.2二次函數(shù)與一元二次方程【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系判別式b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)情況一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況b2-4ac>0拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于（x1，0），（x2，0）兩點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2b2-4ac=0拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（，0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=b2-4ac<0拋物線y=ax2+bx+c與x軸無公共點(diǎn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解【題型探究】題型一、拋物線與x軸或y軸的交點(diǎn)【例1】．（24-25九年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期中）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．令，解方程求出x的值，即可得得答案．【詳解】解：令，則，解得，，∴二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是，，故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州）拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】，【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵；拋物線與y軸交點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)為0，把代入解析式可求得y的值，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與x軸交點(diǎn)滿足縱坐標(biāo)為0，把代入解析式可求得x的值，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，由解得，，拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，；故答案為：；，．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，正確記憶修改知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．先求出拋物線對(duì)稱軸為：，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．題型二、比較函數(shù)值的大小或代數(shù)的值【例2】．（24-25九年級(jí)上·廣東陽江·期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則代數(shù)式的值為（

）A．24 B．6 C．31 D．19【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知式子的值求代數(shù)式的值，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意可知，，整理為，然后代入求值即可．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25九年級(jí)上·山西陽泉·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，則的由大到小關(guān)系是．【答案】【分析】本題考查了比較二次函數(shù)函數(shù)值的大?。_計(jì)算是解題的關(guān)鍵．將分別代入得，，，，由，可得，然后作答即可．【詳解】解：將分別代入得，，，，∵，∴，∴，故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，拋物線與軸正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)，與軸平行的直線交拋物線于、，交軸于點(diǎn)．①若拋物線經(jīng)過，則．②若，則．【答案】【分析】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用；①拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，拋物線過點(diǎn)，則，則故，即可求解；②設(shè)、，則，且，即可求解．【詳解】解：①拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，拋物線過點(diǎn)，則，故，解得舍去正值，故，故答案為；②拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，設(shè)，、點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則：、，當(dāng)時(shí)，，則：，，，解得：，即，故答案為：．題型三、圖像法確定一元二次方程根的近似解【例3】．．（2025九年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，，，為常數(shù)）的與的部分對(duì)應(yīng)值如表：判斷方程的一個(gè)解的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圖象法求一元二次方程的近似根，解題關(guān)鍵是正確理解二次函數(shù)圖象和一元二次方程關(guān)系．仔細(xì)看表，可發(fā)現(xiàn)的值和最接近，再看對(duì)應(yīng)的的值即可得解．【詳解】解：由表可以看出，當(dāng)取與之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，，即這個(gè)數(shù)是的一個(gè)根，的一個(gè)解的取值范圍為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（24-25八年級(jí)下·山東淄博·期末）如表是代數(shù)式的部分值的情況．1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，則關(guān)于方程的一個(gè)正根的判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查利用二次函數(shù)的圖象估算一元二次方程的近似解，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的左右兩邊的函數(shù)值的符號(hào)為一正一負(fù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由表格可知：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，存在一個(gè)x的值使，∴關(guān)于x的方程的一個(gè)解x的范圍是；故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（2025·安徽池州·二模）已知二次函數(shù)中部分和的值如下表所示：則方程的一個(gè)較大的根的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象法確定一元二次方程的近似根等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．先求得對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)得的較小的根的范圍為，最后根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可解答．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可得：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴的較小的根的范圍為，∴的較大的根的范圍是．故選：C．題型四、圖解法解一元二次不等式【例4】．．（2025九年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本題考查利用函數(shù)圖象解一元二次不等式及根據(jù)對(duì)稱性求交點(diǎn)，根據(jù)拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，可得直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，根據(jù)圖象即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，∴直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，∴的解集是，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（24-25九年級(jí)上·貴州黔東南·期中）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題；求時(shí)，的取值范圍，就是二次函數(shù)的圖象在軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)的的范圍．【詳解】根據(jù)圖象可得，，則的取值范圍是，故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（2024·四川成都·三模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的應(yīng)用；能夠根據(jù)二次函數(shù)圖象特點(diǎn)求出函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．由圖象判斷，，對(duì)稱軸是，再判斷出，與x軸一個(gè)交點(diǎn)是，則另一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：由圖象得：，，對(duì)稱軸是，∴，∴，故A正確，不符合題意；∵對(duì)稱軸是，函數(shù)圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)是，∴另一個(gè)交點(diǎn)，∴不等式的解集是，故B錯(cuò)誤，符合題意；∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，故C正確，不符合題意；∵函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和，∴方程的解是，，故D正確，不符合題意；故選：B．題型五、由不等式求自變量或函數(shù)值的范圍【例5】．．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，即可得．