高數(shù)c下期末考試試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$z=\ln(x+y)$的定義域是（）A.$x+y\gt0$B.$x+y\geq0$C.$x+y\neq0$D.$x\gt0,y\gt0$2.設(shè)$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$，則$f_x(1,2)$等于（）A.8B.7C.6D.53.二重積分$\iint_D1dxdy$（$D$是由$x=0,x=1,y=0,y=1$圍成的區(qū)域）的值為（）A.0B.1C.2D.44.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂的條件是（）A.$p\gt0$B.$p\gt1$C.$p\geq1$D.$p\geq0$5.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$與$\vec=(-1,1,0)$的夾角余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{6}}{6}$B.$-\frac{\sqrt{6}}{6}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$6.直線$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$與平面$x+2y+3z-6=0$的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面內(nèi)7.函數(shù)$z=x^3-3x+y^2$的駐點(diǎn)是（）A.$(1,0)$B.$(-1,0)$C.$(1,0)$和$(-1,0)$D.$(0,0)$8.交換積分次序后，$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy$等于（）A.$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx$B.$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx$C.$\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx$D.$\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx$9.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂半徑是（）A.0B.1C.$+\infty$D.不確定10.設(shè)$u=xy$，則$du$等于（）A.$xdy+ydx$B.$ydx$C.$xdy$D.$dx+dy$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪些是多元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)（）A.有界性B.最值性C.介值性D.可微性2.下列向量中與向量$\vec{a}=(1,-1,2)$垂直的有（）A.$(1,1,0)$B.$(-2,2,2)$C.$(2,2,0)$D.$(1,0,-\frac{1}{2})$3.關(guān)于二重積分的性質(zhì)，正確的有（）A.$\iint_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy=\iint_Df(x,y)dxdy+\iint_Dg(x,y)dxdy$B.$\iint_Dkf(x,y)dxdy=k\iint_Df(x,y)dxdy$（$k$為常數(shù)）C.若在$D$上$f(x,y)\leqg(x,y)$，則$\iint_Df(x,y)dxdy\leq\iint_Dg(x,y)dxdy$D.$\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(y,x)dxdy$4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$5.平面方程的一般式為$Ax+By+Cz+D=0$，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)$D=0$時(shí)，平面過(guò)原點(diǎn)B.當(dāng)$A=0$時(shí)，平面平行于$x$軸C.當(dāng)$A=B=0$時(shí)，平面平行于$xOy$平面D.平面的法向量為$\vec{n}=(A,B,C)$6.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$可微的充分條件有（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在C.函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.函數(shù)在該點(diǎn)的全增量$\Deltaz$滿足$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$（$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$）7.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)有（）A.冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂B.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)C.冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)D.冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分8.下列哪些是柱面方程（）A.$x^2+y^2=1$B.$y^2=2z$C.$x^2+z^2=4$D.$z=x^2+y^2$9.對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，下列說(shuō)法正確的是（）A.鏈?zhǔn)椒▌t是關(guān)鍵B.要明確函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)C.求導(dǎo)時(shí)要注意對(duì)中間變量和自變量的區(qū)分D.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式與復(fù)合結(jié)構(gòu)有關(guān)10.關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的判別方法，正確的有（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.萊布尼茨判別法（針對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)）三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）2.向量$\vec{a}=(1,0,0)$與$\vec=(0,1,0)$的向量積為$(0,0,1)$。（）3.二重積分$\iint_Df(x,y)dxdy$的值只與被積函數(shù)$f(x,y)$和積分區(qū)域$D$有關(guān)。（）4.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）5.平面$2x+3y-z+1=0$的法向量為$(2,3,-1)$。（）6.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(0,0)$處取得極小值。（）7.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂區(qū)間一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。（）8.若函數(shù)$z=f(x,y)$的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$和$\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$在區(qū)域$D$內(nèi)連續(xù)，則在$D$內(nèi)$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$。（）9.曲線$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1\\x+y=0\end{array}\right.$在$xOy$平面上的投影曲線是圓。（）10.無(wú)窮級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是收斂的。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$z=x^2y+3xy^2$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+3y^2$；$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+6xy$。2.計(jì)算二重積分$\iint_Dxydxdy$，其中$D$是由$x=0,x=1,y=0,y=1$圍成的區(qū)域。答案：$\iint_Dxydxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}xydy=\int_{0}^{1}x[\frac{1}{2}y^2]_0^1dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}xdx=[\frac{1}{4}x^2]_0^1=\frac{1}{4}$。3.求冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：由$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}=1$。當(dāng)$x=1$時(shí)，級(jí)數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$發(fā)散；當(dāng)$x=-1$時(shí)，級(jí)數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$收斂。收斂半徑$R=1$，收斂區(qū)間為$[-1,1)$。4.求過(guò)點(diǎn)$(1,2,3)$且與平面$2x-3y+z-1=0$平行的平面方程。答案：所求平面與已知平面平行，法向量相同為$(2,-3,1)$。則平面方程為$2(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0$，即$2x-3y+z+1=0$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)能推出可微；但偏導(dǎo)數(shù)存在推不出函數(shù)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)也推不出偏導(dǎo)數(shù)存在，它們之間的關(guān)系較為復(fù)雜，需準(zhǔn)確把握定義和定理。2.如何利用級(jí)數(shù)斂散性判別法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性？答案：先觀察通項(xiàng)是否趨于0，若不趨于0則發(fā)散。再根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)選判別法，如與已知斂散性級(jí)數(shù)比較用比較判別法；通項(xiàng)含階乘、指數(shù)等用比值或根值判別法，綜合判斷斂散性。3.舉例說(shuō)明二重積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：例如求平面薄片的質(zhì)量，若薄片在$xOy$平面上占有區(qū)域$D$，面密度為$\rho(x,y)$，則質(zhì)量$M=\iint_D\rho(x,y)dxdy$；還可用于求立體體積，如以$z=f(x,y)$為頂，$D$為底的曲頂柱體體積$V=\iint_Df(x,y)dxdy$。4.談?wù)勀銓?duì)向量及其運(yùn)算在空間幾何中的作用的理解。答案：向量可表示點(diǎn)、直線、平面等幾何元素。向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積等運(yùn)算，能用來(lái)判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，求距離、