2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)在投資決策中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.某投資者考慮投資兩只股票A和B。已知股票A的預(yù)期年收益率E(R_A)為12%，標準差σ_A為18%；股票B的預(yù)期年收益率E(R_B)為8%，標準差σ_B為12%。假設(shè)這兩只股票的收益率標準差相同，且投資者認為兩只股票收益率的協(xié)方差為正，為0.0096。請問，這兩只股票的收益率之間呈正相關(guān)還是負相關(guān)？簡要說明理由。2.解釋什么是投資組合的期望收益率和方差。為什么投資者通常不會選擇只持有單一資產(chǎn)，而會構(gòu)建投資組合？3.假設(shè)你正在評估一個基于歷史數(shù)據(jù)的投資策略。該策略在過去100個月中，有60個月取得了正的超額收益率，且超額收益率的樣本標準差為5%。請用這些信息，構(gòu)造一個95%的置信區(qū)間，用于估計該策略平均每月的超額收益率。假設(shè)超額收益率服從正態(tài)分布。4.簡述假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的定義，并說明在投資決策背景下，犯這兩類錯誤可能分別導(dǎo)致什么后果。二、5.一位分析師想檢驗“市場整體走勢（用市場指數(shù)代表）對某只特定股票的收益率有顯著影響”。他收集了該股票過去5年的月度收益率數(shù)據(jù)（共60個月）以及同期市場指數(shù)的月度收益率數(shù)據(jù)。他決定使用簡單線性回歸模型，以市場指數(shù)收益率為自變量，以該股票收益率為因變量。請寫出該回歸模型的具體形式（包含截距項和斜率項）。6.假設(shè)分析師通過計算得到上述回歸模型的截距項估計值為2%，斜率項（即Beta系數(shù)）估計值為1.5，模型的總決定系數(shù)R方為0.35。請解釋這些回歸輸出結(jié)果的經(jīng)濟含義。7.在使用線性回歸模型進行預(yù)測和決策時，分析師需要注意哪些潛在問題？請至少列舉三種，并簡要說明每種問題的可能后果。8.對比說明在投資組合分析中，使用單因素模型（如CAPM）和多因素模型（如APT）的異同點。三、9.解釋什么是時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。為什么在應(yīng)用ARIMA模型進行預(yù)測前，通常需要檢驗時間序列的平穩(wěn)性？10.假設(shè)你獲得了某只股票過去120天的日收益率數(shù)據(jù)，并進行了單位根檢驗（如ADF檢驗），檢驗結(jié)果如下：ADF統(tǒng)計量的值為-1.85，在5%的顯著性水平下，臨界值為-1.96。請根據(jù)這些信息，判斷該股票收益率序列是否具有單位根（即是否是非平穩(wěn)的）。11.簡述ARCH模型的基本思想及其在捕捉金融數(shù)據(jù)波動率特性方面的優(yōu)勢。12.假設(shè)某資產(chǎn)收益率的波動率呈現(xiàn)顯著的時間依賴性，即波動率會隨時間變化，且存在“集群效應(yīng)”。請說明在這種情況下，使用傳統(tǒng)的假設(shè)方差的統(tǒng)計方法（如標準差、Variance）可能存在的問題，并推薦一種更合適的模型方法。四、13.假設(shè)你管理一個投資組合，包含兩種資產(chǎn)：股票X和債券Y。股票X的預(yù)期收益率為15%，標準差為20%；債券Y的預(yù)期收益率為5%，標準差為10%。股票X和債券Y的收益率之間的相關(guān)系數(shù)為0.2。請問，該投資組合的最小方差組合的預(yù)期收益率和標準差是多少？（假設(shè)投資比例分別為w_X和w_Y，則w_Y=1-w_X）14.解釋什么是貝塔系數(shù)（Beta）。一個股票的Beta系數(shù)為1.2意味著什么？對于風(fēng)險規(guī)避的投資者而言，他們通常更傾向于投資高Beta系數(shù)的股票還是低Beta系數(shù)的股票？為什么？15.某投資者使用歷史數(shù)據(jù)估計了一個股票的回歸方程：股票收益率=1%+1.4*市場收益率+誤差項。假設(shè)下個月市場預(yù)期收益率是10%。請估計該股票下個月的預(yù)期收益率。如果該股票的月度收益率標準差估計為12%，那么其預(yù)期收益率的方差（或標準差）是多少？（假設(shè)市場收益率與該股票收益率之間的相關(guān)系數(shù)為1.4）16.綜合運用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，簡要描述一下你會如何為一個追求長期穩(wěn)定增長、風(fēng)險承受能力適中的投資者構(gòu)建一個投資組合。在構(gòu)建過程中，你會考慮哪些統(tǒng)計量和統(tǒng)計模型？請說明理由。試卷答案一、1.正相關(guān)。