整式的加減壓軸題（10大題型）

題型歸納

題型一：概念難點(diǎn)辨析、填空

題型二：判斷整式的次數(shù)

題型三：求值問題

題型四：不含某項問題

題型五：與某字母取值無關(guān)、定值問題

題型六：整式規(guī)律題；最值問題

題型七：整式加減的幾何應(yīng)用

題型八：新定義題

題型九：方格問題

題型十：整式加減的實際應(yīng)用

題型一：概念難點(diǎn)辨析、填空

1.下列語句中錯誤的是（）

A.數(shù)字0也是單項式

B.單項式F的系數(shù)和次數(shù)都是1

C.若力和8都是關(guān)于x的三次整式，則力+8的次數(shù)一定不高于3次

D.1不是整式

x

【答案】B

【分析】根據(jù)單項式和整式的定義即可解答.

【詳解】解：A、。是單項式，故A正確，不符合題意：

B、單項式-a的系數(shù)是-1,次數(shù)是L故B不正確，符合題意；

C、若力和夕都是關(guān)于x的三次整式，則4+3的次數(shù)等于3次或低于3次，故C正確，不符合題意;

D、，分母中含有字母，不是整式，故D正確，不符合題意.

x

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式和整式的定義，熟悉定義是解題關(guān)鍵.

2.下列說法中錯誤的語句共有（）

①-3.14既是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、也是有理數(shù)；②.，-‘一斗是二次三項式；

XX

③幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)積為負(fù)數(shù)時，負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個；④M+1的最大值是1;

⑤?不是整式；⑥3/-2》+5的項是3/,-2%,5；

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類、整式等知識進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：-3.14既是負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)；故①正確；

不一_!_一二不是整式：故②錯誤；

XX

幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)積為負(fù)數(shù)時，負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個；故③正確：

/+1的最小值是1;故④錯誤；

T不是整式；故⑤正確；

3--2X+5的項是3/,-2x,5：故⑥正確；

不正確的是②④，共2個，

故選:C.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類、運(yùn)算，整式的定義，次數(shù)和項等相關(guān)概念，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算,

整式的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

3.已知關(guān)于小y的整式3^/一（0—31/+2一;"+（〃_［）/"

（1）當(dāng)。=1,b=-1時，該整式的次數(shù)為,一次項為:

⑵在（1）的條件下，若x=2,y=-1,求整式的值；

⑶我們稱各項的次數(shù)都相同的整式為齊次整式，如2a3+5〃/-力+34曲就是齊次整式，若整式

3。2一（。_3）/2_；4+（4_］）//是齊次四項式，求2。+/,的值；

⑷若該整式是一個六次三項式，求。的值，并把該整式按x的升暴排列.

【答案】（1）4；2y

（2）11

（3）0

⑷2/~^xy-+3x2y2或一:犯'+3/jJ+2x3y-

【分析】本題主要考查了整式的定義和化簡求值，也考查了新定義齊次整式.

（1）將。=11=-1代入整式，再根據(jù)整式相關(guān)的定義解答即可：

（2）將x=2,y=-1代入（1）的條件卜的整式求值即可；

（3）根據(jù)齊次整式的定義，由整式3門？一（“一31/+2_；4+（4_1）/>?是齊次四項式得

|。|+3=4,6+2=4,。-1/0,。一3二0,得出〃、人的值代入2。+b計算即可；

（4）分兩種情況討論：①當(dāng)-（。-3）。+2為六次項，伍_1）/13=0時；②當(dāng)（a—i）x同/為六次項，

—（a—3）j六2=0時；分別求出心/>的值，再代入原整式，并把該整式按x的升轅排列即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)a=l,6=-I時，該整式為此時該整式是一個四次三項式，所以該整

式的次數(shù)為4,一次項為2y,

故答案為：4,2y；

（2）解：當(dāng)。=1/=一1時，該整式為3//+2N一；孫3,

將x=2,y=T代入，得：

JM^；=3x22x（-l）2+2x（-l）-lx2x（-l）3=ll；

（3）解：由題意可知該整式的所有項的次數(shù)為4,

.?.|a|+3=4,6+2=4,

二。=1或。=T,b=2,

???該整式有四項，

二a—1W0,a—300,

工"1,。工3,

????=-1,

2（/+/?=2x（―））+2=0；

（4）解：因為該整式是一個六次三項式，而-（。-3）式+2和s-D/了的次數(shù)不定，所以需分以卜?兩種情況

討論：

①當(dāng)-5-3）。+2為六次項，（〃一1）/丁3=0時，此時整式為3//_（°_3）/2T孫3,

即6+2=6,。-3/0,。-1=0,

所以。=4,。=1,

此時該整式為3x、2+2y6-Ixy3,

將該整式按x的升轅排列為2V一；個3+3//:

②當(dāng)伍一1WV為六次項，-（〃-3）產(chǎn)=o時，

此時整式為3//—+g—］）/聯(lián)，

即|〃|+3=6,。-3=0,。-1±0,所以。=3,

此時該整式為3/丁_白＞3+2//，

將該整式按x的升鬲排列為一；孫-+3//+2//.

