2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——隨機(jī)過(guò)程的理論模型構(gòu)建考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè){X(t),t≥0}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其樣本函數(shù)為x(t,ω)=sin(ω?t+Θ),其中ω?>0是常數(shù)，Θ是一個(gè)在[0,2π]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，且與t無(wú)關(guān)。說(shuō)明{X(t),t≥0}是否是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，并指出其狀態(tài)空間。二、已知隨機(jī)過(guò)程Y(t)=X(t)cos(ωt)+Z(t)，其中{X(t),t≥0}和{Z(t),t≥0}是相互獨(dú)立的過(guò)程，且X(t)的均值E[X(t)]=0，Z(t)是一個(gè)均值為0，方差為σ2的常數(shù)過(guò)程。求Y(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。三、設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)參數(shù)為λ的泊松過(guò)程。定義Y(t)=1-exp(-λt)。證明Y(t)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。四、設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)廣義平穩(wěn)過(guò)程，其均值函數(shù)為μx(t)=μ，自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)=σ2e^(-|t?-t?|/τ)。求該過(guò)程的一階、二階矩，并計(jì)算其功率譜密度函數(shù)Sxx(ω)。五、證明：如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的均值函數(shù)μx(t)恒為0，且自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)滿足Rxx(t?,t?)=Rxx(τ)=R(τ)，其中τ=t?-t?，那么該過(guò)程是平穩(wěn)的。六、設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.2,0.7]]。求狀態(tài)1到狀態(tài)3的平均首次返回時(shí)間。七、設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)維納過(guò)程W(t)。定義Y(t)=tX(t)。證明Y(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，并說(shuō)明Y(t)是否是一個(gè)馬爾可夫過(guò)程。八、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)游走過(guò)程{Xn,n≥0}，其中X?=0，且對(duì)于n≥1，Xn=Xn-1+Sn，其中{Sn,n≥1}是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Sn~N(0,σ2)。證明{Xn,n≥0}是一個(gè)馬爾可夫鏈，并求其轉(zhuǎn)移概率矩陣。九、設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)滿足Rxx(τ)=2e^(-|τ|)。求該過(guò)程通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)H(e^(jω))=1/(1-0.5e^(-jω))后的輸出過(guò)程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)Ryy(τ)。試卷答案一、{X(t),t≥0}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。其狀態(tài)空間為所有實(shí)數(shù)R。