2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——微分方程組的數(shù)值解法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述什么是微分方程組的數(shù)值解法？并說明其與解析解法的根本區(qū)別。二、給定初值問題：$$\frac{dx}{dt}=-10x,\quadx(0)=1$$分別寫出用顯式Euler方法、隱式Euler方法求解該問題（步長(zhǎng)為$h$）的離散格式。并分析這兩種方法各自的穩(wěn)定性條件。三、Runge-Kutta方法（RK4）的局部截?cái)嗾`差為$O(h^5)$。請(qǐng)推導(dǎo)RK4方法用于求解初值問題$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quady(x_0)=y_0$$時(shí)的全局截?cái)嗾`差階。四、什么是剛性方程組？與普通常微分方程組相比，剛性方程組的數(shù)值求解面臨什么主要困難？為什么隱式時(shí)間積分方法（如向后Euler法）通常更適合求解剛性方程組？五、考慮二階線性齊次邊界值問題：$$\frac{d^2u}{dx^2}+\lambdau=0,\quad0<x<1$$$$u(0)=u(1)=0$$其中$\lambda>0$。采用差分法求解，將區(qū)間$[0,1]$等分為$n$個(gè)子區(qū)間（步長(zhǎng)$h=1/n$），用差分方程近似二階導(dǎo)數(shù)$\frac{d^2u}{dx^2}\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$，其中$u_i\approxu(ih)$。請(qǐng)寫出得到的關(guān)于節(jié)點(diǎn)$(ih)$處$u_i$的線性方程組（即差分格式）。此方程組是稀疏的還是有滿的？請(qǐng)說明理由。六、比較Adams-Bashforth二步法和Adams-Moulton二步法（預(yù)測(cè)-校正）在求解初值問題時(shí)的主要異同點(diǎn)。分別寫出它們預(yù)測(cè)和校正步驟的公式。假設(shè)已知$y_{n-1}$和$y_n$，使用Adams-Bashforth法預(yù)測(cè)$y_{n+1}^{*}$，再使用Adams-Moulton法進(jìn)行校正，請(qǐng)寫出完整的預(yù)測(cè)-校正過程。七、對(duì)于求解線性方程組$Ay=b$的迭代方法$y^{(k+1)}=Gy^{(k)}+c$，解釋什么是迭代矩陣$G$的譜半徑$\rho(G)$，并說明$\rho(G)<1$是迭代法收斂的充分必要條件。若要加速收斂，可以采用哪些策略？八、描述求解剛性常微分方程組$X'(t)=AX(t)+F(t)$的隱式Runge-Kutta方法（如隱式RK2或隱式RK4）的基本思想。與顯式Runge-Kutta方法相比，其在保持足夠精度的情況下允許使用多大的時(shí)間步長(zhǎng)？九、設(shè)用步長(zhǎng)$h$的Euler方法求解初值問題，其局部截?cái)嗾`差為$L(h)=Ch^2$。若要求全局截?cái)嗾`差小于$\epsilon$，理論上有何指導(dǎo)意義（關(guān)于$h$的選擇）？請(qǐng)解釋為什么實(shí)際應(yīng)用中可能需要更小的步長(zhǎng)。十、解釋Crank-Nicolson方法求解二維熱傳導(dǎo)方程$$\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}\right)$$的差分格式的基本思想。假設(shè)在時(shí)間方向用隱式差分（步長(zhǎng)$k$），在空間方向用中心差分（步長(zhǎng)$h$），請(qǐng)寫出其離散格式。該方法有何優(yōu)點(diǎn)？試卷答案一、微分方程組的數(shù)值解法是使用計(jì)算方法，通過離散化的步驟（如將連續(xù)變量替換為離散節(jié)點(diǎn)，將微分運(yùn)算替換為差分運(yùn)算）來近似求解包含多個(gè)未知函數(shù)的微分方程的方法。其本質(zhì)是將連續(xù)的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)問題進(jìn)行求解。這與解析解法（即尋找滿足微分方程的精確函數(shù)表達(dá)式）的根本區(qū)別在于，數(shù)值解法提供的是近似解，但通常具有普適性，能求解解析解法難以甚至無(wú)法求解的問題，而解析解法若存在，則提供精確的表達(dá)式。