第十章概率全章總結(jié)(精講）一、知識脈絡(luò)二、重點題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨立事件2、古典概型3、相互獨立事件概率的計算4、概率的綜合應(yīng)用5、高考（模擬）題感悟一、知識脈絡(luò)二、重點題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨立事件1．某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．事件A與事件相互獨立C．與和為 D．事件A與事件B互斥2．設(shè)，是兩個事件，以下說法正確的是（

）A．若，則事件與事件對立B．若，則事件與事件互斥C．若，則事件與事件互斥D．若，則事件與事件相互獨立3．下列說法中正確的是（

）A．事件A、B至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B．事件A、B同時發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對立事件，對立事件也是互斥事件D．互斥事件不一定是對立事件，而對立事件一定是互斥事件4．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，甲表示事件“第一枚骰子擲出的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二枚骰子擲出的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是8”，丁表示事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是7”，則下列說法正確的有（

）①甲與乙相互獨立

②乙與丁相互獨立③乙與丙不互斥但相互獨立

④甲與丙互斥但不相互獨立A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（多選）對于一個事件E，用表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（

）A．A與D不互斥 B．A與B互為對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立6．（多選）盒子里有形狀大小都相同的4個球，其中2個紅球、2個白球，從中先后不放回地任取2個球，每次取1個．設(shè)“兩個球顏色相同”為事件A，“兩個球顏色不同”為事件B，“第1次取出的是紅球”為事件C，“第2次取出的是紅球”為事件D．則（

）A．A與B互為對立事件 B．A與C相互獨立C．C與D互斥 D．B與C相互獨立7．（多選）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則（

）A．與互斥 B．與互斥 C．與獨立 D．與獨立8．有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字為2”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字為3”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為7”，則（

）A．丙與丁相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立9．投擲一顆骰子一次，定義三事件如下：，，．試判斷：(1)、是否相互獨立？(2)、是否相互獨立？2、古典概型1．若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)分別為，，則“在函數(shù)的圖象與軸有交點的條件下，滿足函數(shù)為偶函數(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．2．從3，4，5，6四個數(shù)中任取三個數(shù)作為三角形的三邊長，則構(gòu)成的三角形是銳角三角形的概率是（

）A． B． C． D．3．袋中裝有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6從中一次性隨機取出兩個球，設(shè)兩球標(biāo)號為和，并記，．將球放回袋中，重復(fù)上述操作，得到和．設(shè)平面向量，，則與能構(gòu)成基底的概率為______．4．老師要從3名男生和4名女生（含小紅同學(xué)）中選擇3位同學(xué)參加比賽，那么小紅同學(xué)被選中參加比賽的概率為_______.5．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物資，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出直方圖中m的值，并利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；(2)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，試求這2個口門罩中恰好有1個口罩為一等品的概率．6．從某臺機器一天產(chǎn)出的零件中，隨機抽取10件作為樣本，測得其質(zhì)量如下（單位：克）：，記樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求；(2)將質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品.①估計這臺機器生產(chǎn)的零件的一等品率；②從樣本中的一等品中隨機抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的概率P.7．為了加強對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（滿分分），并對整個高三年級的學(xué)生進(jìn)行了測試．現(xiàn)從這些學(xué)生的成績中隨機抽取了名學(xué)生的成績（單位：分），按照，，…，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假設(shè)每名學(xué)生的成績均不低于50分）．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計所抽取的名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)用樣本估計總體，若高三年級共有名學(xué)生，試估計高三年級這次測試成績不低于分的人數(shù)；(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于分的學(xué)生中抽取人，再從這人中任意抽取人參加這次考試的質(zhì)量分析會，試求成績在的學(xué)生恰有人被抽到的概率．8．不透明的盒子中有標(biāo)號為1、2、3、4的4個大小與質(zhì)地相同的球.(1)甲隨機摸出一個球，放回后乙再隨機摸出一個球，求兩球編號均為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：甲先隨機摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為.如果，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.3、相互獨立事件概率的計算1．某市地鐵1號線從A站到G站共有6個站點，甲、乙二人同時從A站上車，準(zhǔn)備在B站、D站和G站中的某個站點下車，若他們在這3個站點中的某個站點下車是等可能的，則甲、乙二人在不同站點下車的概率為（

）A． B． C． D．2．甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是，現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為（

