2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分。）1.下列哪個(gè)物理量可以用一個(gè)不連續(xù)的本征值集合來(lái)描述？()A.系統(tǒng)的總能量B.系統(tǒng)的位置坐標(biāo)C.系統(tǒng)的總角動(dòng)量z分量D.系統(tǒng)的動(dòng)量2.在量子力學(xué)中，一個(gè)物理量A的算符?作用到一個(gè)波函數(shù)φ上，得到的結(jié)果是φ本身乘以一個(gè)與位置或時(shí)間相關(guān)的因子，則?必然是（）。A.厄米算符B.么正算符C.線性算符D.哈密頓算符3.若兩個(gè)算符?和?'滿足??'-?'?=0，則稱這兩個(gè)算符（）。A.可對(duì)易B.線性相關(guān)C.哈密頓算符D.厄米算符4.波函數(shù)Ψ(x,t)的歸一化條件是（）。A.∫|Ψ(x,t)|2dx=1B.∫Ψ*(x,t)Ψ(x,t)dx=1C.∫|Ψ(x,t)|dx=1D.∫Ψ*(x,t)dx=15.一個(gè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，已知其波函數(shù)為Ψ(x,t)=sin(πx/L)*e^(-iEt/?)，則該粒子的動(dòng)量算符[p?]作用的本征值為（）。A.±?π/LB.±?2π2/L2C.±E/?D.06.下列哪個(gè)算符是厄米算符？（）A.x2B.d/dxC.i(d/dx)D.x/i(d/dx)7.根據(jù)量子力學(xué)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，無(wú)法同時(shí)精確測(cè)量一個(gè)粒子的（）。A.位置和動(dòng)量B.總能量和時(shí)間C.角動(dòng)量的大小和方向D.自旋z分量和自旋x分量8.一個(gè)體系的波函數(shù)從Ψ?轉(zhuǎn)變?yōu)棣?，如果轉(zhuǎn)變過(guò)程不改變體系的能量，則該過(guò)程稱為（）。A.態(tài)疊加B.時(shí)間演化C.測(cè)量D.躍遷9.一維諧振子的哈密頓算符通常表示為H=p?2/2m+1/2mω2x2，其中x是位置坐標(biāo)，則[p?,x]等于（）。A.0B.?C.-?D.mω?10.薛定諤方程?Ψ/?t=(-?2/2m)?2Ψ+V(ρ)Ψ是（）。A.含時(shí)薛定諤方程B.不含時(shí)薛定諤方程C.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系表達(dá)式D.算符的對(duì)易關(guān)系二、填空題（請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。每空2分，共20分。）1.若?的本征值為E，對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為φ，則?2作用于φ的結(jié)果是________。2.算符?是厄米算符的充分必要條件是對(duì)于任意兩個(gè)歸一化正交波函數(shù)φ?和φ?，都有________。3.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子能量本征值公式E_n=(n2π2?2)/(2mL2)中，n代表________。4.粒子的位置算符{x?}在坐標(biāo)表象中通常表示為_(kāi)_______。5.動(dòng)量算符{p??}在坐標(biāo)表象中通常表示為_(kāi)_______。6.若算符?和?'對(duì)易，即[?,?']=0，則?的本征態(tài)同時(shí)也是?'的本征態(tài)的________。7.量子力學(xué)中，態(tài)疊加原理指出，如果Ψ?和Ψ?是體系可能存在的狀態(tài)，則它們的線性組合________也是體系可能存在的狀態(tài)。8.薛定諤方程的求解通常要求波函數(shù)滿足________條件，以保證其代表物理可實(shí)現(xiàn)的概率分布。9.一個(gè)算符?如果滿足??1=??（?的厄米共軛），則稱?為_(kāi)_______算符。10.量子力學(xué)中描述體系狀態(tài)隨時(shí)間演化的基本方程是________方程。三、計(jì)算題（請(qǐng)寫出詳細(xì)的解題步驟。共50分。）1.（15分）在一維無(wú)限深勢(shì)阱中（0<x<L），粒子處于如下波函數(shù)態(tài)：Ψ(x,t)=(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]。（1）證明該波函數(shù)滿足含時(shí)薛定諤方程。（2）求粒子動(dòng)量的可能測(cè)量值及其相應(yīng)的本征態(tài)（用x表示）。