云南省昆明市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（lT）z=2i,則|z|二（）

A.25/2B.2C.V2D.專

【答案】C

【解析】由（l—i）z=2i可得：z=2，

所以“匚T律而不=-1+匕g（T）+,=&?

故選：C.

2.已知集合人={-2,—1,0,1},Z?={XGN|X2<4）,則408=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{-2,—1,0}

【答案】B

【解析】因?yàn)?=[￡?4卜2K4}={xwN卜2c<2}={0,1,2},且A={—2,—1,0,1},

故4「5={0,1}.

故選:B.

3.過4-1,逝），5（2,0）兩點(diǎn)的直線傾斜角為（）

5兀一3兀一2兀一兀

A.—B.—C.—D.一

6433

【答案】A

【解析】設(shè)直線48的傾斜角為，，所以tan〃=k=叵心=-正，

-1-23

因?！闧0,兀），所以。二型，

6

故選：A.

4.己知向量Z，石滿足訪1=2,=[與行的夾角為兀，則|31+2〃|=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因?yàn)閇與B的夾用為加，故3=—23，故|3a+2$R2a|=2|a|=d,

故選：D.

5.昆明地鐵1-2號(hào)線的開通運(yùn)營后極大的方便了市民的出行，某趟列車從福德站到斗南站

的過程中，共10個(gè)站，各站上車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：70、50、60、55、60、45>35、

30、30、10,則該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)為（）

A.65B.60C.55D.50

【答案】A

【解析】根據(jù)從小到大排序?yàn)?0、30、30、35、45、50、55、60、60、7（）,

則10x90%=9,所以第90百分位數(shù)為絲土衛(wèi)=65.

故選：A.

6.已知x,yeR,且x>）',則（）

A.sinx-sin>f>0B.--->0

C.In戈+1”>0

【答案】D

【解析】因?yàn)楣?gt;>,且

對(duì)于A,?。?兀，j=—,滿足人>y，但sinx-siny=sin兀-sin巴=-1<0,故A錯(cuò)

2'2

誤；

對(duì)于B,取x=l,y=-,滿足x>y,但1一'=1-2=-1<。，故B錯(cuò)誤；

.2xy

對(duì)于C,取x=2,y=-,滿足但lnx+lny=ln（xy）=lnl=O,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因），=（；>是減函數(shù)，故由工>），可得（；）*<］；），故D正確.

故選：D.

7.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.英國天文學(xué)家普森發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)天

體的星等是叫、m2,其亮度分別表示為E、E2,它們滿足關(guān)系式嗎一町二^坨春，

這就是著名的普森公式.已知太陽的星等是-26.7,月亮（滿月時(shí)）的星等是—12.7,則太

陽與月亮（滿月時(shí)）的亮度的比值為（）

A.5.6B.1056

C.1g5.6D.10-56

【答案】B

5,E.

【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足也一町二j】gU，

2E2

令呵=72.7,町二一26.7,1g盤=］（〃4-網(wǎng)）=］（-12.7+26.7）=5.6,-^-=1056,

E255E2

因此，太陽與月亮（滿月時(shí)）的亮度的比值為IO".

故詵：B.

8.已知函數(shù)/（》）二卜'一”卜加有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，貝J實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（一雙-1）

c.（-co,-i）un,y）D.（Y,O）U［I,”）

【答案】C

【解析】依題意函數(shù)/⑶=卜'一時(shí)一加有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程|ev-/n|=nr有且僅

有一，個(gè)實(shí)數(shù)解，

即函數(shù)y=卜'一司圖象與直線廣外有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)m二0時(shí)，函數(shù)），=產(chǎn)一〃卜與直線y=>=o無交點(diǎn)，所以m=。不符合題意.

②當(dāng)機(jī)<0時(shí)，m>0.函數(shù)y=e7=e'-tn與直線y=nr有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，如圖

1，則m2>-m，解得tn<-\.

③當(dāng)相>0時(shí).T"O.函數(shù)y=k'一司與宜線y=加有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2.

則加2>/〃，解得加21,.

圖I圖2

綜上,故加,T）UU，”）.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，三個(gè)答案的部分選對(duì)每個(gè)得2分，兩個(gè)答案的部分選對(duì)

每個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得。分）.

9.已知數(shù)歹」的前〃項(xiàng)和S,=〃2_5〃—3（〃eN*），則下列正確的是（）

又因?yàn)锳B^AD.=A,u平面ABCI。，

所以A3_L平面ABG。，因?yàn)锳Pu平面ABCQI,所以A,OJ,AP,

TT

所以直線”與直線A。所成角為不，故B正確；

直線AB與平面ARC所成的角和直線AC,與平面ARC所成的角不相等，故C錯(cuò)誤;

二面角P-AD.-C也就是二面角B-AD.-D大小不變，故D正確.