因為兩只股票收益率的協(xié)方差為正（0.0096），協(xié)方差是衡量兩個變量共同變動程度的指標，正協(xié)方差表示它們傾向于同方向變動。2.投資組合的期望收益率是組合中各資產(chǎn)期望收益率的加權(quán)平均，反映了組合的預(yù)期盈利能力。投資組合的方差衡量的是組合收益的不確定性或風(fēng)險。通過分散投資于相關(guān)性不高的資產(chǎn)，可以降低組合的整體方差（風(fēng)險），從而在相同風(fēng)險水平下獲得更高收益，或在相同收益水平下承擔更低風(fēng)險。因此，投資者通常選擇構(gòu)建投資組合以實現(xiàn)風(fēng)險和收益的優(yōu)化平衡，而不是只持有單一資產(chǎn)。3.樣本平均超額收益率的估計值為60/100*0%+40/100*x%=0.4x%。由于假設(shè)服從正態(tài)分布，95%置信區(qū)間的公式為：樣本統(tǒng)計量±(t值*標準誤)。標準誤=s/sqrt(n)=5/sqrt(100)=0.5。查找t分布表，自由度df=100-1=99，95%置信水平雙尾t值約為1.984。置信區(qū)間=0.4x%±(1.984*0.5)%=0.4x%±0.992%。因此，置信區(qū)間為(0.4x%-0.992%,0.4x%+0.992%)。注意：此處樣本平均值為60%，計算結(jié)果與題目描述的樣本標準差5%不匹配，假設(shè)題目意圖是提供標準差而非計算平均值。若按標準差5%計算，區(qū)間為(60%-4.96%,60%+4.96%)=(55.04%,64.96%)。4.第一類錯誤（TypeIError）是指在原假設(shè)H0為真時，錯誤地拒絕了原假設(shè)。在投資決策中，意味著投資者基于統(tǒng)計證據(jù)認為某個投資策略有效或某個資產(chǎn)價值被低估，但實際上該策略無效或資產(chǎn)價值被高估，從而做出了錯誤的投資決策（如買入無效策略或低估資產(chǎn)）。第二類錯誤（TypeIIError）是指在原假設(shè)H0為假時，錯誤地未能拒絕原假設(shè)。在投資決策中，意味著投資者基于統(tǒng)計證據(jù)認為某個投資策略無效或某個資產(chǎn)價值被高估，但實際上該策略有效或資產(chǎn)價值被低估，從而錯失了投資機會或持有高估資產(chǎn)。二、5.y_i=β_0+β_1*x_i+ε_i，其中y_i表示第i個月的股票收益率，x_i表示第i個月的市場指數(shù)收益率，β_0是截距項，β_1是斜率項（即Beta系數(shù)），ε_i是誤差項。6.截距項估計值2%表示，即使市場指數(shù)收益率為0，該股票的預(yù)期月超額收益率（或收益率）平均為2%。斜率項估計值1.5表示，市場指數(shù)收益率每變動1%，該股票的預(yù)期月超額收益率（或收益率）平均變動1.5%。R方為0.35表示，市場指數(shù)收益率解釋了該股票收益率變異性的35%，剩余65%的變異性由其他因素或隨機因素引起。7.潛在問題包括：(1)多重共線性：自變量之間存在高度相關(guān)性，導(dǎo)致無法準確估計各變量的獨立影響。(2)異方差性：模型的誤差項方差隨自變量變化而變化，使得標準誤差估計不準確，基于t統(tǒng)計量的假設(shè)檢驗和置信區(qū)間可能無效。(3)自相關(guān)性（序列相關(guān)）：模型的誤差項之間存在相關(guān)性，通常在時間序列數(shù)據(jù)中存在，這會導(dǎo)致標準誤差低估，從而高估t統(tǒng)計量，使得顯著性檢驗結(jié)果不可靠。這些問題可能導(dǎo)致模型估計結(jié)果不可靠，影響基于模型的預(yù)測和投資決策。8.相同點：都試圖建立資產(chǎn)（或資產(chǎn)收益率）與某些因素之間的關(guān)系，以解釋收益來源、評估風(fēng)險或預(yù)測未來收益。不同點：單因素模型（如CAPM）假設(shè)只有一個共同的因素（通常是市場整體收益）驅(qū)動所有資產(chǎn)的收益，形式相對簡單；多因素模型（如APT）則假設(shè)存在多個因素（如市場因素、公司規(guī)模、行業(yè)因素等）共同影響資產(chǎn)收益，能夠更細致地刻畫收益來源，但模型設(shè)定和估計更復(fù)雜。三、9.時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是指數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性（如均值、方差、自協(xié)方差）不隨時間變化而變化。平穩(wěn)性是應(yīng)用許多時間序列模型（特別是ARIMA、VAR等）的前提條件，因為這些模型通常假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程是穩(wěn)定的。如果不滿足平穩(wěn)性，直接應(yīng)用這些模型可能會導(dǎo)致偽回歸，即模型看起來擬合良好，但實際上并沒有揭示真實的變量關(guān)系，基于此模型進行預(yù)測會產(chǎn)生嚴重偏差。10.