解析思路：樣本函數(shù)x(t,ω)是t和ω的函數(shù)，對(duì)于固定的ω，x(t,ω)=sin(ω?t+Θ)是t的連續(xù)函數(shù)；對(duì)于任意的t，x(t,ω)是Θ的函數(shù)，而Θ在R上取值。因此，對(duì)于任意的t，X(t)的值可以取(-1,1)范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，狀態(tài)空間是R。二、E[Y(t)]=0;Ryy(t?,t?)=σ2e^(-|t?-t?|/τ)+(E[X(t)]cos(ωt?)+E[Z(t)])2*(E[cos(ω(t?-t))]+τ)(若Z(t)為常數(shù)，則E[Z(t)]=σ2，且Rzz(t?,t?)=σ2δ(t?-t?)，cos項(xiàng)積化為0)解析思路：利用線性性質(zhì)求均值函數(shù)E[Y(t)]=E[X(t)cos(ωt)]+E[Z(t)]。由于X(t)均值為0，且Z(t)為常數(shù)，其期望為σ2。利用E[cos(ωt)]=0和E[Z(t)]=σ2，得到E[Y(t)]=σ2。自相關(guān)函數(shù)Ryy(t?,t?)=E[Y(t?)Y(t?)]=E[X(t?)cos(ωt?)X(t?)cos(ωt?)]+E[X(t?)cos(ωt?)Z(t?)]+E[Z(t?)X(t?)cos(ωt?)]+E[Z(t?)Z(t?)]。利用獨(dú)立性、均值和W(t)的自相關(guān)性質(zhì)，計(jì)算各項(xiàng)。第一項(xiàng)利用X(t)的自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)=σ2e^(-|t?-t?|/τ)和三角恒等式。第二、三兩項(xiàng)因含cos項(xiàng)積的期望為0而為0。第四項(xiàng)E[Z(t?)Z(t?)]=σ2δ(t?-t?)。合并得到結(jié)果。三、證明：對(duì)于任意t?,t?≥0且t?<t?，有E[Y(t?)|F(t?)]=E[X(t?)cos(ωt?)+Z(t?)|F(t?)](利用Y(t)定義和{X(t),Z(t)}獨(dú)立)=E[X(t?)cos(ωt?)|F(t?)]+E[Z(t?)|F(t?)](獨(dú)立)=cos(ωt?)E[X(t?)|F(t?)]+E[Z(t?)](X(t)與F(t?)的條件獨(dú)立性)=cos(ωt?)E[X(t?)]+E[Z(t?)](泊松過(guò)程的獨(dú)立增量和增量獨(dú)立性)=cos(ωt?)*0+0(X(t)均值為0,Z(t)均值為0)=0.故Y(t)是一個(gè)馬爾可夫過(guò)程。又E[Y(t)]=1-e^(-λt)=μx(t)，Ryy(t?,t?)=E[Y(t?)Y(t?)]=e^(-λ(t?-t?))=Rxx(τ)，故Y(t)是平穩(wěn)過(guò)程。解析思路：證明平穩(wěn)性，需證均值函數(shù)為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時(shí)間差τ。首先證明Y(t)是馬爾可夫過(guò)程，即滿足馬爾可夫性質(zhì)E[Y(t?)|F(t?)]=E[Y(t?)]。利用Y(t)的定義和X(t)、Z(t)的獨(dú)立性，逐步化簡(jiǎn)條件期望。利用泊松過(guò)程的獨(dú)立增量性質(zhì)和均值為0的特性，最終得到E[Y(t?)|F(t?)]=0。其次，計(jì)算均值函數(shù)E[Y(t)]=1-e^(-λt)，發(fā)現(xiàn)其為常數(shù)。計(jì)算自相關(guān)函數(shù)Ryy(t?,t?)=E[Y(t?)Y(t?)]，利用X(t)和Z(t)的性質(zhì)，最終得到Ryy(t?,t?)=e^(-λ(t?-t?))，僅依賴于τ。因此Y(t)是平穩(wěn)過(guò)程。四、E[X(t)]=μ;E[X(t)2]=σ2+μ2;Rxx(t?,t?)=σ2e^(-|t?-t?|/τ)。Sxx(ω)=F{Rxx(τ)}=∫[-∞,+∞]Rxx(τ)e^(-jωτ)dτ=∫[-∞,+∞]σ2e^(-|τ|/τ)e^(-jωτ)dτ=σ2[∫[-∞,0]e^((1-jω)τ)dτ+∫[0,+∞]e^(-(1+jω)τ)dτ]=σ2[(e^(1-jω)/(1-jω))-(e^(-(1+jω)/(1+jω))]=σ2(1-jω+1+jω)/(1-ω2)=2σ2/(1-ω2)(ω2≠1)解析思路：廣義平穩(wěn)過(guò)程，均值函數(shù)為常數(shù)μx(t)=μ。計(jì)算一階矩E[X(t)2]=E[X(t)X(t)]=Rxx(0)=σ2+μ2。計(jì)算自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)=E[X(t?)X(t?)]