【詳解】解：根據(jù)圖象得，二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，則當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（24-25九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如果都在二次函數(shù)的圖象上，且，則m的取值范圍（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，由關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得，且在對(duì)稱軸左側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)；確定拋物線與軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合已知確定出；再分類討論：都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，分別列出不等式進(jìn)行求解即可，存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，∴，且在對(duì)稱軸左側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)，∵拋物線與軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱軸為直線，∴此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∵且，∴，解得：，當(dāng)都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，∵，∴，解得：，∴，當(dāng)分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，∵∴到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，∴，解得：，∴，綜上所述，或，故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（2025·四川瀘州·二模）已知二次函數(shù)的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，當(dāng)且該函數(shù)圖象與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足：，時(shí)，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用不等式組求字母取值范圍等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)各系數(shù)與圖象之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．中根據(jù)開口方向及，的范圍可判斷出對(duì)應(yīng)y的取值，從而建立不等式組求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即二次函數(shù)開口向上，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴，解得：，∴．故選：B．題型六、由二次函數(shù)圖像確定對(duì)于一元二次方程的根【例6】．．（24-25九年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，其對(duì)稱軸為直線．則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍正確的是（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，由圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，可得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再由二次函數(shù)圖象性質(zhì)得出函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍．【詳解】解：∵圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，且，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（24-25九年級(jí)上·貴州遵義·期中）二次函數(shù)（）的部分圖象如圖，圖象過點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則方程沒有實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了拋物線的對(duì)稱性，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)關(guān)系，拋物線的增減性，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸的兩種表示方法，拋物線的增減性，拋物線與一元二次方程的關(guān)系等解答即可．【詳解】解：根據(jù)圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，解得，故圖象過點(diǎn)，故拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，即，故①正確，∵二次函數(shù)開口向下，∴，∵對(duì)稱軸在x軸的正半軸上，∴,∴，，∴,故②正確；根據(jù)拋物線的性質(zhì)，得時(shí)，，∴，∴,故③錯(cuò)誤；由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，故該二次函數(shù)的最大值為4，即直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，由，故直線與拋物線無交點(diǎn)，即方程沒有實(shí)數(shù)根．故④正確；故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一元二次方程的其中一個(gè)解的范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似根，先估計(jì)出對(duì)稱軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱軸，可以估算出左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】解：依題意得二次函數(shù)的拋物線開口向下，圖象的對(duì)稱軸為，而對(duì)稱軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)在0與1之間，即又∵對(duì)稱軸為，則拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在與之間，即一元二次方程的其中一個(gè)解的范圍是，故選：B．題型七：截線長(zhǎng)問題【例7】．．（24-25九年級(jí)下·貴州黔東南）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，則關(guān)于x的方程的解為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為所對(duì)應(yīng)的方程的根是關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，關(guān)于x的方程的解為，，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（22-23九年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，拋物線（其中a為常數(shù)）的對(duì)稱軸為直線，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，則的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】本題考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)對(duì)稱軸求得的值，解方程，即可求解．【詳解】解：∵拋物線（其中a為常數(shù)）的對(duì)稱軸為直線，∴解得：，∴拋物線解析式為：，令，即，解得：，∴,∴，∴,故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（2023·四川南充·二模）如圖，平移拋物線，使頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于，D兩點(diǎn)．若，，四邊形的面積為，則．【答案】【分析】根據(jù)梯形面積求出，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式之間關(guān)系化簡(jiǎn)即可得到答案；【詳解】四邊形是梯形，下底，高為3，由，得，設(shè)，，則，，∵，∴．∴．∴①，又頂點(diǎn)縱坐標(biāo)②，①÷②，得，∴，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)與幾何圖形應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)．題型八、二次函數(shù)與一元二次方程的綜合【例8】．．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)C，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，那么線段的長(zhǎng)是．（請(qǐng)用含字母m的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可．【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，所以拋物線對(duì)稱軸所在直線為，交x軸于點(diǎn)C，所以B，C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，因?yàn)辄c(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的兩點(diǎn)間距離的求法，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性．23．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若，且二次函數(shù)象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，①求證：二次函數(shù)的圖象和軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②若，點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上，當(dāng)時(shí)，的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)①見解析；②2【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）先利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，再利用性質(zhì)可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①利用判別式證明即可；②先求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分和兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，且二次函數(shù)象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①證明：∵，∴，∴，∵，∴二次函數(shù)的圖象和軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②∵點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上，∴，∵，∴，則，∵當(dāng)時(shí)，的最小值是，∴當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，n取最小值，∴，整理，得，解得，（不符合題意，舍去），當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，n有最小值，∴，解得，不符合題意，舍去；綜上，b的值為2．