2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)專業(yè)實踐能力訓(xùn)練考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知一組樣本數(shù)據(jù)：4,7,9,10,12,13,15。請計算該樣本的樣本量、樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。二、某工廠生產(chǎn)一批零件，已知零件長度服從正態(tài)分布N(10,0.5^2)?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個零件，測得長度分別為：9.8,10.1,10.3,10.0,9.9,10.2,10.4,10.1,9.7,10.3。(1)計算這10個零件長度的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(2)檢驗這批零件的長度是否顯著偏離設(shè)計長度10（α=0.05），請寫出檢驗的步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、給出結(jié)論。三、某研究者想要了解某種新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。他隨機(jī)選取了60名學(xué)生，其中30人接受新教學(xué)方法（實驗組），30人接受傳統(tǒng)教學(xué)方法（對照組）。經(jīng)過一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，兩組學(xué)生的平均數(shù)學(xué)成績分別為：實驗組85分，對照組80分。假設(shè)已知兩組學(xué)生的成績標(biāo)準(zhǔn)差分別為：實驗組σ1=8分，對照組σ2=10分。(1)計算兩種教學(xué)方法下學(xué)生平均成績之差的95%置信區(qū)間。(2)在α=0.05的顯著性水平下，檢驗新教學(xué)方法是否顯著優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)方法。請寫出檢驗的步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、給出結(jié)論。四、一家超市想要了解顧客每周在該超市的平均消費金額。隨機(jī)抽取了200名顧客，記錄了他們上周在該超市的消費金額（單位：元）。根據(jù)這200名顧客的數(shù)據(jù)，計算得到樣本均值為150元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30元。(1)估計該超市所有顧客每周平均消費金額的95%置信區(qū)間。(2)如果超市希望以95%的置信水平估計所有顧客每周平均消費金額，并將誤差范圍控制在±5元以內(nèi)，需要抽取多少名顧客進(jìn)行抽樣調(diào)查？五、某公司想要調(diào)查員工對公司新福利政策的滿意度。隨機(jī)抽取了100名員工進(jìn)行調(diào)查，其中45名員工表示滿意，55名員工表示不滿意。(1)計算員工對該公司新福利政策表示滿意的概率的95%置信區(qū)間。(2)在α=0.05的顯著性水平下，檢驗員工對該公司新福利政策是否滿意（即滿意比例是否顯著大于50%）。請寫出檢驗的步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、給出結(jié)論。六、為了研究廣告投入與產(chǎn)品銷售額之間的關(guān)系，收集了某產(chǎn)品過去10個月的廣告投入（單位：萬元）和銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下：月份：12345678910廣告投入：2315243652銷售額：50803012060907015011040(1)計算廣告投入與銷售額之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并說明其含義。(2)建立以銷售額為因變量，廣告投入為自變量的線性回歸方程。(3)當(dāng)廣告投入為4萬元時，預(yù)測銷售額是多少？(4)計算回歸方程的判定系數(shù)R^2，并解釋其含義。七、某醫(yī)院想要比較兩種不同藥物A和B治療某種疾病的療效。隨機(jī)抽取了50名患者，其中25人服用藥物A，25人服用藥物B。治療一段時間后，記錄了患者癥狀改善的程度（用評分表示，分?jǐn)?shù)越高表示改善越明顯）。假設(shè)已知兩組患者的評分?jǐn)?shù)據(jù)如下（數(shù)據(jù)已整理，無需再抽取）：藥物A組：評分?jǐn)?shù)據(jù)已給出（此處省略具體數(shù)據(jù)，假設(shè)數(shù)據(jù)符合要求）藥物B組：評分?jǐn)?shù)據(jù)已給出（此處省略具體數(shù)據(jù)，假設(shè)數(shù)據(jù)符合要求）(1)請設(shè)計一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計檢驗方法，比較兩種藥物的療效是否存在顯著差異（α=0.05）。請寫出檢驗的步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、給出結(jié)論。(2)如果要繪制圖表來直觀展示兩種藥物的療效差異，你會選擇繪制哪種類型的圖表？并說明理由。試卷答案一、樣本量n=7。樣本均值$\bar{x}=\frac{4+7+9+10+12+13+15}{7}=10$。排序后樣本數(shù)據(jù)為：4,7,9,10,12,13,15。樣本中位數(shù)$M_e=(10+10)/2=10$。樣本方差$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{(4-10)^2+(7-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2+(13-10)^2+(15-10)^2}{6}=\frac{42}{6}=7$。樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{7}\approx2.6458$。二、(1)樣本均值$\bar{x}=\frac{9.8+10.1+10.3+10.0+9.9+10.2+10.4+10.1+9.7+10.3}{10}=10.05$。樣本方差$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{(9.8-10.05)^2+\cdots+(10.3-10.05)^2}{9}=\frac{0.44}{9}\approx0.0489$。樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0.0489}\approx0.221$。(2)檢驗步驟：*提出假設(shè)：$H_0:\mu=10$vs$H_1:\mu\neq10$。*選擇檢驗統(tǒng)計量：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma$已知，使用Z檢驗。$Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{10.05-10}{0.5/\sqrt{10}}=\frac{0.05}{0.1581}\approx0.316$。