2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)據(jù)科學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)合考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。在什么情況下，中心極限定理能夠成立？請(qǐng)說明其意義。二、某研究希望比較兩種不同教學(xué)方法（方法Avs方法B）對(duì)students'finalexamscores的影響。隨機(jī)抽取了30名students,并將他們隨機(jī)分配到兩種教學(xué)方法中（15名接受方法A,15名接受方法B）。假設(shè)兩個(gè)樣本的meanscores分別為78和82,標(biāo)準(zhǔn)差分別為10和12。請(qǐng)寫出進(jìn)行此假設(shè)檢驗(yàn)的nullhypothesis(H0)和alternativehypothesis(H1)。如果使用5%的顯著性水平,你會(huì)拒絕H0嗎？請(qǐng)說明理由（無需進(jìn)行完整計(jì)算，但需說明采用何種檢驗(yàn)方法及依據(jù)）。三、描述性統(tǒng)計(jì)分析有哪些常用指標(biāo)？請(qǐng)分別說明它們用于描述數(shù)據(jù)哪些方面的特征。在分析一組包含缺失值的數(shù)據(jù)時(shí)，常見的處理方法有哪些？請(qǐng)列舉至少三種，并簡(jiǎn)要說明其優(yōu)缺點(diǎn)。四、假設(shè)你使用Python的pandas庫加載了一個(gè)包含多列數(shù)值數(shù)據(jù)的DataFrame。請(qǐng)寫出一段代碼，實(shí)現(xiàn)以下操作：1.從DataFrame中選擇'Variable1'和'Variable2'這兩列數(shù)據(jù)。2.計(jì)算'Variable1'的最大值、最小值和平均值。3.對(duì)'Variable2'中的缺失值（NaN）進(jìn)行填充，填充值為該列的平均值。4.將處理后的DataFrame保存到一個(gè)新的CSV文件中，文件名為'processed_data.csv'。五、線性回歸模型中，什么是多重共線性？它會(huì)對(duì)模型估計(jì)和預(yù)測(cè)產(chǎn)生什么影響？請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰煞N檢測(cè)多重共線性的方法。六、請(qǐng)解釋什么是邏輯回歸模型，并說明它適用于解決哪種類型的問題。在構(gòu)建邏輯回歸模型時(shí)，如何判斷模型對(duì)某個(gè)自變量的預(yù)測(cè)能力是否顯著？七、某電商平臺(tái)希望根據(jù)用戶的歷史購買數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)其明年的消費(fèi)金額。數(shù)據(jù)包含用戶的年齡、性別、歷史購買頻率、平均訂單金額等多個(gè)特征。請(qǐng)簡(jiǎn)要說明你會(huì)如何選擇和評(píng)估用于此預(yù)測(cè)任務(wù)的模型。在模型評(píng)估方面，除了預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，你還會(huì)關(guān)注哪些指標(biāo)？請(qǐng)解釋其原因。八、降維技術(shù)在數(shù)據(jù)分析和機(jī)器學(xué)習(xí)中有何作用？請(qǐng)列舉兩種常見的降維方法，并簡(jiǎn)要說明其原理。在使用降維方法時(shí)，需要注意哪些潛在問題？九、假設(shè)你通過某種方法（如K-Means）對(duì)一個(gè)客戶數(shù)據(jù)庫進(jìn)行了聚類分析，得到了幾個(gè)不同的客戶群體。請(qǐng)說明在解釋聚類結(jié)果時(shí)，你需要關(guān)注哪些方面？如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)聚類中的樣本數(shù)量過少，你會(huì)如何處理？試卷答案一、概率密度函數(shù)描述隨機(jī)變量取特定值的密集程度，其積分表示取值在某一區(qū)間的概率；概率分布函數(shù)（累積分布函數(shù)）描述隨機(jī)變量取值小于或等于某個(gè)特定值的概率。概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，概率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。中心極限定理在樣本量足夠大時(shí)（通常n>30）成立，它指出獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和（或均值）的分布近似于正態(tài)分布，且其均值近似于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)差近似于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以sqrt(n)。其意義在于為統(tǒng)計(jì)推斷提供了理論基礎(chǔ)，使得我們可以在樣本信息有限的情況下，對(duì)總體進(jìn)行推斷。二、H0:μA=μB(方法A的平均分等于方法B的平均分)。H1:μA≠μB(方法A的平均分不等于方法B的平均分)。會(huì)拒絕H0。因?yàn)檫@是兩個(gè)獨(dú)立樣本的比較，樣本量均為30（屬于大樣本），且比較的是均值差異?？梢允褂脙蓸颖緕檢驗(yàn)（如果假設(shè)總體方差相等且已知）或t檢驗(yàn)（更常用，假設(shè)總體方差不等或未知）。由于樣本量較大，t檢驗(yàn)或z檢驗(yàn)的結(jié)論通常相似。拒絕H0的依據(jù)是觀察到的均值差異（82-78=4）相對(duì)于樣本標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)合pooled或unpooledSD計(jì)算）來看，在5%顯著性水平下是統(tǒng)計(jì)顯著的。三、常用指標(biāo)包括：均值（集中趨勢(shì)）、中位數(shù)（集中趨勢(shì)）、眾數(shù)（集中趨勢(shì)）、方差/標(biāo)準(zhǔn)差（離散程度）、偏度（分布對(duì)稱性）、峰度（分布形狀尖銳或平坦）。均值用于描述數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)用于描述數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的值，對(duì)異常值不敏感；眾數(shù)用于描述數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。