高數(shù)考試易錯題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小3.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.\(f'(x_0)\)B.\(f'(h)\)C.\(f'(x_0+h)\)D.\(f'(0)\)4.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.45.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)和\(x=-1\)D.\(x=0\)6.\(\int\cosxdx\)等于（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)7.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f(x)\)等于（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)9.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處對\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.410.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的答案：1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.A8.A9.B10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)的條件是（）A.\(f(x_0)\)有定義B.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在C.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=e^x\)5.下列積分中，正確的有（）A.\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)6.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個偏導(dǎo)數(shù)\(z_x\)和\(z_y\)存在，則（）A.\(z\)一定可微B.\(z\)不一定可微C.\(z\)在該點(diǎn)連續(xù)D.\(z\)在該點(diǎn)不一定連續(xù)8.下列曲線中，漸近線存在的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{x}{x-1}\)D.\(y=\lnx\)9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，下列說法正確的有（）A.駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)D.極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)一定為010.下列等式成立的有（）A.\((\intf(x)dx)'=f(x)\)B.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)C.\(\fraceugmsak{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)D.\(\int_{a}^f'(x)dx=f(b)-f(a)\)答案：1.ABD2.AB3.ABC4.ABD5.ABCD6.ACD7.BD8.AC9.AC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f'(x)>0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）5.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上有極值。（）6.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）7.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）8.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(z_{xy}\)和\(z_{yx}\)一定相等。（）9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)可以是\(0\)、正數(shù)或\(+\infty\)。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分就是該函數(shù)所表示曲線與\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)所圍成圖形的面積。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。答案：利用重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時，\(u\to0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}=3\)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。3.計算不定積分\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。由分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。4.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)\(z_x=2x\)，\(z_y=2y\)。在點(diǎn)\((1,2)\)處，\(z_x(1,2)=2\)，\(z_y(1,2)=4\)。全微分\(dz=z_xdx+z_ydy\)，所以在點(diǎn)\((1,2)\)處\(dz=2dx+4dy\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令分母\(x-1=0\)，得\(x=1\)，所以\(x=1\)是垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\)的斂散性（\(p>0\)）。答案：當(dāng)\(p>1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)\(0<p\leq1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但原級數(shù)滿足萊布尼茨定理條件，條件收斂。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，解得駐點(diǎn)\((1,-2)\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=0\)，