題型二：判斷整式的次數(shù)

4.如果力、4都是關(guān)于x的單項式，且A-B是一個九次單項式,A+3是一個五次整式，那么A-B的次數(shù)（）

A.一定是四次；B.一定是五次；C.一定是九次：D.無法確定.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可判斷A、B的次數(shù)，再根據(jù)整式的定義即可解答.

【詳解】解：:A、B都是關(guān)于x的單項式，且A?B是一個九次單項式，A+B是一個五次整式，

???A、B中一個是5次單項式，另一個是4次單項式，

???A-B的次數(shù)一定是5次，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的定義，整式中每個單項式叫做整式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就

是這個整式的次數(shù).

5.設(shè)P是關(guān)于x的五次整式，Q是關(guān)于x的三次整式，則（）

A.P+Q是關(guān)于x的八次整式B.P-Q是關(guān)于x的二次整式

C.P+Q是關(guān)于x的五次整式D.P?Q是關(guān)于x的十五次整式

【答案】C

【分析】根據(jù)整式的加減只能是同類項間的加減，非同類項之間不能進(jìn)行合并，整式相加時次數(shù)等于次數(shù)

高的哪個整式的次數(shù)可判斷各選項，或根據(jù)P是關(guān)于x的五次整式，Q是關(guān)于x的三次整式，利用乘法法則

得出PQ的次數(shù).

【詳解】A.兩式相加只能為5次整式，故本選項錯誤；

B、P-Q是只能為關(guān)于x的5次整式，故本選項錯誤；

C、P+Q只能為關(guān)于x的5次整式，故本選項正確；

D、PQ只能為關(guān)于x的8次整式，故本選項錯誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查整式.整式的加減,解題關(guān)鍵在干掌握運(yùn)算法則.

題型三：求值問題

6.當(dāng)x=l,y=T時，關(guān)于X、『的二次三項式av"“+（m+l）⑶-3值為0,那么當(dāng)x=-；,y=；時，式

子a,nx+2mby+^-的值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)二次三項式的次數(shù)和項數(shù)的定義，確定m值，再把m代回二次三項式中得到等式，再把x和

y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整體代入所求，即可得到結(jié)果.

w：

【詳解】解：■?-ax*>+(/n+1)by-3是關(guān)于x、y的二次三項式，

.?.當(dāng)x=l,y=-1W，有a-(〃計1)b-3=0,m2=l,

當(dāng)加=-1時不合題意，

二〃7=1,

:.a-2b-3=0,

:?a-2/>=3,

1,3

,—a+b=—,

22

當(dāng)x=-；,y=；時，式子amx-2/zz/y'+-y=-^a+h+^-=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的次數(shù)項數(shù)的定義、整式的代入求值的相關(guān)計算，根據(jù)次數(shù)項數(shù)定義碓定m的取值

要考慮全面，這是本題的易錯點(diǎn).

7.若關(guān)于X的關(guān)系式伊-1*+H2+/+4.3是關(guān)于x的二次整式.

⑴求左的值；

⑵若該整式的值是2,且規(guī)定表示不超過。的最大整數(shù)，例如[3.5]=3,請在此規(guī)定下求2024公一工

的值.

【答案】⑴)=1

(2)2022

【分析】本題考查了整式的定義，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整式的定義，理解題意.

(1)根據(jù)』知的整式為：次整式燈得整式不含丁項，且包含f項，推出二_i=o且八1工0,即川一求解；

(2)根據(jù)整式的值是2,可得2d+4x-3=2,然后把所求代數(shù)式變形后代入，結(jié)合表示不超過的最大整數(shù)

求解.

【詳解】(1)解：&-1卜3+小+/+以一3

=(it2-l)x3+(^+l)x2+4x-3,

(12-1)/+Ax?+/+4%-3是關(guān)于刀的二次整式，

尸一1=0且％+1工0,

解得4=1;

(2)由(1)可知整式為2/+4X-3,

;該整式的值是2,

.\2v2+4.r-3=2,

即?+2x=-,

2

又,：k=l,

2024k2--x2-x\

2」

=2024Tx2+2x)]

=2024-

=2022-

_4

=2022.

題型四：不含某項問題

8.若關(guān)于a、b的整式2(2/+R)-3〃)與-3(〃2+小帥+262)的和不含而，則〃?的值是.

2

【答案】|

【分析】本題考查了整式的和中不含某項的條件；求出整式的利為/+(2-3加)必-12〃，由整式中不含某

項的條件，即可求解；理解"整式中不含某一項就是使得這一項的系數(shù)為零."是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

2[la2+ab-3b2)-3(/+mab+2b2)

=4a:+2ab-6b'-3a?-3mab-6b*

=a2+(2-3m)ab-\2b2

不含ab,

2—3w=0,

2

解得：加二§,

故答案為：f2.

