2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在小兒病研究中的角色考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.本試卷共八大題，滿分100分，考試時間120分鐘。一、填空題（每小題3分，共15分）1.在一項關于兒童某種慢性病遺傳易感性的研究中，使用了Logistic回歸模型。若模型參數(shù)β?為負值，這通常意味著該研究的自變量所代表的因素與患該慢性病的風險呈______關系。2.假設某兒童疾病的傳播過程可以用簡單的SIR（易感者S、感染者I、康復者R）模型近似描述，其中無病狀態(tài)（S=0）是______穩(wěn)定狀態(tài)。3.為了評估某種新藥對兒童哮喘的控制效果，研究人員記錄了用藥前后兒童的肺功能指標。比較用藥前后指標變化最常用的統(tǒng)計方法之一是______。4.設隨機變量X表示一名兒童在某種檢測中出現(xiàn)的陽性反應次數(shù)，X的可能取值為0,1,2,3。若X服從參數(shù)為n=3和p=0.2的二項分布，則P(X≥2)=______。5.用微分方程描述兒童體溫在發(fā)燒過程中的變化率時，通常需要考慮體溫與周圍環(huán)境溫度的______。二、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述在小兒疾病研究中，使用線性回歸模型進行數(shù)據(jù)分析時，需要滿足哪些重要的前提假設？2.解釋什么是隨機抽樣在小兒流行病學調(diào)查中的重要性，并舉例說明一種適合兒童群體的隨機抽樣方法。3.描述利用微分方程建立兒童疾病傳播模型的基本思路，并說明模型中關鍵參數(shù)的生物學意義。4.在分析兒童生長發(fā)育數(shù)據(jù)時，為什么有時需要用到非參數(shù)統(tǒng)計方法？請舉例說明。三、計算與分析題（每小題8分，共24分）1.某研究觀測了100名年齡在5-10歲之間的兒童，記錄了他們是否患有過敏性鼻炎（Y=1為是，Y=0為否）以及是否生活在空氣污染較嚴重的區(qū)域（X=1為是，X=0為否）。假設觀測數(shù)據(jù)如下（簡化示例）：人數(shù)|生活在污染區(qū)且患鼻炎|生活在污染區(qū)且未患鼻炎|未生活在污染區(qū)且患鼻炎|未生活在污染區(qū)且未患鼻炎---|---|---|---|---數(shù)量|15|25|10|50（1）計算患鼻炎兒童的比率和生活在污染區(qū)兒童的比率。（2）請簡述如何利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)建一個簡單的關聯(lián)性分析（無需具體計算，說明方法和目的即可）。2.假設某兒童藥物劑量y（單位：mg/kg）與藥物在血液中的濃度x（單位：mg/L）近似滿足線性關系。測得兩名兒童服藥后不同時間的濃度數(shù)據(jù)如下：兒童A：x?=1,y?=5；x?=2,y?=9。兒童B：x?=1,y?=6；x?=2,y?=10。（1）分別計算兩組數(shù)據(jù)線性關系的近似斜率和截距（使用平均數(shù)法）。（2）比較兩組斜率的含義，并解釋可能的原因。3.設一個簡單的兒童疾病傳播模型由以下微分方程描述：dI/dt=βSI-γI，其中S為易感兒童數(shù)，I為感染兒童數(shù)，β為傳染率，γ為康復率。假設初始時刻S?=1000,I?=1,β=0.002,γ=0.001。請解釋該方程中各項的物理意義，并說明該模型預測感染兒童I(t)隨時間t的變化趨勢（定性描述）。四、建模與求解題（共16分）假設研究人員希望建立一個簡單的數(shù)學模型來描述某城市兒童某種傳染病的爆發(fā)過程。模型考慮兩個階段：潛伏期和顯性感染期。設該傳染病潛伏期為T天，一旦進入顯性感染期，兒童會被隔離，不再傳染他人。（1）請構(gòu)建一個描述此過程的數(shù)學模型（可以使用方程、函數(shù)或邏輯關系描述均可）。（8分）（2）假設潛伏期T=5天，一個被感染的兒童在潛伏期末進入顯性感染期。請根據(jù)你的模型，描述接下來幾天內(nèi)，這個兒童對其他易感兒童可能產(chǎn)生的“影響”（傳染風險），并解釋為什么這種影響會隨時間減弱。（8分）五、論述題（共25分）數(shù)學方法在小兒疾病研究領域扮演著日益重要的角色。請結(jié)合具體的應用場景（如疾病診斷、治療優(yōu)化、流行病預測、遺傳風險評估等），論述數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析技術如何幫助研究人員更深入地理解疾病機制、更有效地制定防控策略，并分析在這一過程中可能遇到的挑戰(zhàn)以及未來的發(fā)展方向。試卷答案一、填空題（每小題3分，共15分）1.