5/5專題01集合與常用邏輯用語（11知識&17題型&5易錯&4方法清單）【清單01】元素與集合的關系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關系為：.【清單02】集合的表示方法（1）自然語言法：用文字敘述的形式描述集合的方法叫做自然語言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時注意：（3）描述法定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖?！厩鍐?3】子集1子集：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質：①任何一個集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單04】真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單05】并集一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質：,,,,.高頻性質：若.圖形語言【清單06】交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質：,,,,.高頻性質：若.圖形語言【清單07】全集與補集全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補集：設是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補集，記作，即.補集的性質：,,.【清單08】德摩根律(1)(2)【清單09】容斥原理一般地，對任意兩個有限集,進一步的：【清單10】充分條件與必要條件（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.【清單11】全稱量詞命題與存在量詞命題1全稱量詞命題及其否定（高頻考點）①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學語言：.②全稱量詞命題的否定：.2存在量詞命題及其否定（高頻考點）①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學語言：.②存在量詞命題的否定：.【題型一】元素與集合的關系【例1】（24-25高一上·湖南·期中）若集合，則（

）A． B．C． D．【變式1-1】（23-24高一上·天津河北·期中）下列關系中正確的是（

）A． B．C． D．【題型二】集合元素的互異性應用【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，則．【變式2-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實數(shù).【題型三】列舉法與描述法【例3】（24-25高一上·湖南邵陽·期中）若，則集合可用列舉法表示為（

）A． B．C． D．【變式3-1】（23-24高二下·浙江寧波·期中）用列舉法表示集合的結果為.【題型四】根據(jù)集合元素的個數(shù)求參數(shù)【例4】（24-25高一上·四川達州·期中）如果集合中只有一個元素，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【變式4-1】（多選）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一個元素，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【題型五】子集、真子集的個數(shù)【例5】（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-1】（24-25高一上·河北邯鄲·期中）定義非空數(shù)集的“和睦數(shù)”如下：將中的元素按照遞減的次序排列，然后將第一個元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結果.例如，集合的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是1.對于集合，其所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（

）A．82 B．74 C．12 D．70【題型六】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)【例6】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍.【變式6-1】（24-25高二下·天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型七】集合的運算【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高一下·浙江紹興·期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【題型八】根據(jù)集合交集運算結果求參數(shù)【例8】（24-25高一上·天津·期中）已知集合，.(1)當時，求和；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【變式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，．(1)當時，求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【題型九】根據(jù)集合的并集結果求參數(shù)【例9】（24-25高一上·廣東梅州·期中）已知集合，集合.(1)求，，；(2)設集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【變式9-1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知集合，．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【題型十】根據(jù)集合的補集結果求參數(shù)【例10】（23-24高一上·四川樂山·期中）記全集，已知集合，．(1)若，求；(2)若，求的取值范圍．【變式10-1】（23-24高二下·江西南昌·期中）設集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【題型十一】圖的應用【例11】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33屆夏季奧林匹克運動會在巴黎法蘭西體育場落下帷幕.中國體育代表團在巴黎奧運會獲得40金、27銀、24銅共91枚獎牌，取得了我國1984年全面參加夏季奧運會以來境外參賽歷史最好成績.小明統(tǒng)計了班級60名同學對游泳、跳水、乒乓球這三類體育項目的喜歡情況，其中有20名同學同時喜歡這三類體育項目，18名同學不喜歡乒乓球，20名同學不喜歡跳水，16名同學不喜歡游泳，且每人至少喜歡一類體育項目，則至少喜歡兩類體育項目的同學的人數(shù)為（

）A．26 B．46 C．28 D．48【變式11-1】（24-25高一上·廣東廣州·期中）廣州奧林匹克中學第5屆（總第35屆）學校運動會于2024年11月7日至8日在車陂路校區(qū)和智谷校區(qū)同時舉行，本屆校運會，初中新增射擊比賽項目，初一某班共有28名學生參加比賽，其中有15人參加田賽比賽，有14人參加徑賽比賽，有8人參加射擊比賽，同時參加田賽和射擊比賽的有3人，同時參加田賽和徑賽比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，只參加一項比賽的有（