J

9.整式9a*一2加+ma'b-減去3/-nab’-/b-b，后,若小含與a%,則()

A.m=1,n=2B.m=—\,n=2C./7/=!,n=-2D.m=~\,n=-2

【答案】B

【分析】本題考查J'整式的加減，先計算兩個整式的差，根據(jù)結(jié)果不含與/〃，即這兩項系數(shù)為0,即

可求出

【詳解】解：(9^-lab1+ma2b-h3)-(3a3-nab2-a2h-b^)

=9cr-2ab?+ma2b-b'-3。'+nab2+a2b+b'

=(9/-3/)+(nab2-2ab2)+(ma2b+a2b)+(b3-b5)

=6a'+(n-2)ab2+(m+\)a2b+(b'-b3),

因為它們的差不含必2與/人

所以〃一2=0,〃?+1=0,

???m=-l,〃=2,

故選B.

題型五：與某字母取值無關(guān)、定值問題

10.代數(shù)式4/一3/>'+8入2〉，+3》3+3.6-8入-2廣7爐的值

A.與x,y有關(guān)B.與x有關(guān)

C.與y有關(guān)D.與x,y無關(guān)

【答案】D

【詳解】根據(jù)整式的加減一合并同類項，可知4x3-31y+8x2y+3/+3/y-8x2y-7x3=O,因此整式與x、y

均無關(guān).

故選D.

11.^+ax-y-(bx2-.￥+9J,+3)的值與x的取值無關(guān)，貝l]?"/)的值為()

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【詳解】根據(jù)整式的加減法，去括號合并同類項可得x2+ax-y-(bx2-x+9v+3)=x2+ax-y-i>x2+x-9y-3=

(1-b)x2+(a+1)x+(-1-9)y-3,由于值與x的值無關(guān)，可得l-b=0,a+l=0,解得a=-l,b=l,因此可求-a+b=2.

故選D.

點(diǎn)睛：此題主要考查了整式的值與字母無關(guān)形的題目，解題關(guān)鍵是明確無關(guān)的主要特點(diǎn)是系數(shù)為0,然后通

過整式的化簡，讓相關(guān)的系數(shù)為0即可求解.

12.已知代數(shù)式力=2--(1-3〃、，3=_/+".1,若34+68的值與x的取值無關(guān)，貝門的值為.

【答案】|

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先把力=2x2-(1-3〃)x,8=一一+內(nèi)一1代入34+68,進(jìn)行化

簡,然后根據(jù)+的值與x的取值無關(guān).列出關(guān)于曾的方程，解方程求出〃即可.

【詳解】解：,*,/=2x?-(1一3〃)x,B=-x2+nx-1,

.-.3A+6B

=3[2--(1-3〃)工]+6(-/+〃X-1)

=6x2-3(l-3;?)x-6x2+6nx-6

=6x2-6x2+(6〃-3+9〃)工一6

=(.5/7—3)x—6,

???34+6B的值與x的取值無關(guān),

.-.15n-3=(),

解得：〃=：，

故答案為：

13.己知無論x,『取什么值,整式（2--/即+9）-（加-5尸4）的值都等于定值13,則加+〃=.

【答案】7

【分析】本題考查了整式的化簡與整式的無關(guān)型，先將整式化簡，再讓含有x和y的項系數(shù)為0,得出機(jī)

和〃的值，即可求解.

【詳解】解：（2-—〃少+9）-（/-5y-4）

=2x2-rny+9-nx2+5y+4

=（2-/7）X2+（5—〃?）歹+13,

?.?整式（2/一呼+9）-（〃/-5y-4）的值都等于定值13,

2-//=0,5-ni=0,

解得〃=2,"?=5,

"I+〃=5+2=7,

故答案為:7.

14.已知P=-X3+4X—2，Q=3xi-2xy+3.

（1）當(dāng)_V=2時，化簡：P+Q=________.

（2）若30+。的值與％的值無關(guān)，則代數(shù)式3尸+。的值為.

【答案】2x3+l-3

【分析】本題考查了整式的化簡求值，牢記運(yùn)算順序“先合并同類項，再代入求值”是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：（1）0+。=一9+4工-2+3/—2呼+3

=-x3+3x3+4x-2xy-2+3

=2x5+4x-2xy+1

將『=2代入2/+4x-2,q+1得：

2x'+4x-2xy+\=2x'+4x-2x2x+l

-2x3+1.

.?.戶+0=2/+1

（2）3P+0=3（-x3+4x-2）+3x3-2xy+3

=-3X3+12X-6+3X3-2A7+3

=-3x3+3x3+12x-2xy-6+3

=12K-2R，-3

???3P+。的值與x的值無關(guān)，

\2x-2xy=0,

.?.3P+0=-3

15.(1)一天數(shù)學(xué)老師布置了一道數(shù)學(xué)題：已知x=2017,求整式

(丁_6/_7“+8)_(_—_3x+2/-3)+(/+5/+4M—I)的值，小明觀察后提出；“己知x=2017是多余的〃,

你認(rèn)為小明的說法有道理嗎？請解釋.

(2)已知整式A/=/+5QX-3X-1，整式M與整式N之差是35+4ar-x.

