專題05圓（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律圓的基本概念掌握?qǐng)A的定義（定點(diǎn)為圓心、定長為半徑）及相關(guān)概念（弧、弦、圓心角、直徑），學(xué)會(huì)識(shí)別優(yōu)弧、劣弧與弦的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；A(chǔ)題，多以選擇/填空形式考查，難度低，易因混淆優(yōu)?。?biāo)注3個(gè)字母）與劣弧（標(biāo)注2個(gè)字母）出錯(cuò)。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系掌握點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外的判定依據(jù)，學(xué)會(huì)根據(jù)d與r判斷位置關(guān)系。基礎(chǔ)題，選擇/填空為主，常結(jié)合距離計(jì)算考查，易因d與r的大小比較失誤（如漏看等號(hào)）出錯(cuò)。三角形的外心掌握三角形外心的定義及性質(zhì)，學(xué)會(huì)找任意三角形的外心。中檔題，選擇/填空為主，易與三角形內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)）混淆，或忽略“鈍角三角形外心在外部”的特征。旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象判斷掌握旋轉(zhuǎn)的定義，學(xué)會(huì)判斷生活場景或圖形中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，區(qū)分旋轉(zhuǎn)與平移、軸對(duì)稱?；A(chǔ)題，選擇/填空為主，難度低，易因未抓住“繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的核心（如誤將平移當(dāng)旋轉(zhuǎn)）出錯(cuò)。旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角掌握旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角（對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角）的定義，學(xué)會(huì)從旋轉(zhuǎn)圖形中找出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角。中檔題，常結(jié)合具體圖形考查，選擇/填空/解答題小問均有涉及，易找錯(cuò)旋轉(zhuǎn)中心（如誤將圖形頂點(diǎn)當(dāng)中心）。平面直角坐標(biāo)系上圖形的旋轉(zhuǎn)掌握坐標(biāo)系中圖形旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，學(xué)會(huì)計(jì)算旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)。高頻中檔題，選擇/填空/解答題小問均有，易記錯(cuò)旋轉(zhuǎn)方向?qū)?yīng)的坐標(biāo)變化（如順時(shí)針與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的坐標(biāo)符號(hào)差異）。旋轉(zhuǎn)的規(guī)律探究掌握旋轉(zhuǎn)圖形的不變性（邊長、角度不變）與變化規(guī)律（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線夾角等于旋轉(zhuǎn)角），學(xué)會(huì)探究旋轉(zhuǎn)中的循環(huán)或遞推規(guī)律。中檔偏難題，填空/解答題為主，常考“旋轉(zhuǎn)多次后圖形位置”“線段長度規(guī)律”，易因未發(fā)現(xiàn)循環(huán)周期（如旋轉(zhuǎn)3次重合）出錯(cuò)。利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)角相等），學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)求線段長度、角度或證明線段/角相等。高頻中檔題，解答題為主，常結(jié)合三角形、四邊形考查，易忽略“對(duì)應(yīng)關(guān)系”（如找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊/角）導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。利用垂徑定理求解掌握垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條?。┘巴普?，學(xué)會(huì)用定理求弦長、半徑、弦心距。高頻考點(diǎn)，解答題核心，常需構(gòu)造“半徑、弦心距、半弦長”的直角三角形，易漏用“弦不是直徑”的前提或計(jì)算半弦長失誤。垂徑定理的應(yīng)用掌握垂徑定理在實(shí)際問題（如水管直徑、拱橋高度、油桶液面寬度）中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)建立圓的模型分析關(guān)鍵線段關(guān)系。中檔題，解答題為主，易因坐標(biāo)系建立不當(dāng)（如未以直徑中點(diǎn)為原點(diǎn)）或關(guān)鍵數(shù)據(jù)提取錯(cuò)誤出錯(cuò)。利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解掌握“同圓或等圓中，等弧對(duì)等弦、等弧對(duì)等圓心角”的關(guān)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用關(guān)系證明線段相等、角相等或判斷弧的大小。高頻基礎(chǔ)題，選擇/填空/解答題小問均有，易忽略“同圓或等圓”的前提（不同圓中弧相等不一定弦相等）。圓周角定理掌握?qǐng)A周角定理（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半）及推論（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等），學(xué)會(huì)用定理求角度。高頻考點(diǎn)，貫穿選擇、填空、解答題，易混淆“所對(duì)的弧”（如誤將不同弧對(duì)應(yīng)的圓周角用定理計(jì)算）。半圓所對(duì)的圓周角是90度掌握“直徑所對(duì)的圓周角是直角”的推論，學(xué)會(huì)用推論判斷直角、構(gòu)造直角三角形或證明線段垂直。高頻中檔題，解答題為主，常結(jié)合直徑、直角三角形性質(zhì)考查，易忽略“直徑”前提（非直徑弦所對(duì)圓周角不是90°）。圓內(nèi)接四邊形掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對(duì)角互補(bǔ)、外角等于內(nèi)對(duì)角），學(xué)會(huì)用性質(zhì)求未知內(nèi)角或外角的度數(shù)。中檔題，選擇/填空/解答題小問為主，易忘記“對(duì)角互補(bǔ)”（如誤按普通四邊形內(nèi)角和計(jì)算）或混淆“內(nèi)角與外角”的關(guān)系。圓與正多邊形掌握?qǐng)A與正多邊形的關(guān)系（正多邊形的外接圓、中心、中心角、邊心距），學(xué)會(huì)求正多邊形的邊長、中心角、面積。中檔題，選擇/填空為主，易混淆“中心角”（360°÷邊數(shù)）與“內(nèi)內(nèi)（(n2)×180°÷n）的計(jì)算公式。知識(shí)點(diǎn)01圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．注意：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語言符號(hào)語言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外注意：（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．知識(shí)點(diǎn)03定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．知識(shí)點(diǎn)04三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.【清單04】旋轉(zhuǎn)的概念一般地，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在運(yùn)動(dòng)的過程中，原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一個(gè)方向，轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)固定的定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如下圖，點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋轉(zhuǎn)角.注意：（1）旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.（2）如上圖，如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′均是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段AB與A′B′、線段AC與A′C′、線段BC與B′C′均是對(duì)應(yīng)線段.知識(shí)點(diǎn)05旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一般地，圖形的旋轉(zhuǎn)有下面的性質(zhì)：(1)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.要點(diǎn)：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).知識(shí)點(diǎn)06旋轉(zhuǎn)的作圖在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．注意：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)07垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對(duì)的兩條??；AE=BE如圖，幾何語言為：AE=BE2.推論定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦.要點(diǎn)：（1）分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn).（2）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)08垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）知識(shí)點(diǎn)09圓心角與弧的定義1.圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．如圖所示，∠AOB就是一個(gè)圓心角.要點(diǎn)：(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；(2)圓心角∠AOB所對(duì)的弦為線段AB，所對(duì)的弧為弧AB.2.1°的弧的定義1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的弧.如下圖，要點(diǎn)：(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角∠AOB=.（2）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長度相等，所含度數(shù)相等（即彎曲程度相等）.知識(shí)點(diǎn)10圓心角定理及推論1.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．要點(diǎn)：(1)圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距。(2)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)兩條弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.2.圓心角定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)應(yīng)量都相等.要點(diǎn)：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等).*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等知識(shí)點(diǎn)11圓周角圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．知識(shí)點(diǎn)12圓周角定理：內(nèi)容：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半．要點(diǎn)：(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）1.圓周角定理的推論1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．2.圓周角定理的推論2：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.知識(shí)點(diǎn)13圓內(nèi)接四邊形如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.知識(shí)點(diǎn)14圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.要點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．知識(shí)點(diǎn)15正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．要點(diǎn)：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識(shí)點(diǎn)16正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．2.正多邊形的有關(guān)概念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.要點(diǎn)：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識(shí)點(diǎn)17正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)18弧長公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的弧長(圓的周長)公式：n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)要點(diǎn)：(1)對(duì)于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長是圓周長的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；(3)弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.知識(shí)點(diǎn)19扇形面積公式1.扇形的定義由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.2.扇形面積公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：要點(diǎn)：(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的即(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.題型一圓的基本概念【典例1】（2425九年級(jí)上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．三角形的外心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．等弧就是長度相等的兩條弧D．圓中最長的弦是直徑【答案】D【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、三個(gè)不在一條直線上的點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、三角形的外心是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、圓中最長的弦是直徑，故原說法正確，符合題意；故選：D．【變式1】（2324九年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知點(diǎn)A，B，且AB<6，畫經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且半徑等于3的圓有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【分析】本題考查確定圓的條件的知識(shí)點(diǎn)，作AB的垂直平分線，在垂直平分線上找到距A、B兩點(diǎn)距離為3的點(diǎn)，該點(diǎn)有兩個(gè)．【詳解】解：作線段AB的垂直平分線，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑畫圓，交于AB的垂直平分線交于兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為圓心，可以畫出經(jīng)過A，所以經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且半徑為3的圓有兩個(gè)，故選：C．【變式2】給出下列說法：①半徑相等的圓是等圓；②長度相等的弧是等??；③以2cmA．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是圓的認(rèn)識(shí)，根據(jù)等圓、等弧和半圓的定義以及確定圓的條件，分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：①半徑相等的圓是等圓，故①正確；②同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故②不正確；③以2cm長為半徑的圓有無數(shù)個(gè)，沒有指定圓心，故③正確；④平面上不共線的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，故④不正確；故選：B．【變式3】（2223九年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知⊙O的半徑為3cm．則⊙OA．3cm B．6cm C．9cm 【答案】B【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．【詳解】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，⊙O的半徑為3cm．∴⊙O中最長的弦長為2×3=6cm，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解｜題｜技｜巧①計(jì)算d（用兩點(diǎn)間距離公式）；②按“d>r（點(diǎn)在圓外）、d=r（點(diǎn)在圓上）、d<r（點(diǎn)在圓內(nèi)）”判斷?！镜淅?】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）與圓心的距離大于半徑的點(diǎn)位于（）A．圓的外部 B．圓的內(nèi)部 C．圓上 D．圓的外部或圓上【答案】A【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)圓的半徑為r，圓心為O，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)P在圓的外部；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)P在圓上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與圓心的距離大于半徑，∴點(diǎn)位于圓的外部；故選A．【變式1】（2425九年級(jí)上·浙江金華·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，以點(diǎn)B為圓心，12為半徑畫圓，則點(diǎn)A在⊙B（