故選：ABD.

II.已知———=3,下列說法正確的是（）

cosa-sin6?

A.tana=—

4

C.cos2a=——

25

【答案】AC

【解析】因?yàn)橐蝗?？?3,當(dāng)。=色+匕時(shí)，一任￡一=一1=3,

cosof-sinQ2cos。一sina

所以aw—+kit.kGZ,可得cosaw0,

=3左邊分子分母上同乘-----可得.3a二母

cosa-sinacosa1-tana

3

解得tano=一,故A正確;

由tan

1-tana

sina=

聯(lián)立-------:—=3與sin?a+cos2a=1，解得

cosa—sinar

COSa=

、7

所以cos2a=2cos-a-1=—,故C正確；

25

由cosor=l—2sii?與得sinq=±Jl-c°sa,解得而巳=±典或sin2=土亞，故D

錯(cuò)誤.

故選；AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.已知等比數(shù)列｛《J滿足用一。〃＞0,其前〃項(xiàng)和S“滿足S,用一S“＞0,則符合條件

的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式耳=.

【答案】2'i（答案不唯一，只要填寫滿足4＞0,且夕＞1的通項(xiàng)公式即可）.

【解析】等比數(shù)列｛（｝滿足q川-鳳＞0,即。2＞為，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)

列，又S”+i-S”＞。，即

則符合上述條件的數(shù)列｛4｝只要滿足q＞0,且。＞1即可，

令4=1,q=2,故〃“=2a.

（答案不唯一，只要填寫滿足％＞0,且“＞1的通項(xiàng)公式即可）.

故答案為：2〃T.（答案不唯一，只要填寫滿足q＞。，且。＞1的通項(xiàng)公式即可）.

1r-l

13.已知函數(shù)/（x）=（x+—+.）出一〕是偶函數(shù)，則。=______________.

XK十I

【答案】0

【解析】由｛H1*0解得fix）的定義域?yàn)椋╢O,T）U（l，田），

x-\

>0

7+T

因?yàn)?（A）是偶函數(shù)，所以/（-2）=/⑵，即（一5+“山3=吟即-55

(2)

解得。=0.

當(dāng)〃=0時(shí)，告

(iYx+i(iv.x-n(x-\，/、

=-x+-In-=-x+--In=x+-In=/(x),

Ixjx-\Ix八x+\)\x)x+\

此時(shí)/（幻是偶函數(shù)，所以。=0符合題意.

故答案為：0.

22

14.已知雙曲線C：與一與二1（〃＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為片，區(qū),過片的直線

a~b~

與C的左支交于A,B兩點(diǎn),且3|打砌=2|匕人|,以線段A3為直徑的圓恰好過點(diǎn)K，則。

的離心率為.

【答案】業(yè)i

5

【解析】如圖,因?yàn)槲觥昀?2|耳川,設(shè)16Al=3機(jī)，ILB|=2m,m>0,則|A5|=5〃z,

由雙曲線定義知I入A1=2c+3m,|1=2。+2m,

以線段A3為直徑的圓恰好過點(diǎn)工，則A5

由|A02。+1瑪5『,得(5w)2=(2m+2a)2+(2a+3w)2，

化簡(jiǎn)得3m2-5am-2a2=0>即(35+a)(m-2a)=0,

因?yàn)?/v+awO,所以〃?-2〃=0,m=2a.

\BF\_8f/_4

在g中,2

\AB\~Wa~5

|A￡『+|Ag『一|4月|225a2-/

在/XAf；居中,由余弦定理cosA=

2

2\AFl\-\AF2\24a

四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且滿足q+%=18,%=13.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

n200

(2)設(shè)2=(-1)"”?！保?hào)表示4+生+〃3+…+4-1+%的和，求Z&.

i=\1=101

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為

因?yàn)?+%=18,%=於,

2q+8d=184=1

解得

q+64=13d=2

.??a“=4+(〃-l)d=2〃-l,〃wN".

⑵?.”“二(一1嚴(yán)可，喜二2〃-1,

???”=(-1嚴(yán)(2〃-1),

200

b]=bi。]4-4Q2+403+…+byj=(201—203)+(205—207)+…+(397—399)

i=IOI

=-2x50=-l(X).

16.已知拋物線E：=4x的焦點(diǎn)為尸，直線乙：x-my-4=0(〃zeR)與E交于A,

B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A。與直線4：x=-4交于點(diǎn)C.

(1)若I以1+1m1=12,求刑的值;

(2)證明:軸.

