課堂教學設計教師姓名課程名稱授課時數(shù)2累計課時授課日期星期\節(jié)次授課班級課題單元2極限及其應用（2-3）知識目標（1）理解函數(shù)連續(xù)性(含左連續(xù)與右連續(xù))的概念；（2）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性；（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值定理、零點定理與介值定理技能目標會判斷函數(shù)間斷點的類型；應用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限態(tài)度目標培養(yǎng)學生的計算能力、邏輯思維能力和自我學習能力，為學習專業(yè)課程打下良好的基礎，并能用極限知識解決實際問題教學重點（1）函數(shù)連續(xù)性的概念，間斷點；（2）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性教學難點左連續(xù)與右連續(xù)、間斷點的類型教學資源參考書作業(yè)【同步訓練2-5】、【應用拓展】教學過程設計教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教學方法時間課堂引入復習相關知識講授法5’知識疏理2.3函數(shù)的連續(xù)性啟發(fā)式教學法70’實例精講【實例2-6】判斷函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；【實例2-7】判斷方程在指定區(qū)間內(nèi)是否存在根啟發(fā)式教學法釋疑解難【問題2-1】如果f(x0)=A，則一定成立嗎？【問題2-2】無限個無窮小的“和”一定是無窮小嗎？【問題2-3】如何求有理分式函數(shù)的極限？【問題2-4】極限也等于1嗎？問題教學法應用求解【日常應用】【應用2-1】應用求極限的方法求圓面積【應用2-2】探析影子長度的變化【經(jīng)濟應用】【應用2-3】求解產(chǎn)品利潤中的極限問題【電類應用】【應用2-4】求RC串聯(lián)電路中電壓的極限值【機類應用】【應用2-5】求漸開線齒廓的極限啟發(fā)式教學法同步訓練【同步訓練2-5】、【應用拓展】練習法10’課堂小結對教學內(nèi)容進行小結，對教學情況進行點評歸納點評5’課后小記課堂教學講稿單元2極限及其應用（2-3）2.3函數(shù)的連續(xù)性2.3.1函數(shù)連續(xù)性的判定1．函數(shù)的增量設變量從它的初值變到終值，則終值與初值的差叫做自變量的增量，記為，即=－．我們稱為自變量在點的增量，記為，即或；．假定函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量從變到時，函數(shù)相應地從變到，此時稱與的差為函數(shù)的增量，記為，即=．即或，．這個關系式的幾何解析如圖2-10所示．【注意】：Δ表示增時的一個記號，增量可以是正值，也可以是負值，還可以是零．2．函數(shù)在一點處的連續(xù)性【定義2.12】：函數(shù)在一點處的連續(xù)性設函數(shù)在點的鄰域U(,）內(nèi)有定義，如果當自變量x在點的增量趨近于零時，對應的函數(shù)的增量也趨近于零，那么就稱函數(shù)在點連續(xù)，用極限來表示，就是（2-1）或．函數(shù)在點連續(xù)又可敘述如下：【定義2.13】：函數(shù)在點連續(xù)設函數(shù)在點的某一鄰域U(,）內(nèi)有定義，如果函數(shù)當時的極限存在，且等于它在點處的函數(shù)值，即（2-2）那么稱函數(shù)y=在點連續(xù)．判斷函數(shù)在點連續(xù)的條件也可以描述為：函數(shù)在點的左、右極限存在且相等，并等于其函數(shù)值．【說明】：在點連續(xù)，不僅要求在點有意義，即存在，而且要，即極限值等于函數(shù)值．【定理2.8】：在點連續(xù)在點既左連續(xù)，又右連續(xù)．例如，多項式函數(shù)在上是連續(xù)的；所以，有理函數(shù)在分母不等于零的點處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的．例如，在上是連續(xù)的．【示例2.15】：證明在點連續(xù)．證：，又，所以由定理2.8在點連續(xù)；即，所以在點連續(xù)．【示例2.16】：討論函數(shù)y=,在的連續(xù)性．解：y=(x-2)=0-2=-2，y=(x+2)=0+2=2，因為，所以該函數(shù)在點不連續(xù)，又因為，所以為右連續(xù)函數(shù)．3．函數(shù)的間斷點若在點不連續(xù)，就稱為的間斷點，或不連續(xù)點．間斷點有下列三種情形之一：①在在沒有定義；②雖在有定義，但不存在；③雖在有定義，且存在，但；那么稱函數(shù)在點為不連續(xù)，而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點．【注意】：函數(shù)在點連續(xù)必需滿足三個條件．