高數(shù)考試試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定義域是（）A.$x\geq1$B.$x>1$C.$x\leq1$D.$x<1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$y'=3x^2$B.$y'=x^2$C.$y'=3x$D.$y'=3$4.若$f(x)$的一個原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)$為（）A.$2x$B.$x^3$C.$x$D.$2$5.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$6.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)$y=\cosx$的周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$8.當$x\to0$時，$x^2$是比$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小9.若$y=e^{2x}$，則$y'$等于（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^x$D.$2e^x$10.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.$e$D.$\infty$二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$2.以下極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$3.下列求導(dǎo)正確的是（）A.$(x^n)'=nx^{n-1}$B.$(\sinx)'=\cosx$C.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$D.$(e^x)'=e^x$4.不定積分的性質(zhì)有（）A.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$C.$(\intf(x)dx)'=f(x)$D.$\intf'(x)dx=f(x)+C$5.函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在點$x_0$處連續(xù)B.函數(shù)在點$x_0$處有極限C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在點$x_0$處的切線存在6.下列哪些是無窮小量（）A.當$x\to0$時，$x$B.當$x\to\infty$時，$\frac{1}{x}$C.當$x\to0$時，$\sinx$D.當$x\to\infty$時，$x$7.曲線$y=f(x)$的拐點可能出現(xiàn)在（）A.$f''(x)=0$的點B.$f''(x)$不存在的點C.$f'(x)=0$的點D.函數(shù)的間斷點8.定積分$\int_{a}^f(x)dx$與哪些因素有關(guān)（）A.被積函數(shù)$f(x)$B.積分下限$a$C.積分上限$b$D.積分變量$x$9.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)10.函數(shù)$y=f(x)$的極值點可能是（）A.$f'(x)=0$的點B.$f'(x)$不存在的點C.區(qū)間端點D.函數(shù)的間斷點三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=\tanx$的定義域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ$。（）4.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）5.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）6.函數(shù)$y=\sqrt{x}$是冪函數(shù)。（）7.無窮大量與無窮小量的乘積一定是無窮小量。（）8.曲線$y=x^3$的凹凸性在整個定義域內(nèi)不變。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān)。（）10.若$f(x)$為奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'>0$，得$x<0$或$x>2$，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令$y'<0$，得$0<x<2$，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算$\intx^2e^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x^2$，$dv=e^xdx$，則$du=2xdx$，$v=e^x$。$\intx^2e^xdx=x^2e^x-2\intxe^xdx$，再對$\intxe^xdx$用分部積分，最終得$e^x(x^2-2x+2)+C$。3.求曲線$y=\frac{1}{x}$在點$(1,1)$處的切線方程。答案：先求導(dǎo)$y'=-\frac{1}{x^2}$，在點$(1,1)$處切線斜率$k=-1$。由點斜式得切線方程為$y-1=-(x-1)$，即$x+y-2=0$。4.簡述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)$\delta$，使得當$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當$x\tox_0$時的極限。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的圖像特征。答案：定義域為$x\neq1$。當$x\to1^+$時，$y\to+\infty$；當$x\to1^-$時，$y\to-\infty$。在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上分別單調(diào)遞減，以$x=1$為垂直漸近線，$y=0$為水平漸近線。2.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值？答案：先求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)找出駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點。然后判斷這些點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負確定單調(diào)性，進而確定極值點。最后比較極值點和區(qū)間端點的函數(shù)值大小，最大的為最大值，最小的為最小值。3.定積分與不定積分有什么聯(lián)系和區(qū)別？答案：聯(lián)系：不定積分是所有原函數(shù)，定積分是