A．外 B．上 C．內(nèi) D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用勾股定理求得AB的長，然后通過比較AB與半徑的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AB=B∵AB=13>12，∴點(diǎn)A在⊙B外，故選：A．【變式2】（2021九年級(jí)上·浙江溫州·期中）已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答即可，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，∴OP<4，∴OP的長可能是3，故選：A．【變式3】（2324九年級(jí)上·浙江寧波·期中）已知點(diǎn)P在半徑為r的⊙O內(nèi)，OP=4．則滿足條件的r的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．根據(jù)“OP<r”即可作答．【詳解】解：∵點(diǎn)P在半徑為r的⊙O內(nèi)，∴OP<r，∵OP=4，∴r>4，觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A．題型三三角形的外心解｜題｜技｜巧①找外心：作任意兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)即為外心；②用性質(zhì)：外心到頂點(diǎn)距離相等，列方程求半徑或點(diǎn)坐標(biāo)?！镜淅?】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,?3，B2,?1，C2,3．則A．0,0 B．?1,1 C．?2,?1 D．?2,1【答案】D【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，設(shè)△ABC的外心為Pa,1【詳解】解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1，C點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，∴直線BC∥y軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，設(shè)△ABC的外心為Pa,1∴PA∴a2解得a=?2，∴△ABC外心的坐標(biāo)為?2,1，故選：D．【變式1】（2324九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，直角坐標(biāo)系中A0,4，B4,4，C6,2，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓，圓心為M，若線段DM=4，則點(diǎn)D與⊙MA．點(diǎn)D在⊙M上 B．點(diǎn)D在⊙M外 C．點(diǎn)D在⊙M內(nèi) D．無法確定【答案】C【分析】連接BC，作AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)為(2,0)，則圓心M的坐標(biāo)為(2,0)，然后求出⊙M的半徑，比較即可解答．【詳解】解：如圖：連接BC，作AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)為2,0，∴圓心M的坐標(biāo)為2,0，∵A0,4∴AM=2∵線段DM=4，∴DM<半徑AM，∴點(diǎn)D在⊙M內(nèi)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，確定圓心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2324九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個(gè)三角形一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握外心的形成和性質(zhì)是本題突破的關(guān)鍵，根據(jù)外心的形成和性質(zhì)直接判斷即可．【詳解】解：三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，外心的性質(zhì)是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，說明有一個(gè)圓周角大于90°，那么這個(gè)三角形一定是鈍角三角形，故選：C．【變式3】如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長為1，在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C，使O為△ABC的外心，則BC的長度是（