①求出整式N

②若a是常數(shù)，且2M+N的值與x無關(guān)，求a的值.

【答案】(1)小明說的有道理，理由見解析.

8

(2)?N=-2x2+ax-2x-l(2)a=—.

【分析】(1)原式去括號合并同類項后得到最簡結(jié)果，根據(jù)化簡結(jié)果中不含x,得到x的值是多余的.

(2)①根據(jù)題意,可得N=(x2+5ax-3x-l)-(3x2+4ax-x),去括號合并即可；

②把M與N代入2M+N,去括號合并得到最簡結(jié)果，由結(jié)果與x值無關(guān)，求出a的值即可.

【詳解】(1)小明說的有道理，理由如下：

I^(xt=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-l

=(1-2+1)x3+(-6+1+5)x2+(-7+3+4)x+(8+3-1)

=10,

由此可知該整式的值與x的取值無關(guān)，所以小明說的有道理.

(2)(1)N=(x2+5ax-3x-l)-(3x2+4ax-x)

=x2-?-5ax-3x-l-3x2-4ax+x

=-2x2+ax-2x-l；

(2).-M=x2+5ax-3x-l,N=-2x2+ax-2x-l,

.-.2M+N=2(x2+5ax-3x-l)+(-2x2+ax-2x-l)

=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-l

=(lla-8)x-3,

由結(jié)果與x值無關(guān)，得到lla-8=0,

解得：

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握去括號與合并同類項法則是解本題的關(guān)鍵.

題型六：整式規(guī)律題；最值問題

2

16.觀察下列整式:a-2bta-4b\/-8氏/一胎必，…，則第〃個整式為（）

A.an-2nbln-'B.an-2nbMC.an-2nb2n-'D.an-lnb2n

【答案】C

【分析】本題考查了整式，正確理解式子的規(guī)律是關(guān)鍵.根據(jù)已知的式子可以得到每個式子的第?項中。的

次數(shù)是式子的序號：第二項的符號：第二項中b的次數(shù)是序號的2倍減1,第二項系數(shù)是序號的2次方，據(jù)

此即可寫出.

【詳解】解：—2方="一29'I,

/-MT'//3,

，-昉5=。3-23產(chǎn),

“4-1667=。4一24戶2,

由上可知第〃個式子為：an-Tb2n~\

故選：C.

17.已知整式力=3/一〃7（/+6）+4.

（1）若力的值與X無關(guān)，則w=：

（2）當(dāng)〃7=1時，5=-x2-10.

①化簡2A-B=;

②當(dāng)整式力取得最小值時，此時24-4的值為.

【答案】35/+66

【分析】（1）將力=3/—〃?（/+6）+4化簡成力二。一〃?）/+4—6〃?，即可求解

（2）①將m=1代入2%-8中，直接整理化簡即可

②由4=2./-22-2,可知x=（）時，整式力取得最小值時，此時24-8=6

【詳解】（1）4=3x2一加（一十6）+4

=（3一m）/+4-6m

.%3-m=0,即m=3

故答案為3

（2）①???〃？=1,

:.A=3x~-（x2+6）+4=2x2-2,

.-.2.4-5=2（2X2-2）+X2+10

=5,v2+6：

故答案為5/+6;

②；4=2--2,且

???當(dāng)x=0時，4行最小值，

2.4—B=6

故答案為6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算和化簡，關(guān)鍵是要能夠熟練合并同類項

題型七：整式加減的幾何應(yīng)用

18.如圖，把圖1中周長為8的長方形紙片分割成四張大小不笨的正方形紙片48,C,。和一張長方形

紙片￡,并將它們按圖2的方式放入周長為13的長方形中，則正方形力的周長與陰影部分的局長之比

為?

圖2

【分析】設(shè)。號正方形的邊長為，C號正方形的邊長為6則4號正方形的邊長為x+y,8號正方形的邊

長為2x+y,E號長方形的長為力+y,寬為丁一、，根據(jù)圖1中長方形的周長為8,求得x+y=l,即可得

13

出正方形A的周長，由圖2求得內(nèi)G=2x+3y,根據(jù)圖2中長方形的周長為13求得MV=]-3x-4j，，沒

有覆蓋的陰影部分的周長為2R7+2MN,計算即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)。號正方形的邊長為x,C號正方形的邊長為產(chǎn)

則4號正方形的邊長為x+N,B號正方形的邊長為2x+y,

七號長方形的長為3x+y,寬為丫7,

由圖1中長方形的周長為8,可得，2(x+y+2x+y)+2(x+y+y)=S,

解得：x+y=\,

???止方形/的周長為4(x+j，)=4；

如圖,

FG=x+y+2x+y+y-x=2x+3y,

?.?圖2中長方形的周長為13,

：.FG+FM=—,

2

...FM=--FG=--（2x+3^）=--2x-3^,

222

???沒有覆蓋的陰影部分的周長為：2m+2MN=2(2x+3y)+2(￡—3x—4y)=13—2(x+y)=ll,

4

???止方形4的周長與陰影部分的周長之比為日.

