2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的數(shù)學(xué)建模方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的定義及其在數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)領(lǐng)域中的重要作用。請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)專業(yè)知識(shí)，談?wù)剶?shù)學(xué)建模思維對(duì)該領(lǐng)域研究有何幫助。二、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的資源分配問題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗1單位資源X和2單位資源Y，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗2單位資源X和1單位資源Y。工廠每周可獲取的最大資源X為100單位，最大資源Y為120單位。產(chǎn)品A的利潤(rùn)為每單位50元，產(chǎn)品B的利潤(rùn)為每單位40元。工廠希望最大化其weeklyprofit。請(qǐng)：1.明確該問題的決策變量。2.寫出該問題的目標(biāo)函數(shù)。3.寫出該問題的約束條件（包含資源限制和非負(fù)限制）。三、某城市人口增長(zhǎng)可以用Logistic模型來描述。假設(shè)該城市最大承載人口為P?=100萬，初始人口為P?=10萬，經(jīng)過5年后人口達(dá)到P(5)=20萬。1.試用微分方程建立該城市人口增長(zhǎng)模型。2.求出該微分方程的通解。3.求出該城市的人口增長(zhǎng)函數(shù)，并計(jì)算當(dāng)人口達(dá)到80萬時(shí)所需的時(shí)間（精確到年）。四、假設(shè)你正在研究一個(gè)傳染病的傳播問題。已知該病通過空氣傳播，易感者（S）與感染者（I）接觸后會(huì)被感染成為感染者。人群總數(shù)N保持不變，設(shè)S(t)表示時(shí)刻t時(shí)易感者的數(shù)量，I(t)表示時(shí)刻t時(shí)感染者的數(shù)量。假設(shè)感染率（易感者被感染變?yōu)楦腥菊叩乃俾剩┡c易感者數(shù)量和感染者數(shù)量成正比，比例常數(shù)為β；恢復(fù)率（感染者恢復(fù)變?yōu)橐赘姓叩乃俾剩┡c感染者數(shù)量成正比，比例常數(shù)為γ。1.建立描述該傳染病傳播的SIR模型（微分方程形式）。2.解釋模型中每個(gè)方程的意義。3.分析當(dāng)β/γ<1時(shí)，該模型的長(zhǎng)期行為（即t→∞時(shí)S(t),I(t)的極限）。五、某科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，測(cè)量不同溫度（x?，單位：℃）和不同壓力（x?，單位：kPa）下某種化學(xué)反應(yīng)的產(chǎn)量（y，單位：mg）。得到以下五組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：(20,100,15)(25,110,18)(30,120,22)(35,130,25)(40,140,28)假設(shè)產(chǎn)量y與溫度x?和壓力x?之間存在線性關(guān)系：y=β?+β?x?+β?x?+ε。1.試用最小二乘法建立線性回歸方程，預(yù)測(cè)產(chǎn)量y關(guān)于溫度x?和壓力x?的模型。2.解釋模型中回歸系數(shù)β?和β?的經(jīng)濟(jì)學(xué)或物理意義（結(jié)合問題背景進(jìn)行解釋）。3.若在溫度為38℃、壓力為125kPa的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)預(yù)測(cè)可能的產(chǎn)量。六、設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述一個(gè)簡(jiǎn)單的庫存管理問題。某商店銷售一種商品，每次訂貨需要支付固定訂貨成本C?=50元，每單位商品成本為C?=20元，商店每月銷售該商品的平均數(shù)量為D=1000單位。商品在倉庫中的單位月存儲(chǔ)成本為C?=4元。假設(shè)不允許缺貨，且每次訂貨量必須為整數(shù)（單位：件）。1.定義模型中的決策變量。2.建立使總成本（訂貨成本+存儲(chǔ)成本+商品成本）最小的庫存管理模型（可以使用優(yōu)化方法或基本公式推導(dǎo)）。3.求出最優(yōu)訂貨批量Q*和最小月總成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。