2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)據(jù)科學(xué)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是來(lái)自X的樣本，則樣本均值\(\bar{X}\)的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：A.λ,λB.λ,λ/nC.nλ,λD.nλ,λ/n2.設(shè)總體X的均值E(X)=μ，方差Var(X)=σ2，X1,X2,...,Xn是來(lái)自X的樣本。樣本方差S2定義為\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\)，其中\(zhòng)(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)。則S2是：A.μ的矩估計(jì)量B.σ2的無(wú)偏估計(jì)量C.σ2的極大似然估計(jì)量D.E(X)的無(wú)偏估計(jì)量3.在假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選顯著性水平α，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為：A.μ/μ?B.1-βC.αD.β4.設(shè)變量X和Y的皮爾遜相關(guān)系數(shù)r=0.8，則X和Y之間：A.相關(guān)性不顯著B.線性關(guān)系較弱C.線性關(guān)系較強(qiáng)D.可能存在非線性關(guān)系5.在簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若變量X增加一個(gè)單位，則Y的期望值：A.增加1單位B.減少1單位C.增加β?單位D.減少β?單位二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。）6.若一組樣本數(shù)據(jù)為5,3,7,2,9，則該樣本的樣本容量為，樣本均值記為\(\bar{x}\)，則\(\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})=\)。7.設(shè)事件A和事件B相互獨(dú)立，P(A)=0.6，P(B)=0.3，則P(A∪B)=。8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，其中μ未知。從總體中抽取樣本容量為n的樣本，要檢驗(yàn)H?:μ=20vsH?:μ<20，應(yīng)選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并使用分布。9.設(shè)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=4，X的方差Var(X)=9，Y的方差Var(Y)=16，則X和Y的皮爾遜相關(guān)系數(shù)r=。10.在多元線性回歸模型中，F(xiàn)檢驗(yàn)的目的是檢驗(yàn)。三、計(jì)算題（本大題共4小題，共60分。）11.（10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)=\(\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)。從中抽取樣本容量為n的樣本X1,X2,...,Xn。（1）求樣本均值\(\bar{X}\)的數(shù)學(xué)期望E(\(\bar{X}\))和方差Var(\(\bar{X}\))。（2）若n=25，求P(0.9<\(\bar{X}\)<1.0)。（可利用中心極限定理）12.（15分）為了檢驗(yàn)?zāi)乘幬锏寞熜?，隨機(jī)抽取10名病人服用該藥物后，測(cè)量其血壓變化（單位：mmHg），數(shù)據(jù)如下：-5,10,12,8,6,9,15,11,5,8。假設(shè)血壓變化X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。（1）求樣本均值\(\bar{x}\)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。（2）在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=0vsH?:μ≠0。（寫出檢驗(yàn)步驟）13.（15分）隨機(jī)抽取了15對(duì)父子，測(cè)量其身高（單位：cm），父親身高X和兒子身高Y的數(shù)據(jù)如下（部分?jǐn)?shù)據(jù)省略，假設(shè)X和Y均服從正態(tài)分布，且方差相等但未知）。（1）求X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)r。（給出計(jì)算公式和結(jié)果）（2）建立Y對(duì)X的簡(jiǎn)單線性回歸方程\(\hat{Y}=\hat{β?}+\hat{β?}X\)。（3）當(dāng)父親身高為180cm時(shí)，預(yù)測(cè)兒子身高的點(diǎn)估計(jì)值（寫出公式）。14.（20分）某研究想探究廣告投入（單位：萬(wàn)元）X與產(chǎn)品銷量（單位：件）Y之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)。假設(shè)Y對(duì)X的回歸模型為Y=β?+β?X+ε，ε服從N(0,σ2)。（1）解釋回歸系數(shù)β?的實(shí)際意義。（2）給出檢驗(yàn)回歸系數(shù)β?是否顯著異于0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布。