2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在互聯(lián)網(wǎng)安全中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)信息熵H(X)是隨機(jī)變量X的信息度量，下列關(guān)于信息熵的說法中，正確的是（）。A.信息熵只適用于離散隨機(jī)變量B.信息熵的值隨隨機(jī)變量取值個(gè)數(shù)的增加而單調(diào)遞減C.信息熵衡量的是信息的不確定性，其值越大，信息量越大D.對(duì)于確定性事件，其信息熵為無窮大2.在RSA公鑰加密體制中，選擇兩個(gè)大質(zhì)數(shù)p和q，計(jì)算它們的乘積n=pq，n被用作（）。A.公鑰B.私鑰C.加密密鑰D.解密密鑰3.假設(shè)使用Hill密碼加密明文“HELLO”，密鑰矩陣K為：```[11][10]```明文按塊加密（忽略大小寫并補(bǔ)空格），第一塊明文對(duì)應(yīng)向量X=(8,5)，則加密后的密文塊向量Y=KX等于（）。A.(13,8)B.(8,3)C.(14,5)D.(9,5)4.某安全事件的發(fā)生概率為0.05，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，該事件恰好發(fā)生3次的概率（近似值）可以用以下哪個(gè)公式計(jì)算？（假設(shè)使用泊松近似）A.C(100,3)*(0.05)^3*(0.95)^97B.e^(-5)*3^3/100!C.e^(-5)*3^3*(0.95)^97D.100*0.05*(0.95)^995.在橢圓曲線密碼學(xué)（ECC）中，利用橢圓曲線上的點(diǎn)運(yùn)算進(jìn)行密鑰生成和加密解密，其安全性主要依賴于（）的困難性。A.整數(shù)分解B.大數(shù)隨機(jī)分解C.橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)D.矩陣運(yùn)算二、計(jì)算題（共35分）6.（10分）已知信息熵H(X)的計(jì)算公式為H(X)=-∑p(x)log?p(x)，其中p(x)是隨機(jī)變量X取值x的概率。設(shè)離散隨機(jī)變量X的可能取值為{A,B,C,D}，其概率分布為P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4,P(D)=0.1。計(jì)算隨機(jī)變量X的信息熵H(X)。7.（10分）在RSA公鑰加密體制中，選用質(zhì)數(shù)p=61,q=53。計(jì)算模數(shù)n=pq，并計(jì)算歐拉函數(shù)φ(n)。(φ(n)=(p-1)(q-1))。然后，選擇公鑰指數(shù)e=17（確保e與φ(n)互質(zhì)）。計(jì)算私鑰指數(shù)d，滿足ed≡1(modφ(n))。8.（10分）設(shè)向量X=(14,19)和Y=(9,7)，矩陣K為：```[34][56]```計(jì)算矩陣K乘以向量X，即KY=KX。9.（5分）解釋RSA公鑰加密過程中，解密密鑰d的作用是什么？它與公鑰指數(shù)e之間存在什么關(guān)系？三、證明題（共20分）10.（20分）設(shè)p和q是兩個(gè)不同的奇質(zhì)數(shù)，n=pq，φ(n)=(p-1)(q-1)。證明：對(duì)于任何整數(shù)e，若1<e<φ(n)且e與φ(n)互質(zhì)，則存在唯一的整數(shù)d，使得ed≡1(modφ(n))。這個(gè)d就是私鑰指數(shù)。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.A4.A5.C二、計(jì)算題6.解析思路：根據(jù)信息熵公式，將各概率值代入計(jì)算。答案：H(X)=-(0.2log?0.2+0.3log?0.3+0.4log?0.4+0.1log?0.1)≈2.48bits7.解析思路：首先計(jì)算n=pq，然后計(jì)算φ(n)=(p-1)(q-1)。接著使用擴(kuò)展歐幾里得算法或試錯(cuò)法找到滿足ed≡1(modφ(n))的d。n=61*53=3233φ(n)=(61-1)(53-1)=60*52=3120尋找d：17d≡1(mod3120)。計(jì)算得到d=2753。8.解析思路：按照矩陣乘法規(guī)則，逐項(xiàng)計(jì)算結(jié)果向量的每個(gè)分量。KY=KX=[(3*14+4*19),(5*14+6*19)]=[70+76,70+114]=[146,184]9.解析思路：根據(jù)RSA解密公式C≡M^d(modn)，解釋d的作用是生成對(duì)應(yīng)的私鑰，用于將加密后的密文C還原為原始明文M。ed與φ(n)互質(zhì)是使用擴(kuò)展歐幾里得算法找到d的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三、證明題10.證明思路：（1）存在性：根據(jù)數(shù)論中的擴(kuò)展歐幾里得算法，對(duì)于互質(zhì)的整數(shù)e和φ(n)，一定存在整數(shù)d和k，使得ed+φ(n)k=1。令d=d+φ(n)k，由于φ(n)是正數(shù)，可以調(diào)整k使得0<d<φ(n)。此時(shí)ed≡1(modφ(n))。證明0<d<φ(n)是可能的，因?yàn)槿绻鹍≥φ(n)，則ed≥φ(n)^2>1，同時(shí)由于ed≡1(modφ(n))，必有ed=1+φ(n)k'，即ed-1=φ(n)k'，說明ed-1能被φ(n)整除，這與ed≡1(modφ(n))矛盾。因此0<d<φ(n)成立。（2）唯一性：假設(shè)存在兩個(gè)不同的解d?和d?，使得ed?≡1(modφ(n))且ed?≡1(modφ(n))。則ed?≡ed?(modφ(n))，即e(d?-d?)≡0