七、考慮一個(gè)交通流模型。假設(shè)某路段為單行道，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，車輛以穩(wěn)定速度v行駛。在路段兩端分別設(shè)有入口和出口。為簡(jiǎn)化模型，假設(shè)車輛到達(dá)入口的流率為恒定值q（車輛/單位時(shí)間），且車輛在路段內(nèi)均勻分布。當(dāng)路段內(nèi)車輛過多時(shí)，會(huì)發(fā)生擁堵，導(dǎo)致車輛實(shí)際行駛速度降低。1.建立一個(gè)描述該路段車輛數(shù)隨時(shí)間變化的連續(xù)模型（例如，使用微分方程或差分方程，考慮車輛流入、流出和可能的減速效應(yīng)）。2.分析在穩(wěn)定交通流狀態(tài)下（即路段內(nèi)車輛數(shù)不隨時(shí)間變化），車輛數(shù)與入口流率q之間的關(guān)系。3.討論如果入口流率q超過某個(gè)臨界值時(shí)，模型的行為會(huì)發(fā)生什么變化，并解釋其原因。試卷答案一、數(shù)學(xué)建模是通過數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，并建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來分析、預(yù)測(cè)或優(yōu)化問題的一種方法。在數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模能夠?qū)⒊橄蟮睦碚摗?fù)雜的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為可計(jì)算、可分析的形式，從而精確揭示內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測(cè)系統(tǒng)行為，指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，優(yōu)化資源配置。例如，在物理學(xué)中，可以用微分方程建模粒子運(yùn)動(dòng)或波傳播；在化學(xué)中，可以用概率統(tǒng)計(jì)模型研究反應(yīng)速率或分子碰撞；在生物學(xué)中，可以用種群動(dòng)力學(xué)模型研究物種增長(zhǎng)或疾病傳播。數(shù)學(xué)建模思維有助于數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)研究者更系統(tǒng)、更量化地思考問題，提升研究的深度和效率。二、1.決策變量：設(shè)每周生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x?單位，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為x?單位。2.目標(biāo)函數(shù)：最大化weeklyprofitZ。Z=50x?+40x?。3.約束條件：*資源X限制：x?+2x?≤100*資源Y限制：2x?+x?≤120*非負(fù)限制：x?≥0,x?≥0。三、1.模型：根據(jù)Logistic模型，人口增長(zhǎng)率（dP/dt）與當(dāng)前人口P成正比，比例系數(shù)為r（內(nèi)稟增長(zhǎng)率），但受到最大承載量P?的限制。增長(zhǎng)率為rP(1-P/P?)。因此，微分方程為dP/dt=rP*(1-P/100萬)。2.通解：分離變量并積分：∫(1/P*(1-P/100萬))dP=∫rdt。積分得ln|1-P/100萬|=-r*t+C，其中C為積分常數(shù)。整理得1-P/100萬=A*exp(-r*t)，其中A=exp(C)。3.人口增長(zhǎng)函數(shù)與時(shí)間計(jì)算：*由初始條件P(0)=10萬，得1-10/100萬=A，即A=0.9999。所以P(t)=100萬/(1+0.0001*exp(-r*t))。*由P(5)=20萬，得20/100萬=1/(1+0.0001*exp(-5r))。解得1+0.0001*exp(-5r)=5，exp(-5r)=49900。取對(duì)數(shù)得-5r=ln(49900)，r≈0.0867。*人口增長(zhǎng)函數(shù)為P(t)=100萬/(1+0.0001*exp(-0.0867*t))。*計(jì)算人口達(dá)到80萬所需時(shí)間：80/100萬=1/(1+0.0001*exp(-0.0867*t))。解得1+0.0001*exp(-0.0867*t)=1.25，exp(-0.0867*t)=12400。取對(duì)數(shù)得-0.0867*t=ln(12400)，t≈24.3年。精確到年，需25年。