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查整式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，列代數(shù)式表示各線段進(jìn)而解決問題.

19.把兩張形狀、人小完全相同的小長方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個底面為長方形(長為x,寬

為丁)的盒子底部(如圖②)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.陰影部分剛好能分割成兩張形狀

【答案】4x

【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的運(yùn)算，設(shè)2張形狀大小完全相同的小長方形卡片的長和寬分別為〃八

n,然后分別求出陰影部分的2個長方形的長寬即可.

【詳解】解：設(shè)2張形狀大小完全相同的小長方形卡片的長和寬分別為〃?、〃.如圖，

BC

GF=DH=n,AG=CD=m,

:.HE=GF=DH=n,AG=CD=m,

HE+CD=y,

:.m+n=y,

v長方形力8co的氏為：AD=m-DH-〃==一y+x,

寬為：CD=m,

，長方形ABCD的周長為：2(AD+CD)=2(m-y+x+m)=4ni-2y+2x

???長方形GHE尸的長為：GH=x-AG=x-m,

寬為：HE=y-m,

長方形歹的周長為：2(GH+HE)=2(x+y-2m)=2x+2y-4m,

???分割后的兩個陰影長方形的周長和為：4m-2y+2x+2x+2y-4m=4x,

故答案為：4x.

20.把七個長和寬分別為7〃,〃的小長方形，擺成如圖所示的圖形，若四邊形"CO為長方形，則圖中陰影

【答案】23/

【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減，能表示出長方形，奶。的面積及小長方形的面積是解題的關(guān)

鍵；將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為長方形48CO的面積減去7個小長方形的面積之和即可.

【詳解】解：由所給圖形可知，長方形48CQ的長為：7〃+2〃=9〃，寬為：7〃+“=8〃，

所以長方形ABCD的面積為：9小8〃=72/,

又因為空白部分為7個小長方形，它們的面積之和為：7x7"〃=49l,

所以陰影部分的面積為721-49/=23/,

故答案為：23〃2.

21.如圖，小長方形紙片的長為a,寬為b,且將7張紙片按圖不小重登的放在長方形,48C。內(nèi)，未

被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為凡和邑.

.D

§

a

JS2

h/HU------c

(1)當(dāng)4=8,6=2,4)=20時，S「SI的值為:

(2)若48長度保持不變，力。變長，將這7張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形X8CO內(nèi),

當(dāng)3s2-5岳的值與力。的長度無關(guān)時，心6滿足的關(guān)系式是.

【答案】24a=5b

【分析】本題考查整式加減運(yùn)算的實際應(yīng)用.

(1)由圖可知：4D=BC=20,48=CD=a+3b,確定兩個未被覆蓋的長方形的長和寬，求出S?,5,即可；

(2)設(shè)力。=x,求出3s2-5H的值，根據(jù)3s2-5￡的值與3的長度無關(guān),得到力的系數(shù)為0,進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：(1)由圖可知：AD=BC=20>AB=CD=a+3b=]4,

”=36x(4O-Q)=3X2X(20-8)=72,S2=ax(8C-4b)=8x(20-8)=96,

.-.y-S,=96-72=24；

故答案為：24；

(2)設(shè)力力=x,

貝|J：3S,-5Sl=3a(x-4b)-5^3b(x-a)

=3ax-12ab-15bx+15ab

=(3a-]5b)x+3ab:

???3星-55的值與力。的長度無關(guān)，

3a-15/)=0,

:.a=5b；

故答案為：a=5b.

22.將邊長分別為。和b(a>b)的兩張正方形紙片按如圖1、圖2所示的兩種方式置于同一個長方形ABCD

中(圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示,

設(shè)圖1中陰影部分的周長為G，圖2中陰影部分的周長為g，則的值為

圖1圖2

【答案】0

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、整式的加減等知識點(diǎn)，掌握整式的加減的法則是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)周長公式列代數(shù)式，然后根據(jù)長方形的性質(zhì)化簡，然后比較即可解答.

【詳解】解：由題意知，C^AD+CD-h+AD-a+a-h+a+AB-a,

=4D—b+AB—a+a—6+Q+BC—a+AB.

???四邊形48。是長方形，

AR=CD,AD=BC,

：.C=AD+CD-b+AD-a+a-h+a+AB-a=2AD+2AB-2h,

G-AD—b+AB—ci+a—b+a+BC—a+AB=2AD4-2AB—2b

：.c2=Cf,即c?-G=o.

故答案為0.

23.如圖，一塊長方形鐵皮的長為（74十與米，寬為（5a+4〃）米?將這塊長方形鐵皮的四個角都剪去一個邊長

為（。+力）米的正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體盒子.

⑴求這個盒子底部的長和寬（用含。、〃的代數(shù)式表示，要求化簡）；

（2）求這個盒子底部的面積（用含。、。的代數(shù)式表示，要求化簡）；

⑶將盒子的外部表面進(jìn)行噴漆，若每平方米噴漆的費(fèi)用為8元，求噴漆共需要的費(fèi)用（用含。、〃的代數(shù)式

表示，要求化簡）.

