2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——在醫(yī)學(xué)中用傅立葉分析技術(shù)檢測(cè)疾病考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.函數(shù)f(x)=x在區(qū)間[-π,π]上展開(kāi)的傅立葉級(jí)數(shù)中，其正弦系數(shù)b?的表達(dá)式為_(kāi)______。2.若F(ω)是函數(shù)f(t)的傅立葉變換，則f(-t)的傅立葉變換為_(kāi)______。3.傅立葉變換的時(shí)移特性表明，若f(t)的傅立葉變換為F(ω)，則f(t-t?)的傅立葉變換為_(kāi)______。4.傅立葉變換的頻移特性表明，若f(t)的傅立葉變換為F(ω)，則f(t)*e^(iω?t)的傅立葉變換為_(kāi)______。5.周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，系數(shù)a?與信號(hào)f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率P相關(guān)，關(guān)系式為_(kāi)______。6.在醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中，傅立葉變換常用于將信號(hào)從_______域轉(zhuǎn)換到_______域，以便分析其頻率成分。7.心電圖（ECG）信號(hào)中，主要頻率成分通常位于_______Hz范圍內(nèi)，反映了正常心臟的電活動(dòng)頻率。8.傅立葉變換的卷積定理表明，函數(shù)f(t)與g(t)的卷積在頻域中等于它們的傅立葉變換F(ω)與G(ω)的_______。9.若一個(gè)醫(yī)學(xué)信號(hào)在時(shí)域上是周期性的，則其傅立葉變換在頻域中表現(xiàn)為_(kāi)______。10.若一個(gè)醫(yī)學(xué)信號(hào)在時(shí)域上是非周期性的，則其傅立葉變換在頻域中表現(xiàn)為_(kāi)______。二、選擇題1.下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-π,π]上不能展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)？（）A.f(t)=tB.f(t)=sin(t)C.f(t)=cos2(t)D.f(t)=e^t2.若F(ω)=∫[-∞,∞]f(t)*e^(-iωt)dt，則f(t)的傅立葉逆變換表達(dá)式為？（）A.(1/2π)∫[-∞,∞]F(ω)*e^(iωt)dωB.(1/2π)∫[0,∞]F(ω)*e^(iωt)dωC.∫[-∞,∞]F(ω)*e^(iωt)dωD.∫[0,∞]F(ω)*e^(iωt)dω3.函數(shù)f(t)=cos(ω?t)的傅立葉變換是？（）A.2πδ(ω-ω?)B.2πδ(ω+ω?)C.π[δ(ω-ω?)+δ(ω+ω?)]D.π[δ(ω-ω?)-δ(ω+ω?)]4.哪個(gè)性質(zhì)表明傅立葉變換具有對(duì)稱(chēng)性？（）A.線性性B.時(shí)移特性C.頻移特性D.對(duì)稱(chēng)性定理（f(t)的傅立葉變換是f(-t)的傅立葉變換的復(fù)共軛）5.在醫(yī)學(xué)超聲成像中，不同組織對(duì)超聲波的吸收和反射不同，這導(dǎo)致回波信號(hào)在時(shí)域上的差異。傅立葉分析可以用來(lái)？（）A.直接測(cè)量組織內(nèi)部的血流速度B.分析回波信號(hào)中不同頻率成分的強(qiáng)度，以區(qū)分不同組織C.計(jì)算組織內(nèi)部的溫度分布D.模擬超聲波在介質(zhì)中的傳播路徑6.對(duì)于一個(gè)實(shí)偶函數(shù)f(t)，其傅立葉變換F(ω)具有什么性質(zhì)？（）A.只包含正弦分量B.只包含余弦分量（包括直流分量）C.是實(shí)函數(shù)且為偶函數(shù)D.是復(fù)函數(shù)且為奇函數(shù)7.在分析腦電圖（EEG）信號(hào)時(shí)，檢測(cè)到某個(gè)特定的高頻段（如β波，13-30Hz）活動(dòng)增強(qiáng)，可能指示？（）A.睡眠狀態(tài)B.極度放松狀態(tài)C.警覺(jué)或思考狀態(tài)D.心臟跳動(dòng)8.傅立葉級(jí)數(shù)適用于分析哪種類(lèi)型的信號(hào)？（）A.非周期信號(hào)B.周期信號(hào)C.離散時(shí)間信號(hào)D.數(shù)字信號(hào)9.在使用傅立葉變換分析短時(shí)信號(hào)（如語(yǔ)音的某個(gè)音節(jié)）時(shí)，可能會(huì)遇到什么問(wèn)題？（）A.無(wú)法得到任何頻率信息B.頻譜圖中所有頻率成分都混疊在一起，難以區(qū)分C.只能得到信號(hào)起始時(shí)刻的頻率信息D.變換結(jié)果總是一個(gè)常數(shù)10.醫(yī)學(xué)上利用傅立葉變換分析心音圖（ECG的一種變體，記錄心臟聲音）的目的是？（）A.測(cè)量心臟的大小B.計(jì)算心臟的泵血量C.檢測(cè)心臟瓣膜狹窄或關(guān)閉不全等引起的異常聲音頻率D.確定心臟的電活動(dòng)位置三、計(jì)算題1.