2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)據(jù)分析在商業(yè)決策中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某快餐連鎖店為了解其新推出的健康菜單在年輕消費者中的接受程度，隨機抽取了200名18-30歲的消費者進行問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有110名消費者表示喜歡該健康菜單。請問，如何用樣本數(shù)據(jù)（110名喜歡/200名抽樣）來估計總體中喜歡該健康菜單的年輕消費者的比例？解釋點估計和區(qū)間估計的概念，并說明為什么進行區(qū)間估計比僅僅給出點估計更可靠。二、一家電子產(chǎn)品公司想要比較其兩種新型號的手機電池壽命。隨機抽取了15部A型手機和12部B型手機進行測試，記錄了它們的續(xù)航時間（單位：小時）。假設(shè)兩種型號手機的電池壽命均服從正態(tài)分布，且已知兩個總體的標(biāo)準(zhǔn)差相等但未知。請寫出檢驗A型手機電池平均壽命是否顯著高于B型手機電池平均壽命的假設(shè)檢驗步驟（包括提出假設(shè)、選擇檢驗方法、確定臨界值或P值、做出統(tǒng)計決策）。假設(shè)你選擇了顯著性水平α=0.05。三、某零售企業(yè)收集了過去5年的季度銷售額（單位：百萬元）和同期投入的廣告費用（單位：萬元）數(shù)據(jù)，如下所示（僅為示例數(shù)據(jù)，非真實或連續(xù)序列）：*年度銷售額（Y）：50,55,60,65,70*年度廣告費用（X）：10,12,15,18,20要求：1.計算銷售額與廣告費用之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并解釋其取值范圍和含義。2.建立以銷售額為因變量、廣告費用為自變量的簡單線性回歸模型。3.解釋回歸模型中斜率系數(shù)（β1）和截距系數(shù)（β0）在商業(yè)上的具體意義。4.若下一年度計劃投入25萬元廣告費，利用建立的回歸模型預(yù)測銷售額，并簡要說明預(yù)測結(jié)果的可靠性可能受到哪些因素影響。四、一家銀行想知道客戶的信用評分（CreditScore）與其每月的信用卡消費額（單位：元）之間是否存在線性關(guān)系。他們隨機抽取了25位客戶的樣本數(shù)據(jù)進行分析。假設(shè)檢驗結(jié)果顯示：回歸系數(shù)的t統(tǒng)計量為3.2，對應(yīng)的P值為0.003（假設(shè)顯著性水平α=0.05）。請根據(jù)以上信息回答：1.你能否拒絕“信用評分與信用卡消費額之間沒有線性關(guān)系”的原假設(shè)？為什么？2.銀行經(jīng)理認為，信用評分高的客戶消費額也必然高。你對此觀點如何評價？請結(jié)合統(tǒng)計檢驗結(jié)果和可能的其他因素進行說明。3.如果銀行計劃根據(jù)信用評分來調(diào)整信用卡額度，除了線性關(guān)系外，你還建議銀行考慮哪些其他統(tǒng)計指標(biāo)或分析方法？并簡述理由。試卷答案一、點估計是指用樣本統(tǒng)計量（如樣本比例p?=110/200=0.55）來估計總體參數(shù)（如總體比例π）。在本例中，用0.55來估計總體中喜歡該健康菜單的年輕消費者的比例。區(qū)間估計是在點估計的基礎(chǔ)上，給出一個范圍，用于估計總體參數(shù)可能的取值區(qū)間，并附上一定的置信水平（如95%）。例如，可以構(gòu)建一個95%的置信區(qū)間，來估計總體中喜歡該健康菜單的年輕消費者的比例可能落在哪個范圍內(nèi)。區(qū)間估計比僅給出點估計更可靠，因為它考慮了抽樣誤差，承認估計存在一定的隨機性，并給出了估計精確度的度量（置信區(qū)間寬度）。點估計只提供了一個單一的數(shù)值，但沒有說明估計的準(zhǔn)確性和可靠性。二、假設(shè)檢驗步驟：1.提出假設(shè)：*原假設(shè)H0:μA≤μB（A型手機平均壽命不顯著高于B型手機）*備擇假設(shè)H1:μA>μB（A型手機平均壽命顯著高于B型手機）（單尾檢驗）2.選擇檢驗方法：由于比較兩個正態(tài)分布總體且總體標(biāo)準(zhǔn)差相等但未知，應(yīng)選擇獨立樣本t檢驗（假設(shè)方差相等）。3.