【答案】⑴這個盒子底部的長為（5”與米，寬為（3a+2b）米

⑵這個盒子底部的面積為（15/+7砧-2從）平方米

⑶噴漆共需要的費(fèi)用為（24&/2+200^）元

【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，整式乘法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列式計算是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意列式計算即可；

（2）根據(jù)題意列式計算即可；

（3）根據(jù)題意列式計算即可.

【詳解】（1）解：這個盒子底部的長為（7。+b）-2（a+1）=7以十人一2a—2分=5a-b.

這個盒子底部的寬為（5。+46）—2（。+力）=5。+4〃-2。-26=3。+2〃.

答：這個盒子底部的長為（5。-與米，寬為（3。+26）米.

（2）解：（5?-/>）（3?+2/?）=15?2+10^/;-3ab-lb1=\5a2+lab-2b2.

答：這個盒子底部的面積為（15/+7融-2/卜F方米.

（3）解：（7a+b）（5a+4b）-4（a+4）2

-35a2+33ab+4Z>2-4a2-Sab-4b2

=31t72+25ab；

8（3\a2+25"）=248a2+200".

答：噴漆共需要的費(fèi)用為（248/+200"）元.

24.某小區(qū)的一塊長方形綠地的造型如圖所示（單位：〃?），其口兩個扇形表示綠地，兩塊綠地用五彩石隔

開.

⑴綠地的面積為平方米：（用含有。，b,Tl的式子表示）

（2）若人=：〃，

①若鋪設(shè)五彩石費(fèi)用為每平方米160元，種草的費(fèi)用為每平方米80元，則美化這塊長方形區(qū)域共需多少

元？（用含有。，n的式子表示）

②若要求綠地面積大于這塊地總面積的!，試問該設(shè)計方案是否合乎要求？請說明理由.

【答案】（1）0笈（/+〃）

4

⑵①（240/一25萬/）元：②該設(shè)i一方案合乎要求，理由見解答

【分析】本題考查了列代數(shù)式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，川含。，人的代數(shù)式表示出各區(qū)域的面積是解題的

關(guān)鍵.

（1）將兩個扇形的面積相加，即可用含有。，b,萬的式子表示出綠地的面積；

（2）代入b=用含有明笈的式子表示出綠地的面積.

①利用美化這塊長方形區(qū)域所需費(fèi)用二鋪設(shè)每平方米五彩石所需費(fèi)用x（這塊地的總面積一綠地的面積）+

種每平方米草所需費(fèi)用x綠地面積，即可用含有。，乃的式子表示出美化這塊長方形區(qū)域所需費(fèi)用；

1

②求出這塊地總面積的;，將其與綠地面積比較后，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：綠地的面積為:乃初2=:雙『+尸）（平方米）.

444

故答案為：:乃（/+〃）；

4

（2）解：當(dāng)b=時,；乃（/+/）=+[/+（；]）']=得江/.

①根據(jù)題意得：160[[。+彳。。一■^乃（丁]+8。乂2用。2

\2.）Io16

=160—672--nor^l+SOx—

（216）16

355

=160x—a2-160x-jra~+80x—7ra~

21616

=240a'-SO/ra1+25加力

=（240/-25乃/）（元）,

，美化這塊長方形區(qū)域共需（240”、25乃?。┰?；

②該設(shè)計方案合乎要求，理由如下：

這塊地總面積的W是孤+；["=，2=o.9/（平方米）.

???上乃。2ss098/>0.9。2,

16

???該設(shè)計方案合乎要求.

題型八：新定義題

25.給出定義如下：我們稱使等式a-b=M+l成立的一對有理數(shù)。、人為"相伴有理數(shù)對"，記為（出力）.如:

|1（1>

3--=3x-+l,所以數(shù)對3；是“相伴有理數(shù)對〃.

LL、乙）

（1）數(shù)對（-3,-2）,（-1-2^,是〃相伴有理數(shù)對〃的是；

（2）若（。/）是“相伴有理數(shù)對〃，貝1]4出）—〃+；（〃+分-74>）+2024=.

【答案】2023；/竿

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值和新定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握去括號法則和合并同類項法則，

正確理解新定義的含義.

（1）根據(jù)“相伴有理數(shù)對〃的定義對這兩個數(shù)對進(jìn)行計算，然后判斷即可；

（2）先根據(jù)去括號法則和合并同類項法則進(jìn)行化簡，然后把。力=帥+1整體代入化簡后的式子進(jìn)行計算即

可.