2.（15分）已知一維自由粒子（不受力，V=0）的波函數(shù)為Ψ(x,t)=Aei(kx-ωt)，其中k和ω是常量。（1）求歸一化常數(shù)A。（2）計(jì)算該粒子的動(dòng)量算符[p??]作用的本征值，并說(shuō)明其物理意義。（3）證明該波函數(shù)滿足不含時(shí)薛定諤方程。3.（20分）考慮一維運(yùn)動(dòng)粒子，其哈密頓算符為H=p?2/2m+V(x)，其中V(x)=V?sech2(x/α)，V?和α為常量（這種勢(shì)稱為軟勢(shì)阱）。（1）證明動(dòng)量算符[p??]和勢(shì)能算符{V?(x)}對(duì)易，即[p?,V]=0。（2）簡(jiǎn)述由于對(duì)易關(guān)系[p?,V]=0，能量算符H的哪些本征態(tài)有可能具有哪些性質(zhì)？（3）定性分析（無(wú)需嚴(yán)格計(jì)算）該勢(shì)阱中粒子可能存在的能級(jí)數(shù)量與無(wú)限深勢(shì)阱相比有何不同。四、證明題（請(qǐng)給出完整的證明過(guò)程。共10分。）已知位置算符{x?}和動(dòng)量算符{p??}滿足對(duì)易關(guān)系[x?,p??]=i?。證明對(duì)于任意波函數(shù)Ψ(x)，以下等式成立：∫Ψ*(x)d2x=1其中，d2x=dxdy。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.B5.A6.A7.A8.B9.C10.B二、填空題1.Eφ2.?φ?|?|φ??=?φ?|?|φ??*3.量子數(shù)（或能級(jí)量子數(shù)）4.x?5.-i?(?/?x)6.正交（或完備系中的正交）7.線性組合（或其線性疊加）8.歸一化9.么正（或酉）10.含時(shí)（或薛定諤）三、計(jì)算題1.（1）證明：?Ψ/?t=(1/√2)*[-iE/?*sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+iE/?*cos(πx/L)*e^(iEt/?)](-?2/2m)?2Ψ=(-?2/2m)*(d2/dx2)*(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]=(-?2/2m)*(1/√2)*[(π2/L2)*sin(πx/L)*e^(-iEt/?)-(π2/L2)*cos(πx/L)*e^(iEt/?)]V(ρ)Ψ=0*Ψ=0（假設(shè)粒子在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，阱外V=0）左式=(1/√2)*[-iE/?*sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+iE/?*cos(πx/L)*e^(iEt/?)]右式=(-?2/2m)*(1/√2)*[(π2/L2)*sin(πx/L)*e^(-iEt/?)-(π2/L2)*cos(πx/L)*e^(iEt/?)]=(1/√2)*[i?E/2m*sin(πx/L)*e^(-iEt/?)-i?E/2m*cos(πx/L)*e^(iEt/?)]右式=左式證明完畢。（2）求動(dòng)量本征值和本征態(tài)：動(dòng)量算符p??=-i?(?/?x)作用于Ψ=(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]p??Ψ=-i?(?/?x)*[(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]]=(i?/√2)*[π/L*cos(πx/L)*e^(-iEt/?)-π/L*sin(πx/L)*e^(iEt/?)]=(i?π/L)*(1/√2)*[cos(πx/L)*e^(-iEt/?)-sin(πx/L)*e^(iEt/?)]=(i?π/L)*(1/√2)*[-sin(πx/L)*e^(-iEt/?)-cos(πx/L)*e^(iEt/?)]=-(i?π/L)*(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]=-(i?π/L)*Ψ比較得，動(dòng)量算符的本征值為p=-?π/L，對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為Ψ=(1/√2)*[sin(πx/L)*e^(-iEt/?)+cos(πx/L)*e^(iEt/?)]。也可以找到動(dòng)量為+?π/L的本征態(tài)，滿足p??Ψ=(+?π/L)Ψ。2.（1）求歸一化常數(shù)A：∫|Ψ|2dx=∫|Aei(kx-ωt)|2dx=∫|A|2|e^(kx-ωt)|2dx=|A|2∫dx=|A|2L=1|A|2L=1|A|=1/√LA=1/√L（取實(shí)數(shù)A）（2）求動(dòng)量本征值：p??