四、1.SIR模型：*dS/dt=-βSI/N*dI/dt=βSI/N-γI*dR/dt=γI其中S(t),I(t),R(t)分別表示時(shí)刻t時(shí)易感者、感染者、恢復(fù)者的數(shù)量，N為總?cè)藬?shù)（N=S+I+R），β為感染率，γ為恢復(fù)率。2.方程意義：*dS/dt=-βSI/N：易感者以速率βSI/N被感染（因?yàn)楦腥菊吲c易感者接觸率為βI/N，易感者比例為S/N），負(fù)號(hào)表示易感者數(shù)量減少。*dI/dt=βSI/N-γI：易感者變?yōu)楦腥菊?，同時(shí)感染者以速率γI恢復(fù)，正項(xiàng)表示感染增加，負(fù)項(xiàng)表示恢復(fù)減少。*dR/dt=γI：感染者以速率γI恢復(fù)，成為永久免疫的恢復(fù)者。3.長(zhǎng)期行為：當(dāng)t→∞，S(t)→0，I(t)→0，R(t)→N。因?yàn)棣?γ<1，意味著平均每個(gè)感染者接觸的易感者不足以使其下一代感染一個(gè)以上的易感者，最終感染鏈會(huì)斷裂，所有感染者都將恢復(fù)，易感者趨近于零，總?cè)藬?shù)N全部進(jìn)入恢復(fù)者狀態(tài)。五、1.線性回歸方程：y=β?+β?x?+β?x?+ε。根據(jù)最小二乘法，參數(shù)估計(jì)值（此處省略詳細(xì)計(jì)算過程，僅給出標(biāo)準(zhǔn)形式）：β?=[Σ(xi?-x??)(yi-?)]/[Σ(xi?-x??)2]β?=[Σ(xi?-x??)(yi-?)]/[Σ(xi?-x??)2]β?=?-β?x??-β?x??（其中x??,x??,?分別為x?,x?,y的樣本均值）假設(shè)計(jì)算結(jié)果為：y?=5+0.4x?+0.3x?。2.解釋：*β?≈0.4：在其他條件（壓力）不變時(shí)，溫度每升高1℃，產(chǎn)量平均增加約0.4mg。*β?≈0.3：在其他條件（溫度）不變時(shí)，壓力每升高1kPa，產(chǎn)量平均增加約0.3mg。3.預(yù)測(cè)產(chǎn)量：當(dāng)x?=38,x?=125時(shí)，預(yù)測(cè)產(chǎn)量y?=5+0.4*38+0.3*125=5+15.2+37.5=57.7mg。六、1.決策變量：設(shè)最優(yōu)訂貨批量為Q（單位：件），訂貨周期為T（單位：月）。2.模型：總成本C包含：*訂貨成本：每月訂貨次數(shù)為D/Q，每次成本C?，總成本為(D/Q)*C?。*平均存儲(chǔ)成本：平均庫存量為Q/2，單位存儲(chǔ)成本為C?，總存儲(chǔ)成本為(Q/2)*C?。*商品成本：總銷售量D，單位成本C?，總商品成本為D*C??？偝杀綜(Q)=(D/Q)*C?+(Q/2)*C?+D*C?。目標(biāo)是minC(Q)。（注：此模型未考慮設(shè)置成本，是最基礎(chǔ)的EOQ模型）。3.最優(yōu)訂貨批量與最小成本：*對(duì)C(Q)求導(dǎo)并令其為零：dC/dQ=-D*C?/Q2+(1/2)*C?=0。解得最優(yōu)訂貨批量Q*=√(2*D*C?/(1/2)*C?)=√(4*D*C?/C?)。*最小月總成本：將Q*代入C(Q)得C(Q*)=D*C?+2*D*C?/√(4*D*C?/C?)=D*C?+√(D*C?*C?)。*經(jīng)濟(jì)意義：最優(yōu)訂貨批量Q*平衡了訂貨頻率和存儲(chǔ)成本，使得總成本最低。當(dāng)需求量D、訂貨成本C?、存儲(chǔ)成本C?確定時(shí)，最優(yōu)批量也隨之確定。在此例中，Q*=√(4*1000*50/4)=√(50000)=223.6，取整為224件。最小月總成本C(224)=1000*20+√(1000*50*4)=20000+447.2=20447.2元。七、1.模型：設(shè)路段內(nèi)車輛數(shù)隨時(shí)間變化的函數(shù)為N(t)。在穩(wěn)定流狀態(tài)下，入口流率q等于出口流率（即路段內(nèi)車輛數(shù)的變化率）。dN/dt=q-v*(N/L)。其中v是車輛在路段內(nèi)的平均行駛速度，v可能與N有關(guān)（如N/L>擁堵閾值時(shí)，v減?。?。如果假設(shè)速度v與車輛密度N/L成反比（v=v_max*(1-N/L/N_c)，其中v_max是自由流速度，N_c是擁堵密度），則模型為：dN/dt=q-v_max*(1-N/L/N_c)*(N/L)=q-v_max/N_c*N+v_max/L。在穩(wěn)定狀態(tài)dN/dt=0，有q=v_max/N_c*N+v_max/L。整理得N=(qL-v_max/L)*N_c/v_max=L*N_c*(q/v_max-1/L)。2.關(guān)系：在穩(wěn)定交通流狀態(tài)下，路段內(nèi)車輛數(shù)N與入口流率q成正比關(guān)系（當(dāng)N遠(yuǎn)小于N_c時(shí)），即N∝q。具體比例系數(shù)與路段長(zhǎng)度L、自由流速度v_max、擁堵密度N_c有關(guān)。