二、顯式Euler方法格式：$$x_{n+1}=x_n+h(-10x_n)=(1-10h)x_n$$隱式Euler方法格式：$$x_{n+1}=x_n+h(-10x_{n+1})$$$$x_{n+1}+10hx_{n+1}=x_n$$$$x_{n+1}=\frac{x_n}{1+10h}$$穩(wěn)定性分析：*顯式Euler方法：令$y_n=x_n$，代入格式得$y_{n+1}=ry_n$，其中$r=1-10h$。要求$|r|\le1$，即$|1-10h|\le1$。解得$0\leh\le\frac{2}{10}=0.2$。因此，顯式Euler方法是無(wú)條件穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)$h\le0.2$，否則不穩(wěn)定。*隱式Euler方法：令$y_n=x_n$，代入格式得$y_{n+1}=ry_n$，其中$r=\frac{1}{1+10h}$。由于$1+10h>0$對(duì)所有$h\in\mathbb{R}$成立，所以$|r|=\frac{1}{|1+10h|}<1$恒成立。因此，隱式Euler方法是無(wú)條件穩(wěn)定的。三、推導(dǎo)全局截?cái)嗾`差：考慮在$[x_n,x_{n+1}]$區(qū)間內(nèi)，用RK4求解。RK4格式為：$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$其中：$$k_1=f(x_n,y_n)$$$$k_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)$$$$k_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2)$$$$k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)$$令$y(x)=\phi(x)$是真解。由Taylor展開：$$\phi(x_{n+1})=\phi(x_n)+h\phi'(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi''(x_n)+\frac{h^3}{6}\phi'''(x_n)+\frac{h^4}{24}\phi^{(4)}(x_n)+O(h^5)$$而$\phi'(x)=f(x,\phi(x))$。再次Taylor展開$k_1$：$$k_1=f(x_n,y_n)=\phi'(x_n)+O(h)$$對(duì)$k_2$中的$f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)$在點(diǎn)$(x_n,y_n)$處作一階展開：$$k_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}\phi'(x_n))$$$$=f(x_n,y_n)+\frac{\partialf}{\partialx}(x_n,y_n)\frac{h}{2}+\frac{\partialf}{\partialy}(x_n,y_n)\frac{h}{2}\phi'(x_n)+O(h^2)$$$$=\phi'(x_n)+\frac{h}{2}(\phi''(x_n)+\phi'(x_n)\frac{\partialf}{\partialy}(x_n,y_n))+O(h^2)$$代入$\phi'(x_n)$得：$$k_2=\phi'(x_n)+\frac{h}{2}\phi''(x_n)+O(h^2)$$類似地，$k_3$和$k_4$展開：$$k_3=\phi'(x_n)+\frac{h}{2}\phi''(x_n)+O(h^2)$$$$k_4=\phi'(x_n)+h\phi''(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi'''(x_n)+O(h^3)$$將這些代入RK4格式：$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}[(\phi'(x_n)+O(h))+2(\phi'(x_n)+\frac{h}{2}\phi''(x_n)+O(h^2))+2(\phi'(x_n)+\frac{h}{2}\phi''(x_n)+O(h^2))+(\phi'(x_n)+h\phi''(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi'''(x_n)+O(h^3))]$$$$=y_n+\frac{h}{6}[6\phi'(x_n)+2h\phi''(x_n)+h\phi''(x_n)+O(h^2)]$$$$=y_n+h\phi'(