=σ2e^(-|t?-t?|/τ)（由定義和廣義平穩(wěn)特性）。計(jì)算功率譜密度函數(shù)Sxx(ω)是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。對(duì)Rxx(τ)進(jìn)行分段積分，得到Sxx(ω)。五、證明：根據(jù)廣義平穩(wěn)性定義，需證均值函數(shù)為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)=R(τ)，其中τ=t?-t?。已知μx(t)=0。自相關(guān)函數(shù)Rxx(t?,t?)=Rxx(τ)。顯然Rxx(t?,t?)關(guān)于t?,t?對(duì)稱，即Rxx(t?,t?)=Rxx(t?,t?)。令t?=t?+τ，則Rxx(t?,t?)=Rxx(t?,t?+τ)=Rxx(τ)。即自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時(shí)間差τ。因此，該過(guò)程滿足廣義平穩(wěn)性的兩個(gè)條件：均值函數(shù)為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時(shí)間差τ。故該過(guò)程是平穩(wěn)的。解析思路：直接應(yīng)用廣義平穩(wěn)性的定義進(jìn)行證明。首先驗(yàn)證均值函數(shù)是否為常數(shù)，題目已給μx(t)=0。然后驗(yàn)證自相關(guān)函數(shù)R(t?,t?)是否僅依賴于時(shí)間差τ=t?-t?。利用對(duì)稱性R(t?,t?)=R(t?,t?)，并將其中一個(gè)變量替換為t?+τ，看是否等于R(τ)。經(jīng)計(jì)算證明R(t?,t?)=R(τ)。滿足兩個(gè)條件，即得證。六、平均首次返回時(shí)間T=E[T?|X(0)=1]+1=∞.解析思路：計(jì)算從狀態(tài)1到狀態(tài)3的平均首次返回時(shí)間，實(shí)際上是計(jì)算狀態(tài)1到狀態(tài)3的期望首次返回時(shí)間E[T?|X(0)=1]。根據(jù)馬爾可夫鏈的性質(zhì)，E[T?|X(0)=1]=1/P(X?=3|X(0)=1)=1/P(X?=3)。從狀態(tài)1出發(fā)，一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3的概率為P(X?=3|X(0)=1)=P?,3=0.1。因此E[T?|X(0)=1)=1/0.1=10。所以從狀態(tài)1到狀態(tài)3的平均首次返回時(shí)間為10步。題目要求的是從狀態(tài)1到狀態(tài)3的平均首次返回時(shí)間，通常指從狀態(tài)1出發(fā)，首次到達(dá)狀態(tài)3所需的步數(shù)期望。根據(jù)轉(zhuǎn)移概率，從狀態(tài)1出發(fā)，首次到達(dá)狀態(tài)3的概率為0.1，因此期望步數(shù)為1/0.1=10。所以平均首次返回時(shí)間為10。七、E[Y(t)]=E[tX(t)]=tE[X(t)]=tμ(若W(t)均值為0);Cov(Y(t),Y(t+τ))=E[Y(t)Y(t+τ)]-E[Y(t)]E[Y(t+τ)]=E[tX(t)X(t+τ)]-tμ*tμ(若W(t)均值為0)=tE[X(t)X(t+τ)]-t2μ2=tRxx(t,t+τ)-t2μ2(若W(t)均值為0)=t*σ2e^(-|t+τ|/τ)-t2μ2(若W(t)均值為0).Y(t)不是馬爾可夫過(guò)程。解析思路：計(jì)算均值函數(shù)E[Y(t)]=E[tX(t)]。利用維納過(guò)程的均值特性E[X(t)]=0(若W(t)均值為0)，得到E[Y(t)]=0(若W(t)均值為0)。計(jì)算協(xié)方差函數(shù)Cov(Y(t),Y(t+τ))=E[Y(t)Y(t+τ)]-E[Y(t)]E[Y(t+τ)]。利用E[Y(t)]=tμ(若W(t)均值為0)，化簡(jiǎn)為Cov(Y(t),Y(t+τ))=tE[X(t)X(t+τ)]-t2μ2(若W(t)均值為0)。利用維納過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)Rxx(t,t+τ)=σ2e^(-|t+τ|/τ)，得到Cov(Y(t),Y(t+τ))=tσ2e^(-|t+τ|/τ)-t2μ2(若W(t)均值為0)。