）

A．32 B．25 C．4 【答案】A【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，也考查了勾股定理．根據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，

∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∴OA=OB=OC，點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，∴BC=3故選：A．題型四旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象判斷【典例1】平移和旋轉(zhuǎn)在我們生活中隨處可見．下面屬于旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象是（

）A．乘坐電梯 B．用鑰匙開鎖 C．推拉窗戶 D．火箭升空【答案】B【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的概念，平移的概念，掌握旋轉(zhuǎn)的概念是解題的關(guān)鍵。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念求解即可．【詳解】解：A．乘坐電梯啊，電梯整體沿著直線上下移動(dòng)，屬于平移現(xiàn)象，故不符合題意；B．用鑰匙開鎖，鑰匙需要繞著鎖芯這個(gè)固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故符合題意；C．推拉窗戶時(shí)，窗戶沿著軌道做直線移動(dòng)，屬于平移現(xiàn)象，故不符合題意；D．火箭升空屬于平移現(xiàn)象，故不符合題意；故選：B．【變式1】下列說法中，正確的是（

）A．“麗麗把教室的門打開”屬于平移現(xiàn)象B．能夠互相重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱C．“氣球升空”屬于平移現(xiàn)象D．“擺鐘的鐘擺在擺動(dòng)”屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象【答案】D【分析】本題主要考查平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的定義，在實(shí)際當(dāng)中的運(yùn)用，把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)，叫作平移；在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化叫作旋轉(zhuǎn)．【詳解】解：A、“麗麗把教室的門打開”屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、能夠互相重合的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、“氣球升空”路線不固定，不一定是平移，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、“鐘表的鐘擺在擺動(dòng)”屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故D選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【變式2】（2324九年級(jí)上·浙江衢州·期中）下列杭州亞運(yùn)會(huì)體育圖標(biāo)中，由如圖所示圖標(biāo)旋轉(zhuǎn)得到的是（

）C． D．【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化叫做旋轉(zhuǎn)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，故選：B．題型五判斷旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角【典例1】如圖，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′A．1,1 B．1,2 C．1,3 D．1,4【答案】B【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)中心的確定，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心．分別找到兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與A′，C與C【詳解】解：如圖，由圖可知，點(diǎn)P1,2故選：B．【變式1】如圖，△ADE可由△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)坐標(biāo)為A1,0，B3,0，C1,4，則旋轉(zhuǎn)中心PA．3,2 B．2,3 C．3,4 D．4,3【答案】A【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．連接BE，分別作AD和BE的線段垂直平分線，且它們的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，由圖寫出其坐標(biāo)即可．理解兩線段垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，連接BE，分別作AD和BE的線段垂直平分線，且交于點(diǎn)P．則P點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．由圖可知P點(diǎn)坐標(biāo)為3,2，即旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為3,2．故選：A．【變式2】如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A'BA．O B．P C．Q D．M【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心的定義即可求解．【詳解】解：連接BP，B'P，CP，C'P，∴點(diǎn)P是旋轉(zhuǎn)中心，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)中心的定義，熟練掌握旋轉(zhuǎn)中心的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，△ADE是由△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，若∠BAC=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（