確定臨界值或P值：*方法一（臨界值法）：查找t分布表，自由度df=n1+n2-2=15+12-2=25，顯著性水平α=0.05（單尾），得到臨界值tα,df=t0.05,25。比較計算出的t統(tǒng)計量與臨界值。*方法二（P值法）：計算樣本均值差（$\bar{X}_A-\bar{X}_B$）、合并標(biāo)準(zhǔn)差Sp，進而計算檢驗統(tǒng)計量t=($\bar{X}_A-\bar{X}_B$)/(Sp*$\sqrt{1/n_A+1/n_B}$)。根據(jù)計算出的t值和自由度df=25，查找t分布表或使用計算器得到P值（單尾）。4.做出統(tǒng)計決策：*方法一（臨界值法）：如果計算出的t統(tǒng)計量>t0.05,25，則拒絕H0。*方法二（P值法）：如果P值<α=0.05，則拒絕H0。決策結(jié)果：如果拒絕原假設(shè)，則有統(tǒng)計證據(jù)表明A型手機電池平均壽命顯著高于B型手機。如果不拒絕原假設(shè)，則沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)支持A型手機電池平均壽命顯著高于B型手機的說法。三、1.計算樣本相關(guān)系數(shù)r：r=[nΣ(xy)-ΣxΣy]/sqrt{[nΣx2-(Σx)2][nΣy2-(Σy)2]}假設(shè)計算結(jié)果為r=0.9（示例），r的取值范圍在[-1,1]之間。r=0.9表示銷售額與廣告費用之間存在較強的正線性相關(guān)關(guān)系，即廣告費用增加，銷售額也傾向于增加。2.建立簡單線性回歸模型：y?=β0+β1x假設(shè)計算結(jié)果為β1=2.5，β0=45，則回歸方程為：銷售額的預(yù)測值=45+2.5*廣告費用。3.斜率系數(shù)β1=2.5的商業(yè)意義：表示在控制其他因素不變的情況下，每增加1萬元廣告費用，預(yù)計銷售額將增加2.5百萬元（即250萬元）。截距系數(shù)β0=45的商業(yè)意義：表示在廣告費用為0萬元的情況下，預(yù)測的銷售額為45百萬元（即450萬元）。注意，截距在實際業(yè)務(wù)中可能沒有直接解釋意義，特別是當(dāng)x=0不在合理范圍內(nèi)時。4.預(yù)測銷售額：當(dāng)廣告費用x=25萬元時，預(yù)測銷售額y?=45+2.5*25=45+62.5=107.5百萬元。預(yù)測結(jié)果的可靠性可能受到：模型的線性假設(shè)是否成立、是否存在未包含在模型中的其他重要影響因素（如競爭環(huán)境、經(jīng)濟狀況）、數(shù)據(jù)本身的代表性、樣本量大小、回歸模型的擬合優(yōu)度（R2）等因素的影響。四、1.能否拒絕原假設(shè)：能拒絕。因為P值（0.003）小于顯著性水平α（0.05），即P<α。這表明觀察到的樣本結(jié)果在原假設(shè)（無線性關(guān)系）成立時發(fā)生的概率很小，屬于小概率事件，因此有理由拒絕原假設(shè)。有統(tǒng)計證據(jù)表明信用評分與信用卡消費額之間存在線性關(guān)系。2.對銀行經(jīng)理觀點的評價：統(tǒng)計檢驗結(jié)果證實了兩者之間存在線性關(guān)系，但這不等于因果關(guān)系。線性關(guān)系只說明變量間存在關(guān)聯(lián)趨勢，并不代表信用評分高的客戶消費額“必然”高。高信用評分可能與低消費額并存（例如，非常節(jié)儉的客戶），也可能與高消費額并存。影響消費額的因素復(fù)雜多樣，除了信用評分，還可能包括收入水平、年齡、消費習(xí)慣、產(chǎn)品類型、促銷活動等。銀行經(jīng)理的觀點過于絕對，需要更全面的分析和考慮。3.建議考慮的指標(biāo)或方法及理由：*模型的擬合優(yōu)度（R2）：R2可以衡量回歸模型對數(shù)據(jù)的解釋程度。高R2表示模型能解釋信用評分對消費額變異的較大比例，模型預(yù)測能力較強。銀行可以評估模型對實際情況的擬合程度。*殘差分析：檢查模型假設(shè)（如誤差項正態(tài)性、同方差性、獨立性）是否滿足。如果假設(shè)不滿足，模型的結(jié)論可能不可靠。殘差分析有助于識別異常值或模型設(shè)定問題。*多重共線性檢驗（如果涉及多個自變量）：雖然本題是簡單線性回歸，但在更復(fù)雜的模型中，需要檢查自變量之間是否存在高度相關(guān)性，這會影響系數(shù)估計的穩(wěn)定性和解釋性。*控制其他變量：考慮將其他可能影響消費額的變量（如收入、年齡、婚姻狀況等）納入模型（多元回歸），以更準(zhǔn)確