【詳解】解：(1)v-3-(-2)=-3+2=-1,(-3)x(-2)+l=6+l=7t

----(—2)=——+2=—,——x(—2'i+1=—+1=—,

3''333''33

-3-(-2)(-3)x(-2)+1,-1-(-2)=-1X(-2)+1

?.?〃-6="+1成立的一對有理數(shù)a,b為“相伴有理數(shù)對”，

.?.是“相伴有理數(shù)對〃的有ET；

(2)是"相伴有理數(shù)對”，

:.a-b=ab+\,

：.4ab-a+；(a+6-7ab)+2024

=4ab-a+—a+—b—ab+2024

222

=—ab—a+—b+2024

222

=卜力一;("+1)+2024

=-ab--ab--+2024

222

=20231,

故答案為：ET，2023；

26.我們約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)，例如：在圖1中，即5+6=11,若。力

滿足|a-3|+(b+l)2=0,則圖2中歹的值為

圖1圖2

【答案】27

【分析】本題考查了整式的加減與化簡求值；先用含有。，b的代數(shù)式表示用和〃，再表示出P即可.根據(jù)

絕對值和完全平方的非負(fù)性求出。和〃的值即可解決問題.

【'佯解】由題知,

m=ab:+a'b+ab2=a:b+2ab2;

n=azb+ah'-3(a2b-a)=a'b+ab2-3a~b+3a=-2a'b+ab2+3a；

所以y=+〃=a'b+lab'-2a:b+ab"+3a=-a:b+3ab2+3a.

因為|”3|+(b+l)2=0,

所以a-3=0,b+1=0,

貝！Ja=3,b=—\^

所以y=-32x(-l)+3x3x(-iy+3x3=27.

故答案為：27.

27.觀察下表：我們把表格中字母的和所得的整式稱為“有特征婺式“，例如：

第1格的“有特征整式"為，4x+y,

第2格的“有特征整式"為,8x+4p,

回答卜.列問題：

（1）第3格”有特征整式”為第4格的“有特征整式〃為

第〃格的“有特征整式〃為.

（2）若第〃?格的"特征整式"與整式-24x+2y-5的和不含有x項，求此“有特征整式〃.

序

1234..

號

xxxxxyyy

xxxxyyy

xxxyyXX

XXyXXyyyy

圖

yXXyyyXX..

形

XXyyXXyyyy

XXXyyyXX

XXXXyyyy

XXXXX

【答案】（1）12x+9y,16x+16y,4nx+n2y；（2）24x+36y

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以解答本題；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以寫出第m格的“特征整式〃，然后根據(jù)題意可以求得m的值，從而可以寫出此

“特征整式

【詳解】解：（1）由表格可得，

第3格的“特征整式"為12x+9y,第4格的“特征整式〃為16x+16y：第n格的“特征整式"為4nx+My,

故答案為：12x+9y,16x+16y,4nx+n2y；

(2),第m格的"特征整式"是4mx+m2y,

(4mx+m2y)+(-24x+2y-5)

=4mx+m2y-24x+2y-5

=(4m-24)x+(m2+2)y-5,

???第m格的"特征整式"與整式?24x+2y-5的和不含有x項，

.,?4m-24=0,得m=6,

??.此"特征整式”是24x+36y.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減、整式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

28.定義：已知M,N都是關(guān)于x的整式，若M-N=k(Q0,且及不含字母)，則稱M是，的“平移

式“，k叫做〃關(guān)于N的"平移值例如：M=2/+x+3，N=2/+x-l,

；W-/V=(2X2+X+3)-(2X2+X-1)=4>0,則稱〃是N的“平移式〃，M關(guān)于N的“平移值”為4.

(1)若A/=—g/+5x—3,N=—g『+5x—l,則"是N的"平移式"嗎？為什么？

⑵對于常數(shù)加，〃，有.歷=4/+必+〃?2,N=4/_6X+〃，若M是N的“平移式〃，且“平移值”為3,求m,

〃的值；

⑶若力，B,AZ都是關(guān)于x的整式，且力=一;一鼻，B+帆x+1.M=5/+(〃?-2)工+,〃?，且

N=2A-B,試問：〃是N的“平移式〃嗎？如果是，求出〃?，〃的值及“平移值〃；如果不是，請說明理由.

【答案】⑴M不是N的“平移式〃，理由見解析

(2)m=-6,〃=33；

(3)當(dāng)初=2,〃=-2時，?是N的"平移式"，"平移值”是5

【分析】本題考查了新定義，整式的加減運(yùn)算，熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義，仿照示例，可判斷M不是N的“平移式〃；

(2)根據(jù)題意，得到〃-N=3,代入N的代數(shù)式，化簡可得到結(jié)果；

(3)先表示出N,判斷當(dāng)M-N=A(A>0)的條件，從而得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：M小是N的“平移式”，理由如下：

22

VM=--X+5X-3,^=-1X+5X-1,

22

...M-^=f--x2+5x-3l-f--r+5x-l>|

22

=-2,

v-2<0,

???〃不是N的"平移式"；

(2)解：???〃是N的"平移式"，且〃平移值〃為3,

:.M-N=3,

,?*M=4x2+mx+m2，N=4x2-6x+n,

+wx+w2)-(4x2-6x+〃)=3,

?*-4A2+HLK+rn2—4A2+6A—ri=3>

+6)x+("J-〃)=3,

???/〃+6=0,〃/一〃=3,

???m=-6,〃=33：

[],I2

(3)解：A=———nx——,B=6x2+mx+1>

22

.-.N=2A-B=\\x2-Z?A--^-(6X-7MX+1)=5x+

.,、4

M=+(zin-2)x+—m,

"..4"]「7

：.M—N=5.M+(〃?-2)x+—〃？-5.r2-(/?+—

33

當(dāng)|'?|=2,則陽=2或-2,

Q7

①若6=2,〃=一2時，M—5x2+—,N-5x'--,

.?.M—N=5>0,則M是N的“平移式"，"平移值”是5：

o7

②'：m=-2,〃=6時，M-5x2-4x--,N-5x2-^x--

...財-N=-；<0,則“不是N的"平移式”，

綜上，當(dāng)加=2,〃=-2時，M是N的"平移式"，"平移值〃是5.

