第二十一章圓（上）【知識(shí)點(diǎn)01】圓的定義與性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：（1）圓心；（2）半徑。圓的對(duì)稱(chēng)性：（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸；（2）圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形?！局R(shí)點(diǎn)02】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：（1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。（2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！局R(shí)點(diǎn)03】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度；2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分【知識(shí)點(diǎn)04】圓心角的概念與性質(zhì)圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等?！局R(shí)點(diǎn)05】圓周角的概念與性質(zhì)圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！局R(shí)點(diǎn)06】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角．【知識(shí)點(diǎn)07】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；d=r點(diǎn)P在⊙O上；d>r點(diǎn)P在⊙O外?！局R(shí)點(diǎn)08】弧長(zhǎng)和扇形面積1.扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積2.扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)注意：（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.（5）在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量. 一、圓的有關(guān)概念與有關(guān)性質(zhì)錯(cuò)誤：忽視概念或性質(zhì)中的前提條件致錯(cuò)注意：圓中概念與性質(zhì)成立的前提條件。如只有“在同圓或等圓中”，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系才能成立，只有“在同圓或等圓中”能夠互相重合的弧叫做等弧．只有不在同一直線上三點(diǎn)才能確定圓，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；1．下列說(shuō)法正確的是（）A．劣弧一定比優(yōu)弧短B．面積相等的圓是等圓C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．如果兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念、圓周角定理及其推論進(jìn)行逐一分析判斷即可．【詳解】解：A.在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B.面積相等的圓是等圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D.必須在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理及其推論、等弧、等圓、以及優(yōu)弧和劣弧等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解各定義的前提條件是在同圓或等圓中．二.垂徑定理1垂徑定理理解和運(yùn)用錯(cuò)誤：對(duì)垂徑定理理解和運(yùn)用不熟練致誤注意：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿(mǎn)足：（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。唬?）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱(chēng)“知二得三”，解題過(guò)程中經(jīng)常通過(guò)做輔助線使半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)成直角三角形來(lái)解決問(wèn)題。2.綜合與實(shí)踐：測(cè)量如圖（1）所示的圓口水杯的杯口直徑．小亮的測(cè)量方法：如圖（3），將硬紙板緊貼在杯口上，紙板的一邊與杯口相切，切點(diǎn)為A，另一邊與杯口相交于B，C兩點(diǎn)，利用刻度尺測(cè)得的長(zhǎng)為．(2)請(qǐng)根據(jù)小亮的測(cè)量方法和所得數(shù)據(jù)，計(jì)算出杯口的直徑（結(jié)果用含字母l的式子表示）．故答案為：的圓周角所對(duì)的弦是直徑；（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為圓心，連接交于點(diǎn)M，連接．2.平行弦距離問(wèn)題錯(cuò)誤：未對(duì)平行弦距離問(wèn)題分類(lèi)討論致誤注意：求兩條弦間的距離時(shí)要分類(lèi)討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)?！敬鸢浮?或7三.圓周角及性質(zhì)1.弦所對(duì)的圓周角錯(cuò)誤：弦所對(duì)的圓周角沒(méi)有分類(lèi)討論注意：弧所對(duì)的圓周角是唯一的，弦所對(duì)的圓周角有兩種情況要特別注意，在圓中，非直徑的弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，且兩個(gè)圓周角互補(bǔ)。四.弧長(zhǎng)與扇形的面積1.立體圖形圓錐與平面圖形扇形間的轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤：立體圖形圓錐與平面圖形扇形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系混亂致誤，注意：1）搞清母線、底面半徑與高的關(guān)系；2）理解弧長(zhǎng)與底面周長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如圖，圓錐的底面半徑為r，底面周長(zhǎng)為C，母線為a，高為h；扇形的圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l。重要關(guān)系：①圓錐的底面周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)，即C=l；②圓錐的母線=扇形的半徑，即a=R。5．綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)底圓錐步驟1：將圓形紙板對(duì)折，如圖2，得出兩個(gè)相同的半圓，并剪去一個(gè)半圓；步驟2：如圖3，在剪好的半圓紙板中，圓心為，直徑為，使與重合，制作成一個(gè)無(wú)底的圓錐．猜想與計(jì)算：(1)直接寫(xiě)出圓形紙板的周長(zhǎng)與圓錐的底面周長(zhǎng)的大小關(guān)系；2.求不規(guī)則圖形的面積錯(cuò)誤：易錯(cuò)誤拆分或組合圖形，導(dǎo)致對(duì)各部分形狀和尺寸判斷失誤，進(jìn)而使面積計(jì)算出錯(cuò)；也常因忽略圖形間的重疊、空缺部分，造成面積多算或少算。注意：仔細(xì)分析圖形結(jié)構(gòu)，合理拆分或補(bǔ)全為規(guī)則圖形，明確各部分的形狀、尺寸及相互關(guān)系，計(jì)算時(shí)留意重疊、空缺部分的處理?！局R(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求其他不規(guī)則圖形的面積、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解故答案為：．1．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．過(guò)圓心的直線是圓的直徑B．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦C．相等長(zhǎng)度的兩條弧是等弧D．頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角【答案】B【分析】根據(jù)直徑，弦，等弧，圓周角的定義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、過(guò)圓心的弦是圓的直徑，故此選項(xiàng)不符合題意；B、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故此選項(xiàng)符合題意；C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故此選項(xiàng)不符合題意；D、頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，熟練掌握經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧，頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓相交的角是圓周角是解題的關(guān)鍵．

【答案】10【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為O，連接，，，交于點(diǎn)F．A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C

【答案】D【答案】C7．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）的一條弦分圓周長(zhǎng)為兩部分，則弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是（

）【答案】B【詳解】解：的一條弦分圓周長(zhǎng)為兩部分，8.（2024·廣東佛山·一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)課要求用一張正方形紙片制作圓錐，同學(xué)們分別剪出一個(gè)扇形和一個(gè)小圓作為圓錐的側(cè)面和底面，下列圖示中的剪法恰好能構(gòu)成一個(gè)圓錐的是（

）A．B．C．D．【答案】B

9．【綜合與實(shí)踐】主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開(kāi)，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：