（3）若已計(jì)算出回歸平方和SSR=1500，殘差平方和SSE=250，樣本容量n=10，請(qǐng)計(jì)算回歸系數(shù)β?的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，并在α=0.05水平下，判斷廣告投入對(duì)產(chǎn)品銷量是否有顯著影響。（需給出F值或t值，并說(shuō)明結(jié)論）試卷答案一、選擇題1.B2.B3.C4.C5.C二、填空題6.5；07.0.548.\(\frac{\bar{X}-20}{\frac{4}{\sqrt{n}}}\)；t(n-1)9.\(\frac{2}{3}\)10.回歸模型的整體顯著性，即所有自變量聯(lián)合起來(lái)對(duì)因變量的線性影響是否顯著三、計(jì)算題11.（1）E(X)=\(\int_0^1x\cdot2x\,dx=\frac{2}{3}\)。E(\(\bar{X}\))=E(X)=\(\frac{2}{3}\)。Var(\(\bar{X}\))=\(\frac{Var(X)}{n}=\frac{E(X^2)-[E(X)]^2}{n}\)。E(X^2)=\(\int_0^1x^2\cdot2x\,dx=\frac{1}{2}\)。Var(X)=\(\frac{1}{2}-(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{18}\)。Var(\(\bar{X}\))=\(\frac{1}{18n}\)。（2）由中心極限定理，\(\bar{X}\)近似服從N(\(\frac{2}{3}\),\(\frac{1}{18\cdot25}\))。標(biāo)準(zhǔn)化：P(0.9<\(\bar{X}\)<1.0)≈P(\(\frac{0.9-\frac{2}{3}}{\frac{1}{\sqrt{18\cdot25}}}<Z<\frac{1.0-\frac{2}{3}}{\frac{1}{\sqrt{18\cdot25}}}\))。計(jì)算Z值后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得概率。12.（1）\(\bar{x}=\frac{1}{10}\sumx_i=8.2\)。s2=\(\frac{1}{9}\sum(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{9}\sumx_i^2-\bar{x}^2=\frac{1}{9}\times578-8.2^2=12.02\)。s≈3.438。（2）檢驗(yàn)步驟：①提出假設(shè)H?:μ=0,H?:μ≠0。②選擇檢驗(yàn)方法：t檢驗(yàn)（因σ2未知且小樣本）。③確定顯著性水平α=0.05，自由度df=10-1=9。④查t分布表得臨界值t?.025,9≈2.262。⑤計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=\(\frac{\bar{x}-0}{s/\sqrt{n}}=\frac{8.2}{3.438/\sqrt{10}}\approx7.55\)。⑥判斷：|t|=7.55>2.262，拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，有充分證據(jù)認(rèn)為該藥物使血壓顯著變化。13.（1）r=\(\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}\)。計(jì)算分子（協(xié)方差乘以n-1）和分母（兩個(gè)變量的樣本方差乘以n-1的平方根），得到r的值。（假設(shè)已計(jì)算出r=0.85）（2）\(\hat{β?}=r\frac{s_y}{s_x}\)，\(\hat{β?}=\bar{y}-\hat{β?}\bar{x}\)。（假設(shè)已計(jì)算出\(\hat{β?}=1.2\)，\(\hat{β?}=50\)）回歸方程為\(\hat{Y}=50+1.2X\)。（3）點(diǎn)估計(jì)值\(\hat{Y}_0=\hat{β?}+\hat{β?}x_0=50+1.2\times180=286\)。14.（1）β?表示在其他因素不變的情況下，廣告投入X每增加一個(gè)單位（萬(wàn)元），產(chǎn)品銷量Y預(yù)計(jì)平均增加β?個(gè)單位（件）。（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=\(\frac{SSR/n-1}{SSE/n-2}\)服從F分布（df?=n-1,df?=n-2）。或者檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=\(\frac{\hat{β?}}{s_{\hat{β?}}}\)服從t分布（df=n-2），其中\(zhòng)(s_{\hat{β?}}=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}\cdot\frac{1}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}\)。（3）計(jì)算F值：F=\(\frac{1500/8}{250/7}=\frac{1500\times7}{250\times8}=6.6\)。或者計(jì)算t值：s2_e=\(\frac{250}{8}=31.25\)。\(SSE=\sume_i^2=\sum(y_i-\hat{y}_i)^2=250\)。t=\(\frac{\hat{β?}}{s_{\hat{β?}}}\)。需要\(\hat{β?}\),\(\sum(x_i-\bar{x})^2\)。假設(shè)已計(jì)算\(\hat{β?}=15\)，\(\sum(x_i-\bar{x})^2