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi''(x_n)+\frac{h^3}{6}\phi'''(x_n)+O(h^4)$$比較與真解Taylor展開的差：$$\text{GlobalError}=y_{n+1}-\phi(x_{n+1})=\left(y_n+h\phi'(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi''(x_n)+\frac{h^3}{6}\phi'''(x_n)+O(h^4)\right)-\left(\phi(x_n)+h\phi'(x_n)+\frac{h^2}{2}\phi''(x_n)+\frac{h^3}{6}\phi'''(x_n)+O(h^5)\right)$$$$=\phi(x_n)-\phi(x_n)+O(h^4)-O(h^5)$$$$=O(h^4)$$因此，RK4方法的全局截?cái)嗾`差階為$O(h^4)$。四、剛性方程組是指一個(gè)常微分方程組$X'(t)=A(t)X(t)+F(t)$，其系數(shù)矩陣$A(t)$的特征值具有很大的絕對(duì)值差異。具體來說，存在一個(gè)正常數(shù)$\sigma>0$，使得矩陣$\max_i|\lambda_i|$（$\lambda_i$為$A(t)$的特征值）至少與$\min_i|\lambda_i|$之比大于某個(gè)正常數(shù)。這種特性導(dǎo)致解的動(dòng)態(tài)演化具有多個(gè)不同的時(shí)間尺度。剛性方程組的數(shù)值求解困難主要在于：對(duì)于具有非常大絕對(duì)值特征值（快弛豫模態(tài)）的解分量，需要非常小的步長(zhǎng)才能保證數(shù)值穩(wěn)定性，而具有非常小絕對(duì)值特征值（慢弛豫模態(tài)）的解分量則需要相對(duì)較大的步長(zhǎng)來捕捉其長(zhǎng)期行為。如果使用適合快模態(tài)的步長(zhǎng)，慢模態(tài)的解將丟失或嚴(yán)重扭曲；反之，則快模態(tài)的解可能變得不穩(wěn)定。這導(dǎo)致難以找到一個(gè)單一的時(shí)間步長(zhǎng)同時(shí)滿足所有模態(tài)的穩(wěn)定性與精度要求。隱式時(shí)間積分方法（如向后Euler法、隱式Runge-Kutta法）通常更適合求解剛性方程組，因?yàn)樗鼈兺ǔＪ菬o(wú)條件穩(wěn)定的（或穩(wěn)定區(qū)域非常大），允許使用相對(duì)較大的時(shí)間步長(zhǎng)。雖然這可能導(dǎo)致慢模態(tài)的精度下降，但至少可以保證數(shù)值解的穩(wěn)定性，使得快模態(tài)的求解成為可能?？梢酝ㄟ^步長(zhǎng)控制策略（如結(jié)合隱式和顯式方法，或?qū)ｉT針對(duì)剛性問題的自適應(yīng)步長(zhǎng)控制）來進(jìn)一步處理精度問題。五、差分方程組為：$$\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}+\lambdau_i=0,\quadi=1,2,\dots,n-1$$（在$i=0$和$i=n$處，$u_0=0,u_n=0$已給出）。將此式改寫為：$$u_{i+1}+(\lambdah^2-2)u_i+u_{i-1}=0$$這是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)$u_1,u_2,\dots,u_{n-1}$的$n-1$元線性方程組。其系數(shù)矩陣是一個(gè)$n-1$階的三對(duì)角矩陣。該矩陣的主對(duì)角線元素為$\lambdah^2-2$，相鄰的非零對(duì)角線元素為$1$（位于主對(duì)角線上方和下方）。這種系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)稱為三對(duì)角矩陣。三對(duì)角矩陣是一種稀疏矩陣，因?yàn)槠浞橇阍貎H限于主對(duì)角線和相鄰的次對(duì)角線上，絕大部分元素為零。因此，該差分格式得到的方程組是稀疏的。六、Adams-Bashforth二步法和Adams-Moulton二步法（預(yù)測(cè)-校正）的主要異同點(diǎn)：*相同點(diǎn)：都是基于當(dāng)前步和前兩步的已知值來預(yù)測(cè)下一步的值，都使用了步長(zhǎng)$h$。它們都是線性多步法，階數(shù)為2。*不同點(diǎn)：*公式形式：Adams-Bashforth是顯式格式，直接給出預(yù)測(cè)值；Adams-Moulton是隱式格式，預(yù)測(cè)值包含未知的新值，需要校正。