）A．80° B．50° C．40° D．10°【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)角為∠BAD，即可求解．【詳解】解∶∵△ADE是由△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAD，∵∠BAC=40°，∠CAD=10°，∴∠CAD=∠BAC+∠CAD=50°，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】如圖，正方形CDEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在的平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形大小形狀完全相同，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；分別以C、D、CD的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，都能使正方形CDEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，即可求解．【詳解】以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形CDEF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形ABCD；以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形CDEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形ABCD；以CD的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形CDEF旋轉(zhuǎn)180°，可得到正方形ABCD；所以旋轉(zhuǎn)中心有3個(gè)．故選：C．題型六平面直角坐標(biāo)系上圖形的旋轉(zhuǎn)【典例1】以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A4,5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．?5,4 B．5,?4 C．?4,5 D．4,?5【答案】A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A,B分別作y軸的垂線，△AOD≌△OBEAAS，繼而得到AD=OE=4,OD=BE=5【詳解】解：過點(diǎn)A,B分別作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)D,E，則∠ADO=∠BEO=90°∵A4,5∴AD=4,OD=5由題意得，OA=OB,∠AOB=90°，∴∠A+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠A=∠3，∴△AOD≌△OBEAAS∴AD=OE=4,OD=BE=5，∵點(diǎn)B在第二象限，∴B故選：A．【變式1】在在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，將坐標(biāo)原點(diǎn)O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)是(A．(3,1) B．(?3,?1) C．(?4,2) D．(?2,4)【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖象即可解決問題．【詳解】解：觀察圖象可知O′(?2,4)，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用圖象法解決問題．【變式2】如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為1,1、3,2，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB1C1（其中點(diǎn)A和點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B和點(diǎn)B(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB(2)直接寫出點(diǎn)B1(3)連接BB1，直接寫出∠BB【答案】(1)見解析(2)B(3)45【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出△AB（2）根據(jù)點(diǎn)所在的位置，寫出點(diǎn)B1（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊對(duì)等角進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，△AB（2）解：由圖可知：B1（3）解：由旋轉(zhuǎn)可知：∠BAB∴∠BB故答案為：45．【變式3】在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A?3,2，B(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1；平移△ABC，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2)若將△A1B【答案】(1)見詳解(2)3【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖，也考查了平移變換作圖，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的定義作出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，（1）利用中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1，再順次連接即可；利用點(diǎn)A（2）連接A1A2、B【詳解】（1）解：如圖所示：△A1B（2）解：∵B1∴0+32∴旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為32【變式4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,4．請(qǐng)解答下列問題：（保留作圖痕跡）(1)將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形△A(2)求出△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)3.5【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）利用面積的和差求解即可．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）△ABC的面積為：4×2?1題型七旋轉(zhuǎn)的規(guī)律探究解｜題｜技｜巧列表記錄前幾次旋轉(zhuǎn)的位置、角度，總結(jié)循環(huán)規(guī)律，用“總數(shù)÷周期”求對(duì)應(yīng)狀態(tài)。【典例1】如圖，在菱形ABCD中，頂點(diǎn)A，B，C，D在坐標(biāo)軸上，且A0,2，∠ABC=60°，以AD為邊構(gòu)造等邊三角形ADE，將△ADE和菱形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為E1，第二次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)記為E2，依次類推，第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)E2025A．4,?23 B．?23,4 C．?2【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，每4次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，而2025=4×506+1，即點(diǎn)E2025的坐標(biāo)與點(diǎn)E1的坐標(biāo)相同；利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可求得【詳解】解：如圖，連接OE，過E1作E由題意，當(dāng)E1旋轉(zhuǎn)到E2時(shí)，則E與E2旋轉(zhuǎn)到E3時(shí)，E1與E3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)E的位置，每4次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，∵2025=4×506+1，∴點(diǎn)E2025的坐標(biāo)與點(diǎn)E∵四邊形ABCD是菱形，A0,2，∠ABC=60°∴∠ADO=12∠ADC=∴AD=2OA=4，由勾股定理得：OD=A∵△ADE是等邊三角形，∴DE=AD=4，∠ADE=60°，∴∠EDO=∠ADO+∠ADE=90°，∴E2由旋轉(zhuǎn)可知，OE=OE1，∵∠EOE∴∠EOD+∠DOE∴∠EOD=∠E在△EOD和△E∠EDO=∠E∴△EOD≌△E∴OF=OD=23，F(xiàn)∵點(diǎn)E在第一象限，且是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴點(diǎn)E1∴E1∴E2025故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，將邊長為1的正三角形△OAP沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2013次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，?，P2013的位置，則點(diǎn)【答案】2012.5【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出P1、P2、根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出P1、P2、【詳解】解：觀察圖形結(jié)合翻轉(zhuǎn)的方法可以得出P1、P2的橫坐標(biāo)是1，P3P4、P5的橫坐標(biāo)是4，P6∴可以看作3個(gè)點(diǎn)一組循環(huán)，其中前兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，且等于每一組中第一個(gè)點(diǎn)下標(biāo)，第三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為前兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)加1.5，∵2013÷3=671，∴點(diǎn)P2011，P∴點(diǎn)P2013的橫坐標(biāo)為2011+1.5=2012.5故答案為：2012.5．【變式2】如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?3,0、B0,4，對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1、△2、△3、△【答案】(120,0)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)第四個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的位置相同可知每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個(gè)循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長度，再用31除以3，則△31的直角頂點(diǎn)是第10【詳解】解：∵OA=3，OB=4，∴AB=OA由圖可知，每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，一個(gè)循環(huán)組前進(jìn)的長度為：3+4+5=12，∵31÷3=10?1，∴△31的直角頂點(diǎn)是第10∵12×10=120，∴△31的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(120,0)故答案為：(120,0)．【變式3】如圖，把小矩形放在第二象限，使兩條邊與坐標(biāo)軸重合，然后將小矩形無滑動(dòng)地沿x軸順時(shí)針滾動(dòng)，每一次邊落在x軸上記作一次操作，已知頂點(diǎn)P?1,2，則經(jīng)過2025次操作后點(diǎn)P′的坐標(biāo)為【答案】3038,1【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律，讀懂題意，理解圖形從開始位置經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)P進(jìn)行了一次循環(huán)回到對(duì)應(yīng)位置是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，確定圖形從開始位置經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)P進(jìn)行了一次循環(huán)回到對(duì)應(yīng)位置，從而結(jié)合長方形周長為6，依據(jù)2025=4×506+1即可得到答案．【詳解】解：∵P?1,2∴觀察圖形可知，經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)P進(jìn)行了一次循環(huán)回到對(duì)應(yīng)位置，∵長方形的周長為2×1+2∴每一次完整循環(huán)，相當(dāng)于P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)+6，縱坐標(biāo)保持不變，∵2025=4×506+1，即經(jīng)過了506次完整的循環(huán)后再向前翻滾1次，∴經(jīng)過2025次翻滾后點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為6×506+2,1，即3038,1故答案為：3038,1．題型八利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧①遇線段和差、角度轉(zhuǎn)化，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形（如將三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使已知邊重合）；②用“對(duì)應(yīng)邊相等”證全等，或“旋轉(zhuǎn)角相等”求角度?！镜淅?】（2526九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=138°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且ABA．16° B．15° C．14° D．13°【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠CAB【詳解】解：∵AB∴∠C=∠CAB∴∠AB∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB∴∠C=∠C′，∴∠B=∠AB∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∴3∠C=180°?138°，∴∠C=14°，故選：C．【變式1】如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，則∠BOC等于（