*給出結(jié)論：對于雙尾檢驗，$\alpha=0.05$，臨界值$Z_{\alpha/2}=1.96$。因為$|Z|=0.316<1.96$，所以不能拒絕原假設(shè)$H_0$。結(jié)論：在顯著性水平0.05下，沒有足夠證據(jù)表明這批零件的長度顯著偏離設(shè)計長度10。三、(1)計算標(biāo)準(zhǔn)誤$SE=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}=\sqrt{\frac{8^2}{30}+\frac{10^2}{30}}=\sqrt{\frac{64}{30}+\frac{100}{30}}=\sqrt{\frac{164}{30}}\approx\sqrt{5.4667}\approx2.334$。計算置信區(qū)間：$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pmZ_{\alpha/2}\timesSE=(85-80)\pm1.96\times2.334=5\pm4.595=[0.405,9.595]$。95%置信區(qū)間為[0.405,9.595]分。(2)檢驗步驟：*提出假設(shè)：$H_0:\mu_1-\mu_2=0$vs$H_1:\mu_1-\mu_2>0$。*選擇檢驗統(tǒng)計量：由于兩總體標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma_1,\sigma_2$已知，使用Z檢驗。$Z=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}=\frac{(85-80)-0}{2.334}=\frac{5}{2.334}\approx2.14$。*給出結(jié)論：對于單尾檢驗，$\alpha=0.05$，臨界值$Z_{\alpha}=1.645$。因為$Z=2.14>1.645$，所以拒絕原假設(shè)$H_0$。結(jié)論：在顯著性水平0.05下，有足夠證據(jù)表明新教學(xué)方法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)方法。四、(1)計算標(biāo)準(zhǔn)誤$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{200}}=\frac{30}{14.142}\approx2.121$。計算置信區(qū)間：$\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\timesSE=150\pm1.96\times2.121=150\pm4.157=[145.843,154.157]$。95%置信區(qū)間為[145.843,154.157]元。(2)需要的樣本量$n=(\frac{Z_{\alpha/2}\timess}{E})^2=(\frac{1.96\times30}{5})^2=(\frac{58.8}{5})^2=(11.76)^2\approx138.2976$。由于樣本量必須為整數(shù)，且結(jié)果應(yīng)確保置信水平不低于95%且誤差范圍不超過±5元，需向上取整，即需要抽取139名顧客。五、(1)計算樣本比例$\hat{p}=\frac{45}{100}=0.45$。計算標(biāo)準(zhǔn)誤$SE=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.45\times(1-0.45)}{100}}=\sqrt{\frac{0.2475}{100}}=\sqrt{0.002475}\approx0.04975$。計算置信區(qū)間：$\hat{p}\pmZ_{\alpha/2}\timesSE=0.45\pm1.96\times0.04975=0.45\pm0.0975=[0.3525,0.5475]$。95%置信區(qū)間為[0.3525,0.5475]。(2)檢驗步驟：*提出假設(shè)：$H_0:p\leq0.5$vs$H_1:p>0.5$。*選擇檢驗統(tǒng)計量：使用Z檢驗。$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0.45-0.5}{\sqrt{\frac{0.5\times0.5}{100}}}=\frac{-0.05}{\sqrt{0.0025}}=\frac{-0.05}{0.05}=-1$。*給出結(jié)論：對于單尾檢驗，$\alpha=0.05$，臨界值$Z_{\alpha}=1.645$。因為$Z=-1<1.645$，所以不能拒絕原假設(shè)$H_0$。結(jié)論：在顯著性水平0.05下，沒有足夠證據(jù)表明員工對該公司新福利政策滿意比例顯著大于50%。六、(1)計算廣告投入與銷售額的樣本均值：$\bar{x}=\frac{2+3+1+5+2+4+3+6+5+2}{10}=3.3$。$\bar{y}=\frac{50+80+30+120+60+90+70+150+110+40}{10}=80$。計算樣本協(xié)方差$s_{xy}=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}=\frac{(2-3.3)(50-80)+\cdots+(2-3.3)(40-80)}{9}=\frac{420}{9}\approx46.667$。計算樣本方差：$s_x^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{(2-3.3)^2+\cdots+(2-3.3)^2}{9}=\frac{54}{9}=6$。$s_y^2=\frac{\sum(y_i-\bar{y})^2}{n-1}=\frac{(50-80)^2+\cdots+(40-80)^2}{9}=\frac{6400}{9}\approx711.111$。樣本相關(guān)系數(shù)$r=\frac{s_{xy}}{\sqrt{s_x^2s_y^2}}=\frac{46.667}{\sqrt{6\times711.111}}=\frac{46.667}{\sqrt{4266.666}}\approx\frac{46.667}{65.316}\approx0.714$。含義：廣告投入與銷售額之間存在著較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。(2)建立線性回歸方程：$b=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{46.667}{6}\approx7.778$。$a=\bar{y}-b\bar{x}=80-7.778\times3.3\approx80-25.711=54.289$。線性回歸方程為：$\hat{y}=54.289+7.778x$。(3)預(yù)測銷售額：當(dāng)廣告投入$x=4$萬元時，$\hat{y}=54.289+7.778\times4=54.289+31.112=85.401$萬元。預(yù)測銷售額約為85.401萬元。(4)計算判定系數(shù)$R^2=r^2=(0.714)^2\approx0.5099$。含義：廣告投入對銷售額的變異解釋了約50.99%。七、(1)檢驗步驟：*提出假設(shè)：$H_0:\mu_A=\mu_B$vs$H_1:\mu_A\neq\mu_B$。*選擇檢驗統(tǒng)計量：由于樣本量較小（n1=n2=25），且總體方差未知但相等，