因為ADF統(tǒng)計量的值(-1.85)大于5%顯著性水平下的臨界值(-1.96)，所以不能拒絕原假設(shè)。原假設(shè)是存在單位根（非平穩(wěn)）。因此，結(jié)論是該股票收益率序列在5%的顯著性水平下不能被拒絕為非平穩(wěn)的。11.ARCH模型（自回歸條件異方差模型）的基本思想是，當期資產(chǎn)收益率的條件方差（即考慮了已知信息后的方差）取決于過去收益率誤差的平方的加權(quán)平均。它捕捉了金融數(shù)據(jù)中波動率聚類（即大的波動傾向于跟隨大的波動，小的波動傾向于跟隨小的波動）的特性。優(yōu)勢在于它允許波動率隨時間變化，比假設(shè)恒定方差的模型更能反映金融市場波動的真實情況，從而提供更準確的VaR（風(fēng)險價值）估計和風(fēng)險管理。12.傳統(tǒng)的假設(shè)方差的方法（如使用樣本標準差或方差）通常假設(shè)誤差項方差是恒定的（同方差性）。在存在顯著波動率集群效應(yīng)的金融數(shù)據(jù)中，這種假設(shè)往往不成立。使用這些方法會導(dǎo)致在波動率較低時低估風(fēng)險（標準誤差偏小），在波動率較高時高估風(fēng)險（標準誤差偏大），從而影響基于這些方差的統(tǒng)計推斷（如置信區(qū)間、假設(shè)檢驗）的準確性和可靠性。更合適的模型方法包括GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型族，如GARCH(1,1)模型，它允許條件方差依賴于過去收益率誤差的平方和自身的滯后值，能夠更好地捕捉波動率的時變性和集群效應(yīng)。四、13.投資組合的預(yù)期收益率E(R_p)=w_X*E(R_X)+w_Y*E(R_Y)=w_X*15%+(1-w_X)*5%=10%+10%*w_X。投資組合的方差Var(R_p)=w_X^2*Var(R_X)+w_Y^2*Var(R_Y)+2*w_X*w_Y*Cov(R_X,R_Y)=w_X^2*(20%)^2+(1-w_X)^2*(10%)^2+2*w_X*(1-w_X)*(0.2*20%*10%)=4w_X^2+1w_X^2-2w_X+0.04w_X^2+0.04w_X^2-0.8w_X=9.12w_X^2-2.8w_X+1。要使組合方差最小，對Var(R_p)關(guān)于w_X求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(Var(R_p))/dw_X=18.24w_X-2.8=0。解得w_X=2.8/18.24≈0.1538。因為w_Y=1-w_X，所以w_Y≈1-0.1538=0.8462。將w_X≈0.1538代入E(R_p)=10%+10%*w_X，得到最小方差組合的預(yù)期收益率E(R_p)≈10%+10%*0.1538=10%+1.538%=11.538%。將w_X≈0.1538代入Var(R_p)=9.12w_X^2-2.8w_X+1，得到最小方差組合的方差Var(R_p)≈9.12*(0.1538)^2-2.8*0.1538+1≈0.0216-0.0431+1≈0.9785。最小方差組合的標準差σ_p=sqrt(Var(R_p))≈sqrt(0.9785)≈0.9892或98.92%。*注意：計算結(jié)果可能因四舍五入略有差異。*14.貝塔系數(shù)（Beta）衡量的是單個資產(chǎn)（或投資組合）的收益率相對于整個市場（通常用市場指數(shù)代表）收益率的變動敏感度或系統(tǒng)性風(fēng)險。一個股票的Beta系數(shù)為1.2表示，當市場收益率每變動1%時，該股票的收益率預(yù)計會變動1.2%。Beta大于1表示該股票比市場整體風(fēng)險更高（價格波動更大），Beta小于1表示風(fēng)險低于市場整體，Beta等于1表示風(fēng)險與市場一致。對于風(fēng)險規(guī)避的投資者而言，他們通常傾向于降低投資組合的整體風(fēng)險。高Beta系數(shù)的股票對市場敏感度高，會放大市場下跌帶來的損失，因此風(fēng)險規(guī)避者可能更傾向于投資低Beta系數(shù)的股票，以獲得相對穩(wěn)定的回報并降低組合的波動性。15.該股票下個月的預(yù)期收益率估計為：1%+1.4*10%=1%+14%=15%。預(yù)期收益率的方差可以通過公式Var(R_stock)=β^2*Var(R_market)+Var(ε)來估計。題目未給出市場收益率的方差Var(R_market)和誤差項ε的方差Var(ε)，也沒有給出市場收益率與股票收益率之間的相關(guān)系數(shù)（題目給出的是Beta=1.4，但Beta的定義是Cov(R_stock,R_market)/Var(R_market)，相關(guān)系數(shù)ρ=Cov(R_stock,R_market)/(σ_stock*σ_market)=β*σ_market/σ_stock）。由于缺少必要信息（市場方差、誤差方差、或相關(guān)系數(shù)/股票標準差），無法計算預(yù)期收益率的方差（標準差）。如果假設(shè)市場收益率與股