.如果對(duì)于任意兩個(gè)非零有理數(shù)。、8定義運(yùn)算③如下：〃綏方=（-1，則（-4）⑤3的結(jié)果是（）

74

A.—12B.—C.—13D.—

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題考杳定義新運(yùn)算，根據(jù)定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則講行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由。因分=告-1，可知（一4）€>3=<一1=：,

b33

故選:B.

6.已知是有理數(shù)，且"0,"<0,"6<0,下列結(jié)論：①力（。+勸<0；②6<-〃；③*+痣-，=1：

④若|〃-4=6,。是有理數(shù)，且滿足|〃"|=2,則|。-d=8?其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子

的正負(fù)

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)乘除法計(jì)算，有理數(shù)加減法計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)兩數(shù)相乘同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)可知b>0,再由〃+b<0,可得”。+?<0,力〈-〃即可判斷

①，②；由方〉0,?<0,a-b<0,化簡(jiǎn)絕對(duì)值L^+能力一。即可判斷③；根據(jù)"6<0.一力|=6,

推出方=。+6,再由|b—e|=2,得到。-c=-4或。-c=-8,即可判斷④.

【詳解】解：:"。，ab<0,

/a+<0,

A/>(a+/?)<0,bc-a,故①②正確；

/>>0?〃<0,

a-b<0,

??.4+Hr@=9力一故③正確;

n\a-n|an—(〃一/))〃

*：a-b<0,\a-b\=6t

a-b=-6,

/.A=?+6,

V|5-c|=2,

?\6-c=2或6一。=一2,

；?a+6-c=2或a+6-。=-2,

，。一c=-4或。-c=一8,

???|。-d=4或|a-c|=8,故④錯(cuò)誤；

???正確的有①②③，

故選：A.

7.下列計(jì)算正確的是()

A.(-24)xfl-1J=-24-24x-J

B.+^x(-35)=(-35)xJJl-(-35)xJ

C.(33-99)x—=33x—+(-99)x—

111111

D.30+?/]=30」-30」

154)54

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】有埋數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)