反2.不3.配對樣本t檢驗4.0.05125.差異二、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述在小兒疾病研究中，使用線性回歸模型進行數(shù)據(jù)分析時，需要滿足哪些重要的前提假設？*解析思路：回歸分析的核心是檢驗變量間的線性關系。前提假設包括：線性關系（數(shù)據(jù)點大致呈直線趨勢）、誤差獨立性（殘差之間不相關）、同方差性（不同自變量取值下，殘差的方差相等）、正態(tài)性（殘差服從正態(tài)分布）。需結(jié)合散點圖初步判斷線性關系和同方差性，通過殘差分析檢驗其他假設。2.解釋什么是隨機抽樣在小兒流行病學調(diào)查中的重要性，并舉例說明一種適合兒童群體的隨機抽樣方法。*解析思路：隨機抽樣能確保每個個體被抽中的概率相等，從而避免主觀偏見，使得樣本統(tǒng)計量能較好地代表總體特征，保證研究結(jié)果的普適性和可靠性。適合兒童群體的方法如：分層整群抽樣（按學校、社區(qū)等分層，再在各層隨機抽取班級或兒童），或在特定場所（如幼兒園、學校）進行整群抽樣，操作相對便捷。3.描述利用微分方程建立兒童疾病傳播模型的基本思路，并說明模型中關鍵參數(shù)的生物學意義。*解析思路：基本思路是：明確研究的群體（易感者S、感染者I、康復者R等）、確定各群體間的轉(zhuǎn)換關系（如感染率、康復率）、根據(jù)生物學原理建立描述這些關系的數(shù)學方程（通常是微分方程）。關鍵參數(shù)如傳染率β（表示易感者被感染者感染的平均速率）、康復率γ（表示感染者恢復或死亡的速率）。β越高表示疾病越容易傳播，γ越高表示疾病恢復越快。4.在分析兒童生長發(fā)育數(shù)據(jù)時，為什么有時需要用到非參數(shù)統(tǒng)計方法？請舉例說明。*解析思路：非參數(shù)方法不依賴數(shù)據(jù)的具體分布形態(tài)，適用于數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設、數(shù)據(jù)存在異常值、或研究目的只是比較中心位置（如中位數(shù)）時。兒童生長發(fā)育數(shù)據(jù)可能存在偏態(tài)分布（如身高、體重），或測量中存在誤差導致異常值，此時使用非參數(shù)方法（如Mann-WhitneyU檢驗比較兩組中位數(shù)，Kruskal-Wallis檢驗比較多組中位數(shù)）更穩(wěn)健。三、計算與分析題（每小題8分，共24分）1.某研究觀測了100名年齡在5-10歲之間的兒童，記錄了他們是否患有過敏性鼻炎（Y=1為是，Y=0為否）以及是否生活在空氣污染較嚴重的區(qū)域（X=1為是，X=0為否）。假設觀測數(shù)據(jù)如下（簡化示例）：人數(shù)|生活在污染區(qū)且患鼻炎|生活在污染區(qū)且未患鼻炎|未生活在污染區(qū)且患鼻炎|未生活在污染區(qū)且未患鼻炎---|---|---|---|---數(shù)量|15|25|10|50（1）計算患鼻炎兒童的比率和生活在污染區(qū)兒童的比率。*答案：患鼻炎兒童比率=(15+10)/(100)=0.25(25%)；生活在污染區(qū)兒童比率=(15+25)/(100)=0.40(40%)。*解析思路：患鼻炎比率是所有鼻炎兒童數(shù)量除以總?cè)藬?shù)。生活在污染區(qū)比率是所有生活在污染區(qū)兒童數(shù)量除以總?cè)藬?shù)。（2）請簡述如何利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)建一個簡單的關聯(lián)性分析（無需具體計算，說明方法和目的即可）。*答案：可以使用卡方檢驗（Chi-squaretest）來分析生活在污染區(qū)（X）與患鼻炎（Y）之間是否存在統(tǒng)計學上的關聯(lián)。目的是檢驗這兩個分類變量在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)是否符合獨立性的預期，從而判斷是否存在關聯(lián)性。*解析思路：對于兩個分類變量的關聯(lián)性分析，當樣本量較大且理論頻數(shù)不滿足卡方檢驗條件時，常用卡方檢驗。目的是判斷自變量（污染區(qū)）與因變量（鼻炎）是否獨立。2.假設某兒童藥物劑量y（單位：mg/kg）與藥物在血液中的濃度x（單位：mg/L）近似滿足線性關系。測得兩名兒童服藥后不同時間的濃度數(shù)據(jù)如下：兒童A：x?=1,y?=5；x?=2,y?=9。兒童B：x?=1,y?=6；x?=2,y?=10。（1）分別計算兩組數(shù)據(jù)線性關系的近似斜率和截距（使用平均數(shù)法）。*答案：兒童A：斜率b≈(9-5)/(2-1)=4；截距a≈(5+9)/2-4*(1+2)/2=7-6=1。