）A．55° B．45° C．40° D．35°【答案】D【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠AOC=80°，然后由∠BOC=∠AOC?∠AOB即可求解，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，∴∠AOC=80°，∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=80°?45°=35°，故選：D．【變式2】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，AB,CE相交于點(diǎn)F，若AD∥EC時(shí)，則∠BAE的度數(shù)為（

）A．35° B．30° C．25°【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AC,∠DAE=∠BAC=50°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEC=∠DAE=50°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠AEC=50°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AC,∠DAE=∠BAC=50°，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠DAE=50°，又∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=50°，∴∠EAC=180°?∠ACE?∠AEC=80°，∴∠BAE=∠EAC?∠BAC=30°，故選：B．【變式3】如圖，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB【答案】40°【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CAB=∠C′CA=70°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BA【詳解】解：∵CC′∥AB∴∠CAB=∠C根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BAB′=∠∴△ACC∴∠CC∴∠CAC∴∠BAB故答案為：40°．【變式4】（2223九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B′在BC上．若∠B【答案】80【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB′，則可得∠AB【詳解】解：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AB′，∴∠AB由三角形內(nèi)角和得∠BAB∠CA故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．題型九利用垂徑定理求解解｜題｜技｜巧①作輔助線：連半徑或作弦心距（垂直于弦），構(gòu)造“半徑、弦心距、半弦長”的直角三角形；②用勾股定理（r2=d2+(l/2)2，r=半徑，d=弦心距，l=弦長）計(jì)算?！镜淅?】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若OD=10，BE=4，則CD的長為（

）A．6 B．16 C．8 D．12【答案】B【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理，得到DE=12CD【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，∴DE=1∵OD=10=OB,BE=4,∴OE=OB?BE=10?4=6，在Rt△DOE中，DE=O∴CD=2DE=16．故選：B．【變式1】（2425九年級(jí)上·浙江金華·期中）我們可用丁字尺來確定圓心位置，如圖AB⊥CD，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，測量數(shù)據(jù)得AB=6cm，CD=9cm，則圓的半徑長為（A．6cm B．33cm C．32【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，勾股定理，利用垂徑定理的推論得到圓心在CD上，設(shè)圓心為O點(diǎn)，連接OA，如圖，設(shè)圓的半徑為rcm，則OA=rcm，OC=9?rcm，利用勾股定理得到【詳解】解：∵AB⊥CD，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，即CD垂直平分AB，AC=BC=3cm，∴圓心在CD上，設(shè)圓心為O點(diǎn)，連接OA，如圖，設(shè)圓的半徑為rcm，則OA=rcm，OC=9?r在Rt△OAC中，32解得r=5，即圓的半徑為5?cm．故選：D．【變式2】（2425九年級(jí)上·浙江寧波·期中）⊙O的半徑為5，M是圓外一點(diǎn)，MO=6，∠OMA=30°，則弦AB的長為（

）A．4 B．6 C．63 【答案】D【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記垂直于弦的直徑平分弦是解此題的關(guān)鍵．過O作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OC=12MO=3，根據(jù)勾股定理求出AC【詳解】解：過O作OC⊥AB于C，連接OA，則∠OCA=90°，∵M(jìn)O=6，∠OMA=30°，∴OC=1在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC=O∵OC⊥AB，OC過O，∴BC=AC，即AB=2AC=2×4=8，故選：D．【變式3】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AD于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為5，BF=2，則OE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理求出DF和AD，再利用垂徑定理求出AE，再次利用勾股定理即可求出OE的長．【詳解】解：如圖，連接OD，在Rt△OFD中，DF=O在Rt△ADF中，AD=A∵OE⊥AD，∴AE=DE=25在Rt△AOE中，OE=O故選：D．題型十垂徑定理的應(yīng)用解｜題｜技｜巧①遇“弦的中點(diǎn)”“垂直于弦的線”，聯(lián)想垂徑定理；②復(fù)雜圖形中，先找“直徑”或“垂直關(guān)系”，定位定理適用條件。【典例1】（1920九年級(jí)上·浙江寧波·期中）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出OE的長，再根據(jù)垂徑定理求出CF，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OEEF=0.80.2=0.6m∴CF=O∴CD=1.6m故選C【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.【變式1】（2122九年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米．⊙O半徑長為3米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)．則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．3?5米 D．3+【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接OC，交AB于D，由垂徑定理得AD=BD=12AB=2（米），再由勾股定理得OD=【詳解】連接OC，交AB于D，由題意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=2在Rt△ODA中OD=O∴CD=OC?OD=3?即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是3?5故選：C．【變式2】（2223九年級(jí)下·浙江溫州·期中）泰順縣南浦溪大橋是浙江省高速公路跨徑最大的上承式拱橋，如圖所示，主拱橋呈圓弧形．跨度AB約為260米，拱高CD約為70米，則大橋的橋拱半徑OA約為（