①在點處有定義；②在點處的極限存在；③在點處的極限值等于這點的函數(shù)值．而當上述三個條件有任意一條不滿足時即為函數(shù)在這點間斷．【示例2.17】：求函數(shù)的間斷點．解：由于函數(shù)在沒有定義，故是函數(shù)的一個間斷點，如圖2-11所示．例如，設，當，即極限不存在，所以為函數(shù)的間斷點．因為，所以為無窮間斷點．例如，在點無定義，且當時，函數(shù)值在與之間無限次地振蕩，而不超于某一定數(shù)，這種間斷點稱為振蕩間斷點．例如，在點無定義，所以為其間斷點，又，所以若補充定義，那么函數(shù)在點就連續(xù)了．故這種間斷點稱為可去間斷點．例如，示例2.16的函數(shù)在點不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于的，這種間斷點稱為跳躍間斷點．例如在處即為跳躍間斷點．幾種常見的間斷點類型歸納如下：①，為無窮間斷點．②震蕩不存在，為震蕩間斷點．③，為可去間斷點．④，為跳躍間斷點．如果在間斷點處的左右極限都存在，就稱為的第一類間斷點，顯然它包含(3)、(4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點．4．函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性若，就稱在點左連續(xù)；若，就稱在點右連續(xù)．在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù)叫做該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)．如果在上有定義，在內(nèi)連續(xù)，且在右端點左連續(xù)，在左端點右連續(xù)，即=，=，那么就稱函數(shù)在上連續(xù)．【示例2.18】：討論函數(shù)，在點的連續(xù)性．解：函數(shù)的定義域是，因為，，左、右極限存在但不相等，所以不存在，即函數(shù)在點不連續(xù)．2.3.2初等函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)1．連續(xù)函數(shù)的運算【定理2.9】：連續(xù)函數(shù)的四則運算法則若均在連續(xù)，則及（）都在連續(xù)．即有限個連續(xù)函數(shù)的和、積、商（假定除式不為零）仍是連續(xù)函數(shù)．【定理2.10】：反函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)與它的反函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)有相同單調(diào)性．即如果在區(qū)間上單值、單調(diào)遞增（遞減）、且連續(xù)，那么其反函數(shù)也在對應的區(qū)間上單值、單調(diào)遞增（遞減）、且連續(xù)．例如，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單值、單調(diào)遞增且連續(xù)，所以其反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單值、單調(diào)遞增且連續(xù)．【定理2.11】：復合函數(shù)的極限設當時的極限存在且等于，即，又設在處連續(xù)，那么，當時，復合函數(shù)的極限存在，且等于，即．【定理2.12】：兩個連續(xù)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)．設函數(shù)在點連續(xù)，且，函數(shù)在點連續(xù)，那么，復合函數(shù)在點處連續(xù)．例如，因為在處連續(xù)，在處連續(xù)，所以在處連續(xù)．【示例2.19】：求解：因為，及在點連續(xù)，故由定理2.11，原式．2．初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在各自定義域內(nèi)連續(xù)，再由連續(xù)函數(shù)的運算，我們得到下面的定理：【定理2.13】：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．連續(xù)函數(shù)的圖形一條連續(xù)不間斷的曲線．上述初等函數(shù)連續(xù)性的結論提供了求初等函數(shù)極限的一個方法：如果是初等函數(shù)，且是其定義區(qū)間內(nèi)的點，則在點連續(xù)，因此有．例如，是初等函數(shù)的一個定義區(qū)間（0，）內(nèi)的點，所以．利用函數(shù)的連續(xù)來求極限．例如，．例如，．例如，．3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值性質(zhì)【定義2.14】：最大值和最小值性質(zhì)設函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在，使得對于任何的，①都有，則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值同，稱為函數(shù)的最大值點．