由于Y(t)的均值函數(shù)E[Y(t)]=tμ(若W(t)均值為0)依賴于時(shí)間t，不恒為常數(shù)，且協(xié)方差函數(shù)也依賴于t，因此Y(t)不是平穩(wěn)過(guò)程。判斷Y(t)是否為馬爾可夫過(guò)程，需要驗(yàn)證Y(t)是否滿足馬爾可夫性質(zhì)。由于維納過(guò)程W(t)不是馬爾可夫過(guò)程，且Y(t)是W(t)的線性函數(shù)(乘以t)，Y(t)也不是馬爾可夫過(guò)程。八、證明{Xn,n≥0}是馬爾可夫鏈。需證對(duì)任意n≥1,k≥1,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P(Xn+k|Xn,Xn-1,...,X?)=P(Xn+k|Xn)。P(Xn+k|Xn,Xn-1,...,X?)=P(Xn+k|Xn)(利用Xn+1=Xn+Sn,Sn與過(guò)去獨(dú)立,且Xn已知)=P(Xn+1+Sn+1|Xn)(n+k=n+1+(n+k-1))=P(Xn+1|Xn)P(Sn+1|Xn)+P(Sn+1|Xn)P(Xn+1+Sn+1|Xn)(全概率公式)=P(Xn+1|Xn)P(Sn+1|Xn)+P(Sn+1|Xn)P(Xn+1|Xn)(Sn+1與Xn獨(dú)立)=P(Xn+1|Xn)(P(Sn+1|Xn)+P(Sn+1|Xn))(P(Sn+1|Xn)=1)=P(Xn+1|Xn).由于P(Xn+k|Xn)=P(Xn+1|Xn)，所以{Xn,n≥0}是馬爾可夫鏈。轉(zhuǎn)移概率矩陣P=[[p??,p??,p??],[p??,p??,p??],[p??,p??,p??]]，其中p??=P(Xn+1=j|Xn=i)=P(Xn+Sn=j|Xn=i)=P(Sn=j-i).由于Sn~N(0,σ2),所以P(Sn=j-i)=∫[-∞,+∞]φ((j-i)/σ)φ(t)dt(其中φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)).因此，轉(zhuǎn)移概率矩陣P的元素p??=∫[-∞,+∞]φ((j-i)/σ)φ(t)dt(i,j∈{1,2,3},i≠j).解析思路：首先證明{Xn,n≥0}是馬爾可夫鏈。利用Xn+1=Xn+Sn的定義，以及Sn與過(guò)去獨(dú)立，且Xn已知，可以證明P(Xn+k|Xn,...,X?)=P(Xn+1|Xn)。由于P(Xn+k|Xn)=P(Xn+1|Xn)，所以該鏈?zhǔn)邱R爾可夫鏈。其次，計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣。轉(zhuǎn)移概率p??=P(Xn+1=j|Xn=i)=P(Sn=j-i)。由于Sn是均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布，即Sn~N(0,σ2)，其概率密度函數(shù)為φ(x)=(1/σ√(2π))e^(-x2/2σ2)。因此，p??是正態(tài)分布N(0,σ2)的概率密度函數(shù)在區(qū)間[j-i,j-i]上的積分。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)性質(zhì)，p??=∫[-∞,+∞]φ((j-i)/σ)φ(t)dt。九、Ryy(τ)=E[Y(t)Y(t+τ)]=E[(X(t)cos(ωt)+Z(t))((t+τ)cos(ω(t+τ))+Z(t+τ))]=E[X(t)cos(ωt)(t+τ)cos(ω(t+τ))]+E[X(t)cos(ωt)Z(t+τ)]+E[Z(t)(t+τ)cos(ω(t+τ))]+E[Z(t)Z(t+τ)]=(t+τ)E[X(t)cos(ωt)cos(ω(t+τ))]+E[X(t)cos(ωt)]E[Z(t+τ)]+tE[Z(t)cos(ω(t+τ))]+τE[Z(t)]E[Z(t+τ)]+Rzz(τ)=(t+τ)E[X(t)cos(ωt)cos(ωt)cos(ωτ)]+tE[Z(t)cos(ω(t+τ))]+τE[Z(t)]2+Rzz(τ)(利用E[X(t)]=0,E[Z(t)]=0)=(t+τ)E[X(t)cos2(ωt)cos(ωτ)]+tE[Z(t)cos(ωt)cos(ωτ)sin(ωτ)]+τσ2+Rzz(τ)(利用E[Z(t)]=0)=(t+τ)cos(ωτ)E[X(t)cos2(ωt)]+τσ2+Rzz(τ)(利用E[Z(t)cos(ωt)cos(ωτ)sin(ωτ)]=0)=(t+τ)cos(ωτ)*(1/2)*(1+cos(2ωt))*Rxx(0)+τσ2+σ2δ(τ)(利用Rxx(τ)=2e^(-|τ|)和自相關(guān)函數(shù)性質(zhì))=(t+τ)cos(ωτ)*(1/2)*(1+2)+τσ2+σ2δ(τ)(利用