）A．146米 B．156米 C．166米 D．176米【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意得OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=12AB，設(shè)橋拱半徑為x米，在Rt△AOD【詳解】解：∵OD⊥AB，∴AD=BD=1設(shè)橋拱半徑為x米，則OD=OC?CD=x?70在Rt△AOD中，OD∴x?70解得：x=1090∴大橋的橋拱半徑OA約為156米．故選：B．【變式3】（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）圖1是建在溪邊的一部水車，O是水車旋轉(zhuǎn)中心，水車上的兩個(gè)竹筒A，B到O的距離相等，當(dāng)A，B離地高度相等時(shí)（如圖2），水平距離AB為3米，當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置A′時(shí)，它的高度下降了0.5米，B也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)到B′的位置，此時(shí)B的高度上升了【答案】1.3【分析】本題考查了勾股定理，生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，垂徑定理，設(shè)OA′與AB相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B′作B′D⊥OA′，垂足為D，根據(jù)題意可得：AC=CB=12AB=1.5米，AB=A′B′=3米，∠OCA=90°，A′C=0.5【詳解】解：如圖：設(shè)OA′與AB相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B′由題意得，AB=A′B∵當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置A′∴AB⊥OAAC=CB=12AB=1.5設(shè)OA=OA′=x在Rt△OAC中，OA∴x2解得：x=2.5，∴OA=OA設(shè)DA′=a在Rt△ODB′中，在Rt△A′B∴2.52解得：a=9∴DA∴DC=DA∴此時(shí)B的高度上升了1.3米，故答案為：1.3．【變式4】我國明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了一種我國古代常用的水利灌溉工具—筒車．如圖，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB長為8米，水面到運(yùn)行軌道最低點(diǎn)的距離為2米，求⊙O的半徑長．【答案】⊙O的半徑為5米【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接OA，連接OC交AB于D，則AB=8米，CD=2米，OC⊥AB，由垂徑定理可得AD=12AB=4米，設(shè)⊙O的半徑為r【詳解】解：如圖，連接OA，連接OC交AB于點(diǎn)D，由題意得，AB=8米，CD=2米，OC⊥AB，∴AD=1設(shè)⊙O的半徑為r米，則OD=r?2在Rt△AOD中，由勾股定理得AO∴r2解得r=5，∴⊙O的半徑為5米．題型十一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解解｜題｜技｜巧①證弧/弦相等，先證對(duì)應(yīng)圓心角相等；②求圓心角，先找對(duì)應(yīng)弧的度數(shù)（圓心角=所對(duì)弧的度數(shù)）【典例1】如圖，AB是⊙O的直徑，AD=CD，∠COB=40°，則∠A的度數(shù)是（

A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】B【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握在同圓或等圓中，等弧對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)AD=CD得到∠AOD=∠COD，利用平角的定義求出∠AOD=70°，再利用OA=OD即可求出【詳解】解：∵AD∴∠AOD=∠COD，∵∠COB=40°，∴∠AOC=180°?∠BOC=140°，∴∠AOD=1∵OA=OD，∴∠A=1故選：B．【變式1】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．首先根據(jù)AB?=BC?=CD?可知∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根據(jù)∠PCB=130°可求∠OCP=70°【詳解】解：如下圖所示，連接OB、OC，∵AB?∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OCB=60°，又∵∠PCB=130°，∴∠OCP=130°?60°=70°，∵OP=OC，∴∠OPC=∠OCP=70°，∴∠POC=180°?70°?70°=40°，∴∠POD=∠COD?∠POC=60°?40°=20°．故選：B．【變式2】（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)D，若BE=8,BG=3，則⊙O的半徑長是（）A．4 B．5.5 C．256 D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理和點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)得出BE=CD，從而得出【詳解】解：連接OD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，∵CD⊥AB，∴BC=BD，∵點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，∴CE=∴BE=∴CD=BE=8，∴DG=1在Rt△ODG中，∵OG=r?3,OD=r，∴42+r?3即⊙O的半徑為256故選：C．【變式3】（2425九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖所示，已知AD=BC，求證：AB=CD．【答案】見解析【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AD=BC得到AD=BC，則CD=【詳解】解：∵AD=BC，∴AD=∴AD+AC=∴AB=CD．【變式4】（2122九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，AB，CD為⊙O兩弦，且AB=CD，M、N分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：∠AMN=∠CNM．【答案】證明見解析．【分析】本題考查垂徑定理的推論、弦與弦心距的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題關(guān)鍵，根據(jù)垂徑定理得出OM⊥AB，ON⊥CD，根據(jù)弦與弦心距的關(guān)系得出OM=ON，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】證明：連接OM，ON，∵M(jìn)、N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO=∠CNO=90°，∵AB=CD，∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM，∴∠AMO?∠OMN=∠CNO?∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．題型十二圓周角定理解｜題｜技｜巧①找“同弧對(duì)應(yīng)的圓周角和圓心角”，用“圓周角=1/2圓心角”轉(zhuǎn)化角度；②遇多個(gè)圓周角共弧，直接用“同弧圓周角相等”?！镜淅?】如圖，點(diǎn)A、B、P在⊙O上，若∠AOB=80°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：∠APB=1故選：D．【變式1】如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，BC是直徑，點(diǎn)D在⊙O上且平分BC．(1)連接AD，求證：AD平分∠BAC；(2)若CD=52，AB=8，求AC【答案】（1）見解析；（2）AC=6【分析】本題考查了圓周角定理、勾股定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理即可證明；（2）根據(jù)題意推出∠BAC=∠BDC=90°，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵點(diǎn)D在⊙O上且平分BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵BC是直徑，∴∠BAC=∠BDC=90°，∵點(diǎn)D在⊙O上且平分BC，∴BD=∴BD=CD=52∴BC=B∵AB=8，∴AC=B【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D兩點(diǎn)在⊙O上，若∠C=45°．(1)求∠ABD的度數(shù)；(2)若∠CDB=30°，BC=5，求⊙O的半徑．【答案】(1)45°(2)5【分析】本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，由∠BAD=∠C=45°，再利用直角三角形的性質(zhì)即可求出∠ABD的度數(shù)；（2）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，結(jié)合OB=OC，推出△BOC是等邊三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=∠C=45°，∴∠ABD=90°?∠BAD=45°；（2）解：如圖，連接OC，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，又∵OB=OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OB=BC=5，∴⊙O的半徑為5．題型十四半圓所對(duì)的圓周角是90度解｜題｜技｜巧①遇直徑，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，證直角或用勾股定理；②證直徑，先證圓周角為90°，再用“90°圓周角所對(duì)的弦是直徑”?！镜淅?】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠ABC=54°，則∠BDC等于（

