專題01推理與證明（期中復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律定義與命題準確區(qū)分定義、命題、定理和證明的不同?；A必考點，常出現(xiàn)在填空題。證明能夠掌握證明的基本步驟和格式，能夠運用反證法進行數(shù)學證明。反證法不是?？碱愋?，但反證的思維方式在很多題目和思考解題思路中廣泛應用。幾何證明能夠運用已知定理解決幾何問題。常考題型，解答題中包括壓軸題中都應用幾何證明。知識點01定義與命題1）定義：能夠說明一個概念含義的語句叫作這個概念的定義。2）定義的作用：定義可以幫助人們認識和理解這個概念區(qū)別于其他概念的本質(zhì)特征。定義既可以作為性質(zhì)使用，又可以提供判定依據(jù)。3）命題：對某件事情作出判斷的語句叫作命題。4）命題的組成：命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。............形式是“如果......,那么......”。6）真命題：當條件成立時，結(jié)論一定成立的命題叫作真命題。7）假命題：當條件成立時，結(jié)論不一定成立的命題叫作假命題。8）反例：滿足命題條件，而結(jié)論卻與命題結(jié)論不同的例子叫作命題的反例。只要能舉出一個反例，就可以說明這個命題是假命題。知識點02證明1）基本事實：人們在長期是實踐中，經(jīng)過分析總結(jié)后，把那些公認的真命題作為基本事實，以基本事實為依據(jù)來證實其他命題。2）等量代換：一個量可以用它的等量來替換，即等量代換。3）在代數(shù)中，可以依據(jù)定義、運算法則、運算律、公式、等式（不等式）的基本性質(zhì)等進行運算和推理。4）我們學過的基本事實：(1)兩點確定一條直線;(2)兩點之間線段最短;(3)同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;(4)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行;(5)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5）證明：基本事實通常作為論證的起點和依據(jù)。從定義、基本事實及已知條件出發(fā)，通過邏輯推理的方法證實命題的過程叫作證明。6）定理：我們把推理證實的真命題叫作定理。定理和基本事實一樣，也可以作為證明的依據(jù)。知識點03幾何證明在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫作互逆命題。如果把其中一個命題叫作原命題，那么另一個命題叫作它的逆命題。逆定理：如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題叫作原定理的逆定理。3）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180度。4）三角形內(nèi)角和定理推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角。5）輔助線：為了證明的需要，在原來圖形上添加的線叫作輔助線，輔助線通常畫作虛線。6）直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余。7）直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形。8）反證法：先提出與命題的結(jié)論相反的假設，再從假設出發(fā)推出矛盾，從而證明命題成立的方法叫作反證法。9）用反證法證明命題的步驟:①否定結(jié)論假設命題的結(jié)論不成立;②推出矛盾從假設出發(fā)，根據(jù)已知條件，經(jīng)過推理，得出一個與命題的條件、定義、基本事實、定理等相矛盾的結(jié)果;③肯定結(jié)論由矛盾判定假設不成立，從而證明命題成立。10）平行線的性質(zhì)定理：性質(zhì)定理1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。性質(zhì)定理2.兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。性質(zhì)定理3.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。11）平行線的判定定理：判定定理1：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。判定定理2：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。平行線的傳遞性：平行于同一條直線的兩條直線平行。題型一同角（等角）的余角（補角）相等答｜題｜模｜板(2)除（1）中的一對角和的角外，還有哪些相等的角？請說明理由．(2)是，理由見解析（2）解：是，理由如下：(3)【答案】(1)證明見解析【分析】本題考查的是同角的余角相等，鄰補角的性質(zhì)；（2）利用鄰補角的性質(zhì)求解即可.題型二寫出命題并證明答｜題｜模｜板條件：_______，結(jié)論：_______．（填序號）證明：當條件是①③，結(jié)論是②時：當條件是②③，結(jié)論是①時：

(1)請寫出所有的真命題；(2)請選擇其中一個命題加以證明．【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；命題2：由①③得到②；命題3：由②③得到①；（2）命題1證明如下：命題2證明如下：命題3證明如下：【變式1】求證：等腰三角形兩底角的角平分線相等．已知：求證：證明：題型三反證法的應用答｜題｜模｜板證明：假設，都不大于零，因為兩個非正數(shù)相加還是非正數(shù)，所以假設不成立．所以，中至少有一個大于零．又因為：在一個三角形中，三個內(nèi)角和為180度，∴不可能有兩個內(nèi)角和大于或等于180度∴假設矛盾∴假設不成立【變式2】用反證法證明：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．將下面的過程補充完整．證明：假設______．∴與假設相矛盾．∴假設不成立．題型四外角相關證明題答｜題｜模｜板(2)試猜想與的數(shù)量關系，并證明你的猜想；【答案】(1)90(3)如圖，連接，【變式1】利用三角形的內(nèi)角和定理我們可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【答案】（1）見解析；（2）（3）解：如圖1，（4）解：如圖，期中基礎通關練（測試時間：10分鐘）一、單選題A． B． C． D．【答案】A故選：A．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D故②正確故③正確故④正確綜上所述，是直角三角形的是①②③④共4個．故選：D．3．（山東省德州市夏津縣20242025學年八上學期期中數(shù)學）下列命題中，屬于真命題的是（