*計(jì)算過程：Adams-Bashforth僅需要$y_{n-1}$和$y_n$來計(jì)算$y_{n+1}^*$。Adams-Moulton需要$y_{n-1}$和$y_n$來預(yù)測(cè)$y_{n+1}^*$，然后使用$y_{n+1}^*$和$y_n$來計(jì)算校正值$y_{n+1}$。*穩(wěn)定性：Adams-Bashforth是條件穩(wěn)定的，其穩(wěn)定性區(qū)域較小。Adams-Moulton是隱式格式，是無(wú)條件穩(wěn)定的。*精度：兩者預(yù)測(cè)部分的精度階都是$O(h^2)$，校正部分可以進(jìn)一步提高精度（如果使用更高階的隱式方法進(jìn)行校正）。Adams-Bashforth法預(yù)測(cè)$y_{n+1}^*$：$$y_{n+1}^*=y_n+\frac{h}{2}(-3f_{n}+2f_{n-1})=y_n+h(-3y_n'+2y_{n-1}')$$其中$f_i=f(x_i,y_i)$。Adams-Moulton法校正$y_{n+1}$：$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{12}(23f_{n}-16f_{n-1}+5f_{n-2})=y_n+h\left(\frac{23}{12}y_n'-\frac{16}{12}y_{n-1}'+\frac{5}{12}y_{n-2}'\right)$$（此公式基于中心差分近似導(dǎo)數(shù)，與教材中常見形式可能略有不同，但原理一致）。完整的預(yù)測(cè)-校正過程：1.使用已知的$y_{n-1},y_n$和$f_{n-1},f_n$，計(jì)算預(yù)測(cè)值$y_{n+1}^*$。2.使用預(yù)測(cè)值$y_{n+1}^*$、已知的$y_n$和$f_n$，計(jì)算校正值$y_{n+1}$。3.（可選）將$y_{n+1}$作為新的近似解，用于下一步的預(yù)測(cè)。七、對(duì)于迭代格式$y^{(k+1)}=Gy^{(k)}+c$，其中$G$是系數(shù)矩陣，$c$是常數(shù)向量。迭代過程可以看作是求解線性方程組$Ay=b$的等價(jià)形式，其中$A=I-G$，$y$是解向量，$b=c$。該迭代法的收斂性取決于矩陣$G$的譜半徑$\rho(G)$。譜半徑$\rho(G)$是指矩陣$G$的所有特征值的絕對(duì)值的最大值，即$\rho(G)=\max\{|\lambda_i|:\lambda_i\text{是}G\text{的特征值}\}$。迭代法$y^{(k+1)}=Gy^{(k)}+c$收斂到方程組$(I-G)y=c$的解$y$的充分必要條件是$\rho(G)<1$。如果$\rho(G)\ge1$，迭代法可能不收斂，或者收斂速度非常慢。為了加速收斂（當(dāng)$\rho(G)<1$時(shí)），可以采用以下策略：1.矩陣分解：將$G$分解為$G=M^{-1}N$，其中$M$是對(duì)角占優(yōu)或易于求解的矩陣，$N$是易于應(yīng)用迭代向量的矩陣。然后使用SOR（超松弛）方法：$y^{(k+1)}=(M^{-1}-\omegaN^{-1}M)y^{(k)}+\omegaN^{-1}c$，選擇最優(yōu)松弛因子$\omega\in(0,2)$。2.Jacobi方法與Gauss-Seidel方法：這兩種方法是常見的迭代方法，Gauss-Seidel方法通常比Jacobi方法收斂得更快，因?yàn)樗褂昧俗钚碌目捎眯畔ⅰ?.選擇更優(yōu)的迭代矩陣：對(duì)于特定的線性方程組，可以通過分析其系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)來構(gòu)造收斂速度更快的特殊迭代矩陣$G$。八、求解剛性常微分方程組$X'(t)=AX(t)+F(t)$的隱式Runge-Kutta方法的基本思想是：像隱式Euler方法一樣，在計(jì)算下一個(gè)時(shí)間步的解向量$X_{n+1}$時(shí)，涉及到求解一個(gè)關(guān)于$X_{n+1}$的隱式方程（或方程組）。這允許使用比顯式Runge-Kutta方法大得多的時(shí)間步長(zhǎng)。具體來說，隱式RK方法將時(shí)間步$[t_n,t_{n+1}]$內(nèi)的積分表示為：$$X_{n+1}-X_n=\int_{t_n}^{t_{n+1}}\Phi(X(s),t)ds$$其中$\Phi(X,t)$是原方程的右端項(xiàng)$AX+F(t)$。