）．A．27° B．36° C．54° D．108°【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)圓周角相等是解題的關(guān)鍵．如圖，連接AC，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角得到∠ACB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可解答．【詳解】解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=54°，∴∠BAC=90°?∠ABC=36°，∴∠BDC=∠BAC=36°（同弧所對(duì)圓周角相等）．故選：B．【變式1】如圖，已知AD是⊙O的直徑，B，C，E是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，連接BC，CD，BE，AE，∠BCD=125°，則∠AEB的度數(shù)為（

）A．55° B．50° C．45° D．35°【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)求得∠BED的度數(shù)，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接DE，∵四邊形BCDE內(nèi)接于⊙O，且∠BCD=125°，∴∠BED=180°?∠BCD=55°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°?∠BED=90°?55°=35°，故選：D．【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，BD=4，則AC的長為．【答案】6【分析】本題考查了三角形的中位線定理、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵熟練地運(yùn)用中位線定理、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的性質(zhì)求解．根據(jù)垂徑定理求出BC，根據(jù)圓周角定理求出∠C=90°，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：∵OD⊥BC于點(diǎn)D，BD=4，∴BC=2BD=8，∵AB是直徑，∴∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC=A故答案為：6．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，AC⊥BC于點(diǎn)C，AD⊥BD于點(diǎn)D，若∠DBC=30°，AB=10，則【答案】5【分析】本題考查了直接所對(duì)的弦是直徑，弧、弦與圓周角的關(guān)系，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；根據(jù)題意得出A,B,C,D在以AB為直徑的圓上，進(jìn)而根據(jù)AC=DC得出∠ABD=∠ACD=∠CAD=30°則∠ABC=60°，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵AC⊥BC,AD⊥BD，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴A,B,C,D在以AB為直徑的圓上，∵∠DBC=30°，∴∠DAC=∠DBC=30°，∵AC=DC，∴AC=∴∠ABD=∠ACD=∠CAD=30°，∴∠ABC=60°，則∠BAC=30°，∴BC=1∴AC=A故答案為：53【變式4】（2324九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，已知半圓O,OB=61．點(diǎn)D在半圓上，AD=10，在BD取點(diǎn)C，連接AC，作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接BH，則BH的最小值等于

【答案】8【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接BD,HM，BM．由題意點(diǎn)H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，推出當(dāng)M、H、B共線時(shí)，BH的值最小．【詳解】解：連接BD，取AD的中點(diǎn)M，連接BM,HM，

∵DH⊥AC，∴H點(diǎn)在以M為圓心，MD為半徑的圓上，∴MH=DM=AM，∵AD=10，∴MH=1當(dāng)B、H、M三點(diǎn)共線時(shí)，BH最小，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴BD=A∴BM=B∴BH的最小值為BM?MH=13?5=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、圓周角定理推論“半（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用輔助線圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．題型十四圓內(nèi)接四邊形【典例1】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，則∠CAD=（）A．23° B．28° C．31° D．33°【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠D=180°?∠B=118°，再在△ACD中，由三角形內(nèi)角和定理求∠CAD即可．【詳解】解：∵∠B=62°，∴∠D=180°?∠B=118°，∵∠ACD=39°，∴∠CAD=180°?∠D?∠ACD=23°，故選：A．【變式1】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（

）A．128° B．100° C．120° D．132°【答案】A【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，從而得到∠A=64°，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A，∵∠DCE=64°，∴∠A=64°，∴∠BOD=2∠A=128°．故選：A．【變式2】如圖，△ABC中，AB=AC,AB為⊙O的直徑，分別交AC,BC于點(diǎn)D，E，連接DE,AE．(1)求證：∠CED=2∠CAE；(2)若DE=15,AE=20，求CD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)CD=18．【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）先得到∠CAE=∠BAE=12∠CAB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CAB+∠DEB=180°（2）先求出AC=25，連接BD，根據(jù)S△ABC=12AC?BD=【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，又∵AB=AC，∴∠CAE=∠BAE=1∵∠CAB+∠DEB=180°,∠DEB+∠CED=180°，∵∠CED=∠CAB，∴∠CED=2∠CAE；（2）解：∵∠DAE=∠EAB，∴BE=DE=15，∴AB=A∴AC=25．連接BD，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∵S△ABC∴BD=BC?AE∵AB=AC,AE⊥BC，∴BC=2BE=30，∴BD=30×20∴CD=B題型十五圓與正多邊形【典例1】如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角∠COD的度數(shù)是（

）A．60° B．36° C．76° D．72°【答案】D【分析】本題考查求正多邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)中心角的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∠COD=360°故選D．【變式1】（2223九年級(jí)下·浙江溫州·期中）劉徽于公元263年撰《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖1，將半徑為2的圓進(jìn)行12等分分割，拼接成如圖2所示圖形．連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)E，則△ADE的面積為（