）人.A．3 B．9 C．19 D．14【題型十二】判斷充分性與必要性【例12】（23-24高一上·北京·期中）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式12-1】（24-25高一上·四川眉山·期中）若，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【題型十三】根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)【例13】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知集合，(1)寫出的所有子集；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【變式13-1】（24-25高一上·江蘇宿遷·期中）設為實數(shù)，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【題型十四】判斷全稱（存在）量詞命題的真假【例14】（多選）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命題中是真命題的有（

）A．B．C．“”是“”的充分不必要條件D．“四邊形為菱形”是“四邊形為正方形”的充分不必要條件【變式14-1】（多選）（24-25高一上·山東聊城·期中）下列說法中錯誤的有（

）A．命題，，則命題的否定是，B．“”是“”的必要條件C．命題“，”是真命題D．“”是“函數(shù)在上單調遞增”的必要不充分條件【題型十五】根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)【例15】（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一個解”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．無法確定【變式15-1】（23-24高一上·江西·期中）命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【題型十六】集合新定義題（小題）【例16】（24-25高一上·廣東·期中）已知，對于，且，則稱為的“孤立元”．給定集合，則的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．7 C．13 D．15【變式16-1】（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）定義：已知集合滿足，，都有，則稱集合對于這種*運算是封閉的．下列論述錯誤的是（

）A．若，則對于加法“＋”封閉 B．若，則對于減法“－”封閉C．若，則對于乘法“×”封閉 D．若，則對于除法“÷”封閉【題型十七】集合新定義題（解答題）【例17】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是實數(shù)集的非空子集，若，則稱集合為閉集合.(1)若集合均是閉集合.求證：是閉集合；(2)若集合均是閉集合.集合一定是閉集合嗎？如果是請證明，如果不是請舉出反例；(3)若均是閉集合，且都是的真子集.求證：存在常數(shù)，但.【變式17-1】（24-25高三上·浙江·開學考試）對于一個四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個不相交的二元子集和，滿足，則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”．(1)寫出集合的一個“有趣的”四元子集：(2)證明：集合不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：(3)證明：對任意正整數(shù)，集合不能劃分成個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【題型一】容易忽視集合元素互異性【例1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，則等于（

）A．或 B．或C． D．【變式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，則的值為（

）A．0 B．1C． D．1或【變式1-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，則實數(shù)的值為.【題型二】子集關系容易忽略空集【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.(1)若，求，；(2)若，求的取值范圍.【變式2-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知為常數(shù)，集合，集合，且，則的所有取值構成的集合元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（24-25高一上·廣東江門·期中）已知集合，.(1)求，；(2)設集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【題型三】忽視了集合元素代表元素【例3】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列舉法表示．【變式3-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，則集合的真子集的個數(shù)是.【變式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，則集合可以用列舉法表示為.【題型四】利用數(shù)軸求參數(shù)時忽略了端點值【例4】（25-26高一上·全國·單元測試）已知集合，，．(1)若，求，；(2)請從①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，求實數(shù)的取值范圍．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【變式4-1】（23-24高一上·安徽蕪湖·期末）已知集合.(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【變式4-2】（24-25高一上·海南·期中）已知集合，.(1)若命題是命題的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題，是假命題，求實數(shù)的取值范圍.【題型五】混淆了充分性與必要性“是”自正序與“的”字倒序【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）命題，，若的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2025·河南·模擬預測）已知集合，則使得“且”成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（多選）（24-25高一上·廣東中山·階段練習）的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【題型一】圖法與容斥原理一般地，對任意兩個有限集,進一步的：【例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同學讀過《牡丹亭》，有8名同學讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學有4名，則該班學生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【變式1—1】（24-25高一上·重慶·期中）求精中學為豐富學生們的課