⑴解:由題意可知:/(1,0),

設(shè)443),B(x2,y2),由拋物線定義知|FA|=%+1,|FB|=X2+1,

^\FA\+\FB\=\2,即內(nèi)+七+2=12,所以王+七印。.

聯(lián)立方程,消X得y2—4my—16=0,

x=my+4

則△=(-4/n)2-4xlx(-8)=16(m2+4)>0顯然成立，

可得乂+)’2=46，))%=-16,

則為+x,="Ky+y,)+8=4〃?2+8,即4〃?2+8=10，解得機(jī)=也或〃？=一立

22

(2)證明：要證Be4入軸，只需證攵8c=仇

k=A=JL=±4

因?yàn)椤鉇內(nèi)片y,則直線。4的方程為y=一孫

4

4

y=?x—16,即十T

聯(lián)立方程，y可得)'=—

y

x=-4

由)'跖二-16得%

y

-16士____-_1_6

所以_一--J_n?所以軸.

=-=-------：-----=U

-4一/-4-X2

17.已知。，b,c,分別為VABC三個(gè)內(nèi)角AB,C的對(duì)邊，且acosB+GisinB=8+c.

(1)求A：

(2)若。=26，求△H8C周長(zhǎng)的取值范圍.

解：(1)因acosB+GasinB=Z?+c，由正弦定埋得：

sinAcos/?+V5sinAsin=sin+sinC，則sin4cosB+6sinAsin8=sinB+sin(A+B)，

即sinAcos3+GsinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

即GsinAsinB-cosAsinB=sinB

因sin0,所以GsinA-cosA=1，即2sin(A-?=1,UPsinA--1,

kojI6)2

Lie.LL…兀,兀5兀LL,、I,兀兀,,4兀

因0<A<7i,所以—<A—<—,所以A—=—,故4=一.

666663

(2)記VA8C周長(zhǎng)為L(zhǎng),則L=a+Z?+c,因〃=2>/J，acosB+gasin3=/?+。，

所以〃+c=2G(cos8+Gsin3)=4Gsi]】M+e,所以L=++，

^0<B<—,所以工+二<型，所以!vsin(8+m]?l,

366621

故46<26+4Gsin(K+弓上，則周長(zhǎng)￡的取值范圍為(4后,6同

71

18.如圖1,平面四邊形48co中，AB=AC=BC,A￡>=8且N4。。二一，現(xiàn)將△

2

ACO沿AC折起，使得=如圖2.

(1)證明：平面ACO_L平面ABC；

(2)點(diǎn)E在線段上，平面ACE把三棱錐B—ACD分成體積相等的兩部分，求二面

角C-4E-。的余弦值.

(1)證明：由題設(shè)可得，AD=DC.

又/4DC=90。，

取AC的中點(diǎn)。，連接。。，BOMlX）±AC,DO=AO,

又因?yàn)椤鰽8C是正三角形，所以8O_LAC,

所以ZDOB為二面角D-AC—B的平面角.

在Rt^AQB中，BO2+AO2=AB2，

又OO=AO,BD=AB，所以5。2+0。2=。62，

故NDOB=90°.所以平面ADC1平面ABC.

（2）解：由題設(shè)及（1）知，OB,。。兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，面的方向?yàn)閤軸正方向，|函|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角

圖2

則41,0,0),B(0,A0),C(-L0,0),皿(0,0,1),

由題設(shè)知，四面體ABC石的體積為四面體4BC力的體積的;，從而E到平面ABC的距離

為。到平面A8C的距離的會(huì)，

即E為班）的中點(diǎn),得國0,3一）.故而=（TOD，=（-2,0,0）,AE=

2222

設(shè)n=（xp）\,Z］）是平面DAE的法向量,

-內(nèi)+Z]=0

萬?而5=0

則〈

萬?“二（）'61A

_內(nèi)+]4=0

可取〃=(1,等,1).

設(shè)=（毛,K,Zi）是平面AEC的法向量,

-2X=0

nAC=02

則_即〈731八，

nAE=0一七+三月+/=0

可取而=(0,—1,6).

則c°s（〃，加=部=立.

7

由圖知二面角C—AE-。為銳角，所以二面角C-4E-力的余弦值為—.

7

7-1v22

19.已知4一2,0)和8(6：)是橢圓C：J+v'=1(a>〃>0)上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)。。,0)

2a2b2

（2）若AAMN的面積為《，求直線/的方程；

（3）在％軸上是否存在點(diǎn)P,使ZMPD=/NPD,若存在求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)

說明理由.

W：（1）由題設(shè)知。=2,因3（0，!）在。上，所以（/）2//,