求周期為T(mén)=2π的函數(shù)f(t)=|t|在區(qū)間[-π,π]上的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（只需寫(xiě)出系數(shù)表達(dá)式）。2.求函數(shù)f(t)=e^(-|t|)的傅立葉變換F(ω)。3.已知函數(shù)f(t)的傅立葉變換為F(ω)=(1/(1+ω2))，求函數(shù)g(t)=t*f(t)的傅立葉變換G(ω)。4.一個(gè)周期性醫(yī)學(xué)信號(hào)f(t)可以表示為f(t)=2cos(10πt)+sin(20πt)-cos(30πt+π/4)。求該信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)[0,1/5]的平均功率P。四、應(yīng)用題1.簡(jiǎn)述利用傅立葉變換分析醫(yī)學(xué)圖像（如超聲或MRI圖像）的原理。在頻域中，圖像的哪些特征（如邊緣、紋理）可能對(duì)應(yīng)哪些頻率范圍？為什么增強(qiáng)或抑制特定頻率范圍的信號(hào)可能有助于改善圖像質(zhì)量？2.假設(shè)獲得了一個(gè)簡(jiǎn)化的醫(yī)學(xué)信號(hào)，其時(shí)域波形表現(xiàn)出明顯的周期性波動(dòng)，頻率約為1Hz。對(duì)該信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換，得到頻譜圖顯示在0Hz附近有一個(gè)峰值，且在±1Hz附近有對(duì)稱(chēng)的小幅值。請(qǐng)解釋這個(gè)頻譜結(jié)果的可能醫(yī)學(xué)含義。如果信號(hào)中除了基波1Hz外，還檢測(cè)到明顯的3Hz成分，這可能暗示什么？3.解釋為什么傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理（如計(jì)算機(jī)輔助診斷系統(tǒng)）中分析醫(yī)學(xué)信號(hào)頻率成分的常用工具。提及至少兩個(gè)傅立葉變換（或其快速算法FFT）在醫(yī)學(xué)信號(hào)分析中的具體優(yōu)勢(shì)。試卷答案一、填空題1.(π/2)*sin(nω)2.F(-ω)3.F(ω-ω?)4.F(ω-ω?)5.a?2/(2π)=∫[-π,π]|f(t)|2dt6.時(shí)域；頻域7.0.05-0.48.乘積9.一系列離散的沖激（δ函數(shù)）10.連續(xù)的頻譜函數(shù)二、選擇題1.A2.A3.C4.D5.B6.B7.C8.B9.B10.C三、計(jì)算題1.解析思路：利用絕對(duì)值函數(shù)的奇偶性和傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。f(t)是奇函數(shù)，其傅立葉級(jí)數(shù)只含正弦項(xiàng)。b?=(2/π)∫[0,π]|t|sin(nω?t)dt。利用積分技巧或?qū)ΨQ(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算。答案：b?=(2/π)*(2/(n2-1))*sin(nπ/2)，n為奇數(shù)；b?=0，n為偶數(shù)。（注：具體系數(shù)表達(dá)式可能因計(jì)算過(guò)程細(xì)節(jié)略有差異，但形式應(yīng)一致）2.解析思路：利用傅立葉變換的定義式F(ω)=∫[-∞,∞]f(t)*e^(-iωt)dt。將f(t)=e^(-|t|)分為t≥0和t<0兩部分計(jì)算，然后利用對(duì)稱(chēng)性或傅立葉變換表。結(jié)果應(yīng)為F(ω)=(2/(1+ω2))。3.解析思路：利用傅立葉變換的頻域微分性質(zhì)。若F(ω)是f(t)的傅立葉變換，則(t*f(t))的傅立葉變換為(i*d/dω)*F(ω)。因此，G(ω)=i*d/dω[1/(1+ω2)]=i*(-2ω/(1+ω2))=-2iω/(1+ω2)。4.解析思路：利用傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)與平均功率的關(guān)系。信號(hào)f(t)=A?cos(Ω?t)+A?sin(Ω?t)+A?cos(Ω?t+φ?)。其傅立葉系數(shù)a?=A?/2，a?=A?/2，b?=0，a?=0，b?=0，a?=A?cos(φ?)/2，b?=-A?sin(φ?)/2。平均功率P=a?2/2+(a?2+b?2)/2+...+(a?2+b?2)/2。代入給定系數(shù)計(jì)算。P=(22/8)+(12/8)+((√2/2)2/2)=1/4+1/8+1/4=1/2。四、應(yīng)用題1.解析思路：解釋傅立葉變換如何將圖像的空間域信息轉(zhuǎn)換為頻率域信息。強(qiáng)調(diào)頻率與空間變化率（梯度）的關(guān)系。高頻對(duì)應(yīng)圖像的邊緣、細(xì)節(jié)；低頻對(duì)應(yīng)圖像的整體結(jié)構(gòu)和緩慢變化。濾波（增強(qiáng)或抑制特定頻率）可以突出或抑制圖像的某些特征，如銳化邊緣或去除噪聲。2.解析思路：解釋0Hz峰值代表直流分量（可能表示基線偏移或信號(hào)平均水平）?！?Hz峰值對(duì)應(yīng)信號(hào)的主要頻率成分，解釋為某個(gè)生理過(guò)程的頻率（如心電圖的QRS波群頻率或呼吸頻率）。檢測(cè)到3Hz成分，可能解釋為基波頻率的諧