題型九：方格問題

29.3x3的方格中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和

格〃.如圖的”等和格〃中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等于15.

（1）圖1是顯示部分代數(shù)式的“等和格”，可得a=（含b的代數(shù)式表示）;

（2）圖2是顯示部分代數(shù)式的“等和格〃，可得a=,b=;

【答案】(l)-b;(2)：a=-2,b=2;(3)9.

【分析】(1)由每行、每列的3個代數(shù)式的和相等，列出關(guān)系式，即可確定d與b的關(guān)系;

(2)由第一行與第三列、對角線上與第二行的和相等，可得a與b的值；

(3)根據(jù)“等和格”的定義列方程，然后整理代入，即可求出b的值.

【詳解】解：(1)由題意得：-2a+a=3b+2a,即a=-b；

故答案為-b：

(2)由題意得:

卜2。+。=36+2。

I—2a+2〃二。一8十3人

故答案為a=-2,b=2

(3)由題意得：2a2+a+a-2a2=a2+2a+a+3,即：a2+a=-3

2優(yōu)+。+。+3=6+3/+24+/+2。，可得：

b=-2a~-2^+3；^=-2(a2+?)+3=2x(-3)+3=9

故答案為9.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是充分利用"每行，每列及對角線上的3個數(shù)

(或代數(shù)式)的和都相等”列出等式.

30.閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的趣味數(shù)學(xué)研究.請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

趣味數(shù)學(xué)研究如圖，用一個表格中的％表示〃的次數(shù)，y表示力的次數(shù)，例如：表格中的

y

4:a'b=ab；A2:a'b'=a、b'.

①由表格可知，4：。%'=；A：axb>'=.

②由①中的規(guī)律可知，4的次數(shù)為.

⑵若圖中的整式★為優(yōu)+“+。，其中。，b,c為3個不同的正整數(shù)，且整式的值為70,貝lJa+6+e的最大

值為.

【答案】⑴①。皆；a&：(2)2n

⑵68

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，代數(shù)式的值，

(1)①根據(jù)規(guī)律，即可求解；

②根據(jù)規(guī)律可得4：再求次數(shù)，即可求解.

(2)再根據(jù)題意和★所處表格位置可得/+從+C=70,由。，b,。為3個不同的正整數(shù)，可得a,b的值,

從而得出。的值，然后代入a+6+c中，即可得最大值.

【詳解】(1)解：①由表格可知，4：/〃=/〃：4：/6m

故答案為：//；04b1

②由①中的規(guī)律可知，Wb"的次數(shù)為〃+〃=2〃，

故答案為：2n.

(2)解：根據(jù)題意和★所處表格位置，可得整式★:"+勿+c中的X=3/=2,

將x=3,J=2代入a*+6,+°中，即為a，+>+c

?.?為其中4,h,C為3個不同的正整數(shù)，

.?.求a+b+c的最大值時，。3力2最小即可，

：.a=1,6=2,

又?.整式的值為70,即/+〃+c=70,

???13+22+C=70，

解得：c=65,

"+的最大值為1+2+65=6g,

故答案為：68.

題型十：整式加減的實際應(yīng)用

31.A.8兩處糧庫分別有水稻100,和400/,全部運(yùn)送到C、O兩米廠加工，而C、。米廠分別能加工水

稻150/和350/；已知從力、4兩處米廠的運(yùn)價如下表：

到C廠運(yùn)價到。廠運(yùn)價

4糧庫每噸15元每噸10元

4糧庫每噸12元每噸12元

(1)若從8糧庫運(yùn)到。地的水稻為x(50<x<150)噸，則從3糧庫運(yùn)到。地的水稻為」；從力糧庫將水

稻運(yùn)往。地的運(yùn)輸費(fèi)用為一元：

(2)用含戈的式子表示出總運(yùn)輸費(fèi).(要求：列出算式，并化簡)

(3)當(dāng)尸100時，求總運(yùn)輸費(fèi)用.

【答案】(1)(400-x)、(10X-500)：(2)總運(yùn)費(fèi)為(6550-5X)元；(3)6050元.

【分析】(1)由B糧庫有水稻40ct全部運(yùn)出，可得從4糧庫運(yùn)到。地的水稻=400t-從8糧庫運(yùn)到C地的水

稻，則第一個空可解；先用x表示出從/糧庫將水稻運(yùn)往。地的噸數(shù)，再