）A． B． C． D．3．某軍事訓(xùn)練模擬軟件設(shè)定敵機的耐久度為100%，當(dāng)耐久度降到0%及以下，就判定敵機被擊落．對空導(dǎo)彈的威力描述如下：命中機頭扣除敵機100%耐久度，命中其他部位扣除敵機60%耐久度．假設(shè)訓(xùn)練者使用對空導(dǎo)彈攻擊敵人，其命中非機頭部位的命中率為50%，命中機頭部位的命中率為25%，未命中的概率為25%，則訓(xùn)練者恰能在發(fā)出第二發(fā)對空導(dǎo)彈之后成功擊落敵機的概率為（

）A． B． C． D．4．甲，乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，則謎題沒被破解的概率為（

）A． B． C． D．15．對于獨立事件A、B，若，，則______.6．甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率是______.7．已知事件與事件相互獨立，如果，，那么______，______.4、概率的綜合應(yīng)用1．進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經(jīng)濟?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識,某學(xué)校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為，乙同學(xué)答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對的概率為.(1)求的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時答對的概率；(2)試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率.2．某中學(xué)為了解高一年級數(shù)學(xué)文化知識競賽的得分情況，從參賽的1000名學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生的成績進(jìn)行分析．經(jīng)統(tǒng)計，這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分和95分之間，將數(shù)據(jù)按照如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組和第八組人數(shù)相同，第七組的人數(shù)為3人．(1)求第六組的頻率；若比賽成績由高到低的前15%為優(yōu)秀等級，試估計該校參賽的高一年級1000名學(xué)生的成績中優(yōu)秀等級的最低分?jǐn)?shù)（精確到0.1）；(2)若從樣本中成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，記他們的成績分別為x，y，從下面兩個條件中選一個，求事件E的概率．①事件E：；②事件E：．注：如果①②都做，只按第①個計分．3．我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計表（下表）：分?jǐn)?shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)(1)利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖）；(2)從數(shù)學(xué)成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個分?jǐn)?shù)段的概率.4．某公司為了了解A，B兩個地區(qū)用戶對其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)隨機抽取400名用戶，從B地區(qū)隨機抽取100名用戶，通過問卷的形式對公司產(chǎn)品評分．該公司將收集的數(shù)據(jù)按照，，，分組，繪制成評分分布表如下：分組A地區(qū)B地區(qū)403012020160408010合計400100(1)采取按組分層隨機抽樣的方法，從A地區(qū)抽取的400名用戶中抽取10名用戶參加座談活動．求參加座談的用戶中，對公司產(chǎn)品的評分不低于60分的用戶有多少名？(2)從（1）中參加座談的且評分不低于60分的用戶中隨機選取2名用戶，求這2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率；(3)若A地區(qū)用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，B地區(qū)用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，兩個地區(qū)的所有用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，試比較和的大小，并說明理由．5．2014年12月28日開始，北京市公共汽車和地鐵按照里程分段計價.具體如表所示.(不考慮公交卡折扣情況).已知在北京地鐵四號線上，任意一站到陶然亭站的票價不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示．乘公共汽車方案10公里(含)內(nèi)2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里(含).乘坐地鐵方案(不含機場線)6公里(含)內(nèi)3元；6公里至12公里(含)4元；12公里至22公里(含)5元；22公里至32公里(含)6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里(含).(1)如果從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；(2)已知選出的120人中有6名學(xué)生，且這6人乘坐地鐵的票價情形恰好與按票價從這120人中分層抽樣所選的結(jié)果相同，現(xiàn)從這6人中隨機選出2人，求這2人的票價和恰好為8元的概率；(3)小李乘坐地鐵從A地到陶然亭的票價是5元，返程時，小李乘坐某路公共汽車所花交通費也是5元，假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共汽車的路程均為S公里，試寫出S的取值范圍．(只需寫出結(jié)論)6．某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取200名，獲得了他們一周參與主題教育活動時間（單位：）的頻率分布直方圖如圖所示，(1)以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動時間的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.(2)如果計劃對參與主題教育活動時間在內(nèi)的黨員干部給予獎勵，且在，內(nèi)的分別評為二等獎和一等獎，那么按照分層抽樣的方法從獲得一?二等獎的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務(wù)宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率.（需寫出該事件的樣本空間）7．在①高一或高二學(xué)生的概率為；②高二或高三學(xué)生的概率為；③高三學(xué)生的概率為這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.已知某高中的高一有學(xué)生600人，高二有學(xué)生500人，高三有學(xué)生a人，若從所有學(xué)生中隨機抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學(xué)生人數(shù)的比例情況，從高一和高三的所有學(xué)生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人是高三學(xué)生的概率.5、高考（模擬）題感悟1．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大2．分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的