方差/標(biāo)準(zhǔn)差用于描述數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離均值的程度，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)性；偏度用于描述數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱程度，正偏表示右側(cè)尾部更長(zhǎng)，負(fù)偏表示左側(cè)尾部更長(zhǎng)；峰度用于描述數(shù)據(jù)分布的尖銳程度，尖峰分布（峰度>0）比正態(tài)分布更集中，平頂分布（峰度<0）比正態(tài)分布更分散。處理缺失值的方法有：刪除含有缺失值的行（列表刪除法），簡(jiǎn)單但可能導(dǎo)致信息損失和偏差；填充缺失值，如使用常數(shù)值（如0或列均值/中位數(shù)）填充，簡(jiǎn)單但可能扭曲數(shù)據(jù)分布；使用回歸、插值或其他模型預(yù)測(cè)缺失值（如多重插補(bǔ)），更復(fù)雜但可能更準(zhǔn)確。各自的優(yōu)缺點(diǎn)：刪除法簡(jiǎn)單，但樣本量減少，可能引入偏差；常數(shù)值填充簡(jiǎn)單，但改變了原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和分布；預(yù)測(cè)填充法可能更準(zhǔn)確，但計(jì)算復(fù)雜，且存在模型偏差風(fēng)險(xiǎn)。四、```pythonimportpandasaspdimportnumpyasnp#如果'Variable2'填充0，可能需要numpy，但pandas也能fillna#假設(shè)df是已經(jīng)加載的DataFrameselected_data=df[['Variable1','Variable2']]max_var1=selected_data['Variable1'].max()min_var1=selected_data['Variable1'].min()mean_var1=selected_data['Variable1'].mean()selected_data['Variable2']=selected_data['Variable2'].fillna(selected_data['Variable2'].mean())selected_data.to_csv('processed_data.csv',index=False)#輸出計(jì)算結(jié)果（按要求，不輸出）#print(f"MaxVar1:{max_var1},MinVar1:{min_var1},MeanVar1:{mean_var1}")```五、多重共線性是指線性回歸模型中兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。它不會(huì)直接影響模型預(yù)測(cè)的總體方向，但會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)（回歸系數(shù)）的估計(jì)值不穩(wěn)定、方差增大，使得系數(shù)的置信區(qū)間變寬，難以判斷單個(gè)自變量的獨(dú)立影響。嚴(yán)重時(shí)，即使自變量對(duì)因變量有顯著影響，其系數(shù)估計(jì)值也可能接近于零或符號(hào)錯(cuò)誤，導(dǎo)致模型無法通過常規(guī)的顯著性檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)）。檢測(cè)多重共線性的方法有：計(jì)算方差膨脹因子（VarianceInflationFactor,VIF），VIF值通常大于5或10表示存在共線性；計(jì)算自變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，觀察相關(guān)系數(shù)的大?。皇褂锰卣鬟x擇方法或正則化技術(shù)（如嶺回歸、Lasso回歸）。六、邏輯回歸模型是一種用于預(yù)測(cè)二元（是/否，0/1）結(jié)果的統(tǒng)計(jì)模型，其輸出是事件發(fā)生的概率（介于0和1之間），并通過Sigmoid函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為概率值。它適用于解決分類問題，特別是目標(biāo)變量是二分類的問題。在構(gòu)建邏輯回歸模型后，判斷模型對(duì)某個(gè)自變量的預(yù)測(cè)能力是否顯著，通常通過查看該自變量對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)（或其對(duì)應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量/p值）。如果p值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平（如0.05），則認(rèn)為該自變量對(duì)因變量的預(yù)測(cè)有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著貢獻(xiàn)。七、選擇模型時(shí)，會(huì)考慮數(shù)據(jù)的特點(diǎn)（如樣本量、特征數(shù)量、是否存在缺失值、非線性關(guān)系等）和業(yè)務(wù)目標(biāo)（預(yù)測(cè)精度、模型可解釋性、計(jì)算效率等）。初步可能會(huì)嘗試線性模型（如線性回歸、邏輯回歸）進(jìn)行基準(zhǔn)測(cè)試。然后，根據(jù)數(shù)據(jù)特征，可能會(huì)嘗試更復(fù)雜的模型，如決策樹、隨機(jī)森林、梯度提升樹（GBDT/XGBoost/LightGBM）或支持向量機(jī)（SVM）。評(píng)估模型時(shí)，除了預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率（如分類問題的準(zhǔn)確率、混淆矩陣、AUC；回歸問題的MAE,MSE,RMSE,R-squared），還會(huì)關(guān)注模型的泛化能力（如交叉驗(yàn)證性能）、魯棒性（對(duì)異常值或新數(shù)據(jù)的敏感度）、以及業(yè)務(wù)相關(guān)的指標(biāo)（如在電商場(chǎng)景下，可能關(guān)注召回率、轉(zhuǎn)化率、A/B測(cè)試效果等）。關(guān)注這些指標(biāo)的原因是：準(zhǔn)確率只是部分指標(biāo)，不能全面反映模型性能；泛化能力決定了模型在未見過數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)；魯棒性關(guān)系到模型在實(shí)際應(yīng)用中的穩(wěn)定性；業(yè)務(wù)相關(guān)指標(biāo)直接衡量模型對(duì)業(yè)務(wù)的實(shí)際價(jià)值。八、降維技術(shù)在數(shù)據(jù)分析和機(jī)器學(xué)習(xí)中作用主要有：減少數(shù)據(jù)維度可以降低計(jì)算復(fù)雜度，加快模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)速度；緩解多重共線性問題；去除冗余信息，保留數(shù)據(jù)的主要特征；有助于可視化高維數(shù)據(jù)；可以提高某些模型的性能。常見的降維方法有：主成分分析（PCA），通過線性變換將原始變量投影到新的正交子空間，使得投影后的變量（主成分