②都有，則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最小值，稱為函數(shù)的最小值點．函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值．【定理2.14】：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值與最小值．若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值．例如，在開區(qū)間上連續(xù)，但是它在該區(qū)間內(nèi)既無最大值，也無最小值．【推論2.8】：有界性定理函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該閉區(qū)間上必有界．（2）介值性質(zhì)【定理2.15】：介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則對介于與之間的任何數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立）．如圖2-14．如果函數(shù)在上有間斷點，則介值定理的結論不成立．例如，函數(shù)y=f(x)=在閉區(qū)間上有定義，點是的間斷點．【推論2.9】：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，必能取得介于最大值與最小值之間的任何值．【定理2.16】：零點定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則在開區(qū)間內(nèi)至少有一點使得零點定理的幾何意義是：如果連續(xù)的曲線弧f(x)的兩個端點位于x軸的上、下兩側，那么這段曲線與x軸至少有一個交點（,0），即有．如圖2-15所示．【說明】：零點定理又叫根的存在定理，在實際問題中經(jīng)常用來確定方程的根的范圍．【示例2.20】：證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根．證：因為函數(shù)是初等函數(shù)，所以在閉區(qū)間上連續(xù)，且，，由零點定理知，至少存在一點使得．即是方程的一個根．【釋疑解難】【問題2-1】如果f(x0)=A，則一定成立嗎？【問題2-2】無限個無窮小的“和”一定是無窮小嗎？【問題2-3】如何求有理分式函數(shù)的極限？【問題2-4】極限也等于1嗎？【應用求解】【日常應用】【應用2-1】應用求極限的方法求圓面積【問題描述】由【引例2-2】的分析可知，使用圓的內(nèi)接正n邊形的面積近似計算圓面積時，內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)愈大則正多邊形的面積愈接近于圓的面積．即當n無限增大時，內(nèi)接正3×邊形的面積An會無限地趨近圓面積的實際大小A．由于半徑為R的圓內(nèi)接正n邊形的面積為：S(n)=，周長l為：l(n)=2nRsin()．試應用極限的方法求圓面積和圓周長．【問題求解】當n→+∞時，，，所以sin()～，sin()～==即圓面積的計算公式為．2nRsin()=2nR=即圓周長的計算公式為．【應用2-2】探析影子長度的變化【問題描述】若一個人沿直線走向路燈正下方的那一點，如圖2-19所示，探析其影子長度如何變化？【問題求解】設路燈的高度為u，人的高度為h，人離是路燈正下方那一點的距離為x，人的影子長度為y．由相似三角形對應邊成正比例得：于是y=x，其中為常數(shù)，當人越靠近目標，其影子長度越短．當人越來越接近目標（x→0）時，顯然人影長度越來越短，即y逐漸趨于0，即=0．【經(jīng)濟應用】【應用2-3】求解產(chǎn)品利潤中的極限問題【問題描述】已知東風輪胎公司生產(chǎn)x個汽車輪胎的成本函數(shù)為C(x)=300+（元），生產(chǎn)x個汽車輪胎的平均成本為，當產(chǎn)量很大時，每個輪胎的成本大致接近多少元？【問題求解】當產(chǎn)量很大時，每個輪胎的成本大致為極限值．===+=0+=100．【電類應用】【應用2-4】求RC串聯(lián)電路中電壓的極限值【問題描述】如圖2-20所示的RC串聯(lián)電路中，已知在t=0瞬間將開關S合上，電路接通直流電源，其電壓為，電壓開始對電容元件充電，電容C上的電壓逐漸升高，若=20V，電容C=0.5F，電阻R=4.8Ω，(0)=0，則電壓隨時間t變化的規(guī)律為：=20(1-)，試求充電后的極限值．【問題求解】應用求極限的方法求解RC串聯(lián)電路中電壓的極限值：=20(1-)=20(1-)=20．【機類應用】【應用2-5】求漸開線齒廓的極限【問題描述】以同一基圓上產(chǎn)生的兩條相反的漸開線為齒輪的齒廓，即為漸開線齒輪，如圖2-21所示．當直線AB沿半徑的圓作純滾動時，直線上任一點K的軌跡DKE，稱為該圓的漸開線．該圓稱為基圓，該直線稱為發(fā)生線，如圖2-22所示．由漸開線的形成可知，漸開線有以下性