隱式RK方法通過構(gòu)造一個(gè)形如$X_{n+1}=X_n+h\Phi_s(X,t)$的隱式公式，其中$\Phi_s(X,t)$是某個(gè)函數(shù)，該函數(shù)的精確計(jì)算需要知道$X_{n+1}$。然后，求解這個(gè)隱式公式得到$X_{n+1}$。這個(gè)過程通常需要迭代求解，例如使用牛頓法。由于隱式方法對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)$h$的限制較?。ㄍǔＶ皇芫纫罂刂?，而不像顯式方法那樣受穩(wěn)定性條件的嚴(yán)格限制），因此特別適合求解具有很大時(shí)間尺度差異（即剛性）的方程組。隱式RK方法（如隱式RK2，即隱式Euler；或隱式RK4）通過在積分步內(nèi)引入多個(gè)中間點(diǎn)，并使用這些點(diǎn)的信息來構(gòu)建隱式公式，可以在保持較高精度的同時(shí)，允許使用較大的步長(zhǎng)。九、設(shè)用步長(zhǎng)$h$的Euler方法求解初值問題。其局部截?cái)嗾`差（即在假設(shè)前一步完全精確的情況下，由于使用Euler格式本身引入的誤差）為$L(h)=Ch^2$，其中$C$是與$h$無(wú)關(guān)的常數(shù)。全局截?cái)嗾`差是指從初始點(diǎn)$y(x_0)=y_0$出發(fā)，使用步長(zhǎng)$h$的Euler方法經(jīng)過$k$步（即求解到$x_0+kh$）后，得到的近似解$y_k$與真解$y(x_0+kh)$之間的誤差。由于每一步都存在局部截?cái)嗾`差，且誤差會(huì)傳播和累積，全局截?cái)嗾`差通常比單步的局部截?cái)嗾`差要大。理論上，如果將步長(zhǎng)減小為$h/2$，那么每一步的局部截?cái)嗾`差將減小為原來的$\frac{1}{4}$（因?yàn)?L(h)\proptoh^2$）。為了從$x_0$求解到$x_0+kh$，需要進(jìn)行的步數(shù)變?yōu)?2k$。因此，總的全局截?cái)嗾`差將減小為原來的$\frac{1}{4}$。即：$$\text{GlobalError}(h)\proptok\cdotL(h)\proptok\cdotCh^2$$$$\text{GlobalError}(h/2)\propto2k\cdotL(h/2)\propto2k\cdotC(h/2)^2=2k\cdotC\frac{h^2}{4}=\frac{k}{2}\cdotCh^2=\frac{1}{2}\cdot\text{GlobalError}(h)$$這表明，全局截?cái)嗾`差與步長(zhǎng)$h$的平方大致成正比。因此，為了將全局截?cái)嗾`差減小到原來的$\frac{1}{\delta}$倍，理論上需要將步長(zhǎng)減小為原來的$\sqrt{\delta}$倍。實(shí)際應(yīng)用中，由于舍入誤差的存在，誤差累積情況會(huì)更復(fù)雜。通常需要考慮全局截?cái)嗾`差和舍入誤差的總和，并且為了達(dá)到給定的精度要求$\epsilon$，實(shí)際選擇的步長(zhǎng)$h$可能需要比理論分析要求的小一些，尤其是在接近求解結(jié)束或步數(shù)較多時(shí)。此外，自適應(yīng)步長(zhǎng)控制方法可以根據(jù)局部分割誤差的估計(jì)來動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)，以在保證穩(wěn)定性和精度的前提下提高效率。十、Crank-Nicolson方法求解二維熱傳導(dǎo)方程的基本思想是：將時(shí)間變量$t$的導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialu}{\partialt}$用時(shí)間中點(diǎn)（$t_n+\frac{k}{2}$）的值來近似，即使用時(shí)間上的中心差分。同時(shí)，將空間變量$x$和$y$的二階導(dǎo)數(shù)$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$和$\frac{\partial^2u}{\partialy^2}$在空間中點(diǎn)（$(x_i+\frac{h}{2},y_j+\frac{k}{2})$）處用中心差分來近似。將這兩個(gè)近似結(jié)合起來，就得到了Crank-Nicolson格式。具體離散格式如下（考慮節(jié)點(diǎn)$(ih,jk)$處的$u_{i,j}$）：在時(shí)間中點(diǎn)$t_n+\frac{k}{2}$處，方程為：$$\frac{u_{i,j}^{n+\frac{1}{2}}-u_{i,j}^{n}}{k/2}=\alpha\left(