=-i?(?/?x)p??Ψ=-i?(?/?x)*[Aei(kx-ωt)]=-i?*A*ike^(kx-ωt)=(+?k)*Aei(kx-ωt)=k?*Ψ比較得，動(dòng)量算符的本征值為p?=k?。其物理意義是，該波函數(shù)描述的是一個(gè)動(dòng)量為k的自由粒子。（3）證明滿足不含時(shí)薛定諤方程：H=p?2/2m=(?2k2)/2mHΨ=(?2k2)/2m*[Aei(kx-ωt)]=(?2k2A/2m)*e^(kx-ωt)?2Ψ=d2/dx2[Aei(kx-ωt)]=A*(k2)e^(kx-ωt)HΨ=(?2k2A/2m)*e^(kx-ωt)(-?2/2m)?2Ψ+VΨ=(-?2/2m)*[A*(k2)e^(kx-ωt)]+0*[Aei(kx-ωt)]=(-?2k2A/2m)*e^(kx-ωt)HΨ=(-?2k2A/2m)*e^(kx-ωt)HΨ=(-?2/2m)?2Ψ+VΨ證明完畢。3.（1）證明對(duì)易關(guān)系：[p?,V]=p?V-Vp?=(-i??/?x)V-V(-i??/?x)=i?(?V/?x)-i?V(?/?x)=i?*(?V/?x-V?/?x)由于V=V?sech2(x/α)，計(jì)算?V/?x：?V/?x=V?*2*sech(x/α)*(-sh(x/α))*(1/α)=-2(V?/α)*sech(x/α)*sh(x/α)=-(V?/α)*tanh(x/α)計(jì)算V?/?x：V?/?x=V?sech2(x/α)*(-i??/?x)=-i?(V?/α)*sech2(x/α)*tanh(x/α)比較兩部分：?V/?x-V?/?x=-(V?/α)*tanh(x/α)-[-i?(V?/α)*sech2(x/α)*tanh(x/α)]=-(V?/α)*tanh(x/α)+i?(V?/α)*sech2(x/α)*tanh(x/α)=(V?/α)*tanh(x/α)*[i?sech2(x/α)-1]由于tanh(x/α)和sech2(x/α)都是實(shí)函數(shù)，而i?是虛數(shù)單位，所以i?sech2(x/α)-1是純虛數(shù)。因此，[p?,V]=i?*(純虛數(shù))=0。證明完畢。（2）簡(jiǎn)述性質(zhì)：由于[p?,V]=0，說(shuō)明動(dòng)量算符p?與勢(shì)能算符V對(duì)易。這意味著能量算符H=p?2/2m+V的本征值與動(dòng)量的本征值沒(méi)有耦合關(guān)系。因此，如果V有一個(gè)本征值V?和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)φ(x)，則p?的本征值p可以取任何值，并且態(tài)φ(x)仍然是p?的本征態(tài)（或者說(shuō)，p?的本征態(tài)與V的本征態(tài)重合）。這表明守恒量p?的本征態(tài)同時(shí)也是能量本征態(tài)的組成部分。能量本征值E_n=E_n(p)=p2/2m+V?。（3）定性分析能級(jí)數(shù)量：在無(wú)限深勢(shì)阱中，能級(jí)是離散的，隨著量子數(shù)n增加而趨于連續(xù)。在軟勢(shì)阱V?sech2(x/α)中，粒子在x=0附近勢(shì)能很高，束縛較強(qiáng)；在x遠(yuǎn)離0處，勢(shì)能趨于0，束縛較弱。能級(jí)仍然會(huì)離散，但與無(wú)限深勢(shì)阱相比，由于勢(shì)阱邊緣的漸變，粒子更容易泄漏出去，束縛程度相對(duì)減弱。因此，軟勢(shì)阱中可能存在的能級(jí)數(shù)量會(huì)比無(wú)限深勢(shì)阱中相同區(qū)域內(nèi)的能級(jí)數(shù)量更少，或者能級(jí)間隔相對(duì)較小。四、證明題證明：已知[x?,p??]=i?對(duì)任意波函數(shù)Ψ(x)，考慮以下積分：∫d2x=∫dx∫dy∫Ψ*(x)d2x=∫Ψ*(x)dxdy利用對(duì)易關(guān)系，計(jì)算積分：∫d2x*?φ|ψ?=∫?φ|[d2x]|ψ?=∫?φ|x?p??+x?p??-x?p??|ψ?=∫?φ|x?p??|ψ?+∫?φ|x?p??-x?p??|ψ?=∫?φ|x?p??|ψ?+∫?φ|x?(p??x?)-x?(p??x?)|ψ?=∫?φ|x?p??|ψ?+∫?φ|x?p??|ψ?-∫?φ|x?x?p??|ψ?+∫?φ|x?x?p??|ψ?=2∫?φ|x?p??|ψ?-∫?φ|x?2p??|ψ?+∫?φ|x?x?p??|ψ?現(xiàn)在利用對(duì)易關(guān)系[x?,p??]=i?，可以得到：x?p??=p??x?+i?p??x?=x?p??-i?將x?p??替換為p??x?+i?：2∫?φ|x?p??|ψ?=2∫?φ|(p??x?+i?)|ψ?=2∫?(p??x?+