【跟蹤訓(xùn)練1】．．（25-26九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊）．(1)求拋物線的解析式；(2)若、是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，均有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解題即可；（2）先求出其開口方向以及對(duì)稱軸，從而知道時(shí)，其函數(shù)值與時(shí)相等，從而推出，從而解得答案．【詳解】（1）解：不妨設(shè)拋物線為：，代入點(diǎn)，那么有，解得，；（2）解：，對(duì)稱軸為，開口向下，與關(guān)于對(duì)稱，時(shí)，其函數(shù)值與時(shí)相等，當(dāng)，時(shí)，均有，，．【跟蹤訓(xùn)練2】．．（25-26九年級(jí)上·江蘇蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與拋物線交于坐標(biāo)軸上的，兩點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)．(1)求，的值；(2)將點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)．若拋物線與線段有公共點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）分別把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線，得到關(guān)于，的二元一次方程組，解方程組即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，表示出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求出對(duì)應(yīng)m的值，再根據(jù)拋物線與線段有公共點(diǎn)即可求出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【詳解】（1）由題意得：對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，分別把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入拋物線，得，解得，，；（2）由（1）可知拋物線解析式為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，解得：，，拋物線與線段有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為或．【高分演練】一、單選題1．（25-26九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）二次函數(shù)（，為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)，，則關(guān)于x的一元二次方程的解為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為所對(duì)應(yīng)的方程的根是關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．【詳解】解：∵二次函數(shù)（，為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)，，∴關(guān)于x的方程的解為，，故選：C．2．（25-26九年級(jí)上·陜西安康·階段練習(xí)）二次函數(shù)（為常數(shù)，且）與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是、頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列關(guān)于二次函數(shù)的說法中正確的是（

）A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是8【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，則A錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得二次函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則B錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線和可得當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則C錯(cuò)誤；先設(shè)二次函數(shù)的解析式為，再將點(diǎn)代入求出，則可得二次函數(shù)的解析式，然后將代入二次函數(shù)的解析式求出的值，由此即可得D正確．【詳解】解：∵二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵這個(gè)二次函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，∴二次函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，且，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，將代入得：，∴二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是8，則選項(xiàng)D正確；故選：D．3．（25-26九年級(jí)上·浙江衢州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象在x軸上方，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】本題主要考查函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的特點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象在x軸上方，得出函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)且拋物線開口向上，即可得出方程的判別式，，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象在x軸上方，∴拋物線的開口向上，拋物線與x軸無交點(diǎn)，∴，解得：，故選：A．4．（25-26九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．圖象的對(duì)稱軸是直線【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)拋物線與y軸交點(diǎn)的位置、開口方向、對(duì)稱軸位置即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可判斷B選項(xiàng)；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸的上方可知，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，即可得出對(duì)稱軸為直線，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：A、由拋物線開口向上，可知，二次函數(shù)的圖象與軸交于正半軸，則，對(duì)稱軸為直線，，所以，所以，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B、二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C、由圖可知，圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在軸上方，即，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D、二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則對(duì)稱軸為直線，故D正確，符合題意；故選：D．5．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州·開學(xué)考試）二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為，則方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，得到二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為，∴二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為，∴方程的解是，故選：D．6．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸的兩種表示方法，拋物線的增減性等解答即可．本題考查了拋物線的對(duì)稱性，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)關(guān)系，拋物線的增減性，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向下，∴，∵拋物線的圖象與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，∴；∵對(duì)稱軸為直線，∴,∴,∴,故①正確；根據(jù)拋物線的圖象得，直線與拋物線的交點(diǎn)在第一象限，∴，∴,故②正確；設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，解得，故的兩個(gè)根分別是，故多項(xiàng)式可因式分解為，故③不正確；根據(jù)題意，得，即，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，拋物線有最大值，且為，故當(dāng)時(shí)，在拋物線頂點(diǎn)的上方，故關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．故④正確；故選：C．7．（24-25九年級(jí)上·甘肅武威·期中）二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如表：以下結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C．