）A．π B．2π C．3 【答案】C【分析】本題考查了正多邊形和圓的綜合、平行四邊形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)其中一個(gè)12等分分割的三角形為△ADF，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得，AD=DF=BC=2，AB=CD，∠ADF=30°，推出四邊形ABCD是平行四邊形，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出S△ADF=1，從而得到【詳解】解：如圖，設(shè)其中一個(gè)12等分分割的三角形為△ADF，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，由題意得，AD=DF=BC=2，AB=CD，∠ADF=360°÷12=30°，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵FG⊥AD，∴∠DGF=90°，∴在Rt△DGF中，F(xiàn)G=1∴S∴S∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE=BE，S△ABD∴S故選：C．【變式2】如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB=20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．連接OA,OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=40°，進(jìn)一步即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OA,OB，∵A,B,C,D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，∴點(diǎn)A,B,C,D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，∵∠ADB=20°，∴∠AOB=2∠ADB=40°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°故選：C．【變式3】（2425九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，將正六邊形紙片的空白部分剪下，得到三部分圖形，記Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面積分別為SI，SII，SIII給出以下結(jié)論：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一個(gè)菱形；②Ⅲ中最大的內(nèi)角是150°；③SA．只有① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查的是正多邊形與圓的含義，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，弧、弦的關(guān)系，熟練的把正六邊形分割為6個(gè)全等三角形是解本題的關(guān)鍵．由六邊形ABCDEF是正六邊形，得AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠DEF=6?2×180°6=120°，從而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一個(gè)菱形，故①正確；由∠BFE=∠BDE=90°，∠DBF=60°，故Ⅲ中最大的內(nèi)角是120°，故②說法錯(cuò)誤；證明【詳解】解：如圖所示：

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠DEF=6?2∴AB=∴∠BFE=∠BDE=12×∴Ⅲ中最大的內(nèi)角是120°，故②說法錯(cuò)誤；∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠BAF=∠BCD=120°，OA=OB=OF，∠AOB=∠AOF=60°，∴△BAF≌△BCD，△AOB和△AOF都是等邊三角形，∴AB=OB=OF=FA，∵BF=BF，∴△BAF≌△BOF，同理可證，△BAF≌△DEF≌△DOF≌△DOB≌△BOF≌△BCD，∴SIII故選：C．題型十六求弧長、扇形半徑解｜題｜技｜巧公式記憶：?弧長L=nπr/180（n=圓心角度數(shù)，r=半徑）；?扇形面積S=nπr2/360或S=1/2LR（L=弧長）；①已知L、n求r：用L公式變形（r=180L/(nπ)）；②已知S、r求n：用S公式變形（n=360S/(πr2)）?！镜淅?】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°．若⊙O的半徑為5，則弧CD的長為（

）A．1318π B．109π C．【答案】C【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算、圓周角定理，連接OA、OC、OD，求出∠AOC及∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而得出∠COD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可求解，熟知弧長的計(jì)算公式及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接OA、OC、OD，∵∠B=62°，∴∠AOC=2∠B=124°，∵∠ACD=39°，∴∠AOD=2∠ACD=78°，∴∠COD=124°?78°=46°，又∵⊙O的半徑為5，∴弧CD的長為：46×π×5180故選：C．【變式1】（2425九年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，將Rt△ABC以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰為BC邊的中點(diǎn)，AB=1，則CE的長為（

A．π3 B．π6 C．3π【答案】C【分析】本題考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，弧長，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到AD=BD=12BC，由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，從而證得△ABD是等邊三角形，得到∠BAD=∠B=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°【詳解】解：∵點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=1由旋轉(zhuǎn)可得AD=AB，∴AD=BD=AB=1，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD=∠B=60°，∴由旋轉(zhuǎn)可得∠CAE=∠BAD=60°，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BC=2BD=2，∴在Rt△ABC中，AC=B∴l(xiāng)CE故選：C【變式2】如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB=150°，OA=24，則AB的長為．【答案】20π【分析】本題主要考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．利用弧長公式nπr180°（n為圓心角度數(shù)，r【詳解】解：AB的長為150°×24π180°故答案為：20π．【變式3】已知扇形的弧長是43π，圓心角120°，則這個(gè)扇形的半徑是【答案】2【分析】本題考查了弧長公式：l=nπr180，其中l(wèi)是弧長，r是扇形的半徑，【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形的半徑是r，則120πr180解得r=2，所以這個(gè)扇形的半徑是2，故答案為：2．題型十七求扇形不規(guī)則圖形面積【典例1】（2122九年級(jí)上·浙江杭州·期中）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式分別剪成一個(gè)正方形，面積都為2，則扇形紙板和圓形紙板的面積比是（）A．5：2 B．5：4 C．5【答案】B【分析】本題考查了正方形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、扇形的面積公式的應(yīng)用；解此題的關(guān)鍵是求出扇形和圓的面積，題目比較好，難度適中．分別求出扇形和圓的半徑，再根據(jù)扇形和圓的面積公式求出面積，最后求出比值即可．【詳解】解：如圖1，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2由勾股定理得：OD=2∴扇形的面積是45π×(如圖2，連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2∴MC=MB=1，∴⊙M的面積是π×1∴扇形和圓形紙板的面積比是54故選：B．【變式1】（2324七年級(jí)上·浙江紹興·期中）如圖是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角∠O=120°形成的扇面，若OA=5m，OB=3m，則陰影部分的面積是（

A．43π B．83π C．【答案】D【分析】本題考查了扇形的面積（S=nπR2360，其中n°為圓心角的度數(shù)、R為半徑），熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)陰影部分的面積等于扇形【詳解】解：∵圓心角∠O=120°，OA=5m，OB=3m，∴陰影部分的面積等于S==16π故選：D．【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，則S陰影=A．π B．2π C．23π D．2【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，求出CE=DE，OE=BE=1，得出S△BED=S【詳解】解：如圖，CD⊥AB，∵AB是