）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B．點到直線的垂線段叫作點到直線的距離C．同位角相等D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【答案】D【詳解】解：A、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故選項不符合題意；B、點到直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離，故選項不符合題意；C、兩直線平行，同位角相等，故選項不符合題意；D、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題，故選項符合題意；故選：D．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A故選：A．二、填空題5．（山東省威海市溫泉中學20232024學年八上期中數(shù)學）把命題“全等三角形的面積相等”改寫成“如果……那么……”的形式：．【答案】如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的面積相等【詳解】解：把命題“全等三角形的面積相等”改寫成“如果……那么……”的形式：如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的面積相等故答案為：如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的面積相等．【答案】故答案為：．三、解答題(1)寫出此命題的條件和結(jié)論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明．(3)假命題，反例不唯一（3）此命題的逆命題是假命題，當為相反數(shù)時，它們的絕對值相等，但本身不相等，8．寫出下列命題的求證，并完成證明過程．求證：．證明：期中重難突破練（測試時間：10分鐘）一、單選題1．（山東省青島市第三十九中學20242025學年八上期中數(shù)學）下列命題中，真命題的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【詳解】解：①在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，故該命題是假命題，不符合題意；②兩邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，故該命題是假命題，不符合題意；④定理的逆命題不一定正確，那么這樣的逆命題就不一定成為定理，故該命題是假命題，不符合題意；⑤平移和旋轉(zhuǎn)都是全等變化，不改變圖形的形狀和大小，故該命題是真命題，符合題意；故選：A．2．（山東省泰安市泰山區(qū)20242025學年八上學期期中考試數(shù)）下列語句中，是真命題是（

）A．過一點有且只有一條直線與已知直線平行B．對頂角是相等的角C．如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等D．同角的余角互余【答案】B【詳解】解：A、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題，不符合題意；B、對頂角是相等的角，原命題是真命題，符合題意；C、如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，原命題是假命題，不符合題意，理由如下：分兩種情況討論：當，的兩邊相互平行，如圖所示當，的兩邊相互平行，如圖所示綜上所述：如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等或互補；D、同角的余角相等，原命題是假命題，不符合題意；故選：B．A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C∵不一定是，故②不正確；綜上：正確的有①④；故選：C．二、填空題【答案】2……故答案為：2．【答案】①③④故答案為：①③④．三、解答題【答案】(1)(2)

(1)填空：與的數(shù)量關系：_____；理由是_____；②存在，8．【實踐活動】如圖1，將一副三角板的直角頂點重合擺放．【拓展探究】【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由見解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析．期中綜合拓展練（測試時間：15分鐘）一、單選題A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設和交于點F，故選：D．2．用反證法證明“三角形的三個外角中至少有兩個鈍角”時，假設正確的是（

）A．假設三個外角都是鈍角 B．假設三個外角中至少有一個鈍角C．假設三個外角中至多有兩個鈍角 D．假設三個外角中至多有一個鈍角【答案】D【詳解】解：∵至少有兩個”的反面為“至多有一個”，而反證法的假設即原命題的否定．∴應假設：三角形三個外角中至多有一個鈍角．故選：D．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C∴三角形最大內(nèi)角是，故選：C．A． B． C． D．【答案】D故選：D二、填空題6．已知命題：“同旁內(nèi)角互補”，則它的逆命題為．【答案】如果兩個角互補，那么這兩個角是同旁內(nèi)角【詳解】解：根據(jù)題意，同旁內(nèi)角互補中的題設是同旁內(nèi)角，結(jié)論是互補，故其逆命題為：如果兩個角互補，那么這兩個角是同旁內(nèi)角，故答案為：如果兩個角互補，那么這兩個角是同旁內(nèi)角．【答案】/84度故答案為：．【答案】三、解答題9．如圖，五角星中，，，，的和是多少度？請證明你的結(jié)論．(1)直接寫出CE與AB的位置關系；【答案】(1)CE⊥AB，理由見解析(2)一致，理由見解析(3)【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