方程近似為y=4x+1。兒童B：斜率b≈(10-6)/(2-1)=4；截距a≈(6+10)/2-4*(1+2)/2=8-6=2。方程近似為y=4x+2。*解析思路：平均數(shù)法構(gòu)建回歸線，斜率b是y差除以x差，截距a是y的平均值減去斜率乘以x的平均值。（2）比較兩組斜率的含義，并解釋可能的原因。*答案：兩組斜率均為4，表示對于每增加1mg/L的血液濃度，藥物劑量增加4mg/kg。這種一致性可能是因為數(shù)據(jù)點恰好落在線性關系上，或者暗示對于這兩名兒童，該藥物的血藥濃度與劑量之間存在固定的線性比例關系。差異（兒童B的截距更高）可能反映了基礎代謝率、體重或其他個體因素導致需要更高的初始劑量才能達到相同的血藥濃度。*解析思路：斜率表示x每變化一個單位，y平均變化的量。比較斜率看趨勢是否一致，解釋一致性可能的原因（數(shù)據(jù)、模型適用性），解釋差異可能源于個體生物學差異。3.設一個簡單的兒童疾病傳播模型由以下微分方程描述：dI/dt=βSI-γI，其中S為易感兒童數(shù)，I為感染兒童數(shù)，β為傳染率，γ為康復率。假設初始時刻S?=1000,I?=1,β=0.002,γ=0.001。請解釋該方程中各項的物理意義，并說明該模型預測感染兒童I(t)隨時間t的變化趨勢（定性描述）。*答案：方程中βSI項表示感染率，即易感者S與感染者I的接觸導致的新增感染人數(shù)速率；γI項表示康復率，即感染者I因康復或死亡而離開感染群體的人數(shù)速率。該模型預測I(t)會先快速上升（因為初期S值大，βSI項主導），達到峰值后逐漸下降（因為S值減少，γI項相對或絕對主導）。最終I(t)趨近于0。*解析思路：解釋各項代表的具體人口流動速率。定性分析I(t)的變化趨勢需考慮項的相對大小隨時間的變化：初期S大，βSI可能大于γI；隨著I增加S減少，γI可能超過βSI，導致I增長放緩甚至下降。四、建模與求解題（共16分）假設研究人員希望建立一個簡單的數(shù)學模型來描述某城市兒童某種傳染病的爆發(fā)過程。模型考慮兩個階段：潛伏期和顯性感染期。設該傳染病潛伏期為T天，一旦進入顯性感染期，兒童會被隔離，不再傳染他人。（1）請構(gòu)建一個描述此過程的數(shù)學模型（可以使用方程、函數(shù)或邏輯關系描述均可）。（8分）*答案：設t=0時刻有N?名易感兒童，潛伏期為T天。在0到T天內(nèi)，易感兒童不會發(fā)病但可能攜帶病原體，此時感染者數(shù)量I(t)=0。在t=T時刻，這部分攜帶病原體的兒童進入顯性感染期，此時有N?名兒童同時發(fā)病，即I(T)=N?。之后，這些發(fā)病兒童被隔離，不再傳染他人。模型可以描述為：潛伏期（0≤t<T）內(nèi)，I(t)=0；顯性感染期（t≥T）內(nèi)，I(t)=N?。*解析思路：根據(jù)題設條件，明確潛伏期內(nèi)感染數(shù)為0，顯性感染期開始時感染數(shù)達到峰值N?，之后因隔離而恒定不變?？梢杂梅侄魏瘮?shù)或條件語句來描述。（2）假設潛伏期T=5天，一個被感染的兒童在潛伏期末進入顯性感染期。請根據(jù)你的模型，描述接下來幾天內(nèi)，這個兒童對其他易感兒童可能產(chǎn)生的“影響”（傳染風險），并解釋為什么這種影響會隨時間減弱。（8分）*答案：在潛伏期末（t=T=5天），該兒童進入顯性感染期，開始對其他易感兒童產(chǎn)生傳染風險。其影響（傳染力）在t=5天達到一個峰值，之后隨著其在隔離措施下被隔離，或者潛伏期結(jié)束的其他感染者也被隔離，其作為傳染源的作用消失或減弱。因此，對其他易感兒童的直接影響在t=5天后迅速下降至0。這種影響減弱主要是因為傳染源被移除（隔離），且模型假設一旦顯性感染即被隔離，不再傳染。*解析思路：結(jié)合模型和假設，描述傳染風險在時間上的變化。解釋風險減弱的原因：主要在于傳染源（該兒童）的狀態(tài)變化（被隔離），以及模型本身的設定（顯性感染即隔離）。五、論述題（共25分）數(shù)學方法在小兒疾病研究領域扮演著日益重要的角色。請結(jié)合具體的應用場景（如疾病診斷、治療優(yōu)化、流行病預測、遺傳風險評估等），論述數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析技術如何幫助研究人員更深入地理解疾病機制、更有效地制定防控策略，并分析在這一過程中可能遇到的挑戰(zhàn)以及未來的發(fā)展方向。*答案：數(shù)學方法通過建立模型和數(shù)據(jù)分析，為小兒疾病研究提供了量化、預測和優(yōu)化的工具。1.理解疾病機制：通過建立生理過程（如藥物代謝、病原體傳播）的數(shù)學模型（如微分方程、動力學模型），可以定量描述關鍵參數(shù)，揭示變量間復雜的相互作用關系