與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和 D．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為【答案】C【分析】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．由表格可知，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，則可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；由表格可知，當(dāng)時(shí)，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；由表格可知，當(dāng)時(shí)，，則拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可知，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，則可得當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為．【詳解】解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故A選項(xiàng)正確，不符合題意；由表格可知，當(dāng)時(shí)，，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故B選項(xiàng)正確，不符合題意；由表格可知，當(dāng)時(shí)，，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故C選項(xiàng)不正確，符合題意；拋物線的對(duì)稱軸為直線，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，由表格可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為．故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．8．（25-26九年級(jí)上·廣東·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向，頂點(diǎn)的位置、與軸交點(diǎn)的位置可對(duì)的符號(hào)進(jìn)行判斷，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及與x軸的交點(diǎn)可對(duì)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的位置進(jìn)行判定，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可對(duì)結(jié)論，結(jié)論進(jìn)行判斷，據(jù)此可得出此題的答案．【詳解】解：二次函數(shù)圖象的開口向上，，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第三象限，，，，二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，，故結(jié)論正確，符合題意；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸下方的拋物線上，，故結(jié)論正確，符合題意；二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，消去得：，故結(jié)論正確，符合題意；二次函數(shù)圖象的開口向上，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象的在軸的下方，，即：，故結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述：結(jié)論正確，故選：．二、填空題9（25-26九年級(jí)上·浙江衢州·階段練習(xí)）若拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，則一元二次方程的根為．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：即拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，據(jù)此可由拋物線和直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)得出方程的根．【詳解】解：∵一元二次方程的解可以看作拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，把①代入②得：，即：，又∵拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，∴一元二次方程的根為．10．（24-25九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知方程的兩根為2和，則拋物線的對(duì)稱軸是直線．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，據(jù)此可得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，再根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：∵方程的兩根為2和，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，故答案為：．36．（25-26九年級(jí)上·福建福州·開學(xué)考試）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則時(shí)，該函數(shù)的自變量x的取值范圍是【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．拋物線對(duì)稱軸為直線，由圖象可知二次函數(shù)過和，結(jié)合圖像數(shù)形結(jié)合即可解決題目．【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線由圖象知，二次函數(shù)過和，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，或．故答案為：或．11．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，其中正確的為．【答案】①【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵；根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸，拋物線與y軸的交點(diǎn)可以判斷①，②，根據(jù)作差法即可判斷③，函數(shù)圖象在x軸的下方，結(jié)合圖象即可判斷④．【詳解】解：由圖可知，該拋物線圖象開口向下，且對(duì)稱軸為直線，，，，拋物線交y軸于正半軸，，，故①正確，符合題意；對(duì)稱軸為直線，，，，故②不正確，不符合題意；，，，，故③不正確，不符合題意；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或，故④不正確，不符合題意；綜上所述，正確的為①，故答案為：①．12．（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④其中正確結(jié)論的本數(shù)為（填序號(hào)）【答案】①②③④【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負(fù)半軸，，根據(jù)對(duì)稱軸為直線可得，由此即可判斷①；求出二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷②；根據(jù)時(shí)，，即可判斷④；利用圖象法即可判斷③．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負(fù)半軸，，∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，∴，故①正確；∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；時(shí)，，，∴，即，故④正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故③正確；綜上所述，其中正確的結(jié)論有①②③④，故答案為：①②③④．三、解答題13．（25-26九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求該函數(shù)的解析式．(2)利用圖象直接寫出，當(dāng)取什么值時(shí)，函數(shù)值大于：______．【答案】(1)；(2)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問題、利用二次函數(shù)圖象解不等式等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）令，求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，再根據(jù)圖象直接可得解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)，．∴，解得函數(shù)的解析式；（2）解：令，則，解得，，∴該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為，，由圖象可得當(dāng)或時(shí)，，故答案為：或．14．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…012……0343…(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)若，求的取值范圍：(3)若、兩點(diǎn)均在該函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，試比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確求得函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．（1）選擇表格中兩組數(shù)據(jù)，代入中求解即可；（2）根據(jù)該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及開口方向即可求解；（3）先求得，再根據(jù)已知得到，進(jìn)而可得．【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）解：由得，，∴該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵該二次函數(shù)圖象開口向下，∴若，則的取值范圍為；（3）解：∵、兩點(diǎn)均在該函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∵，∴，則，∴．15．（25-26九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．(1)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____