專題3.7拋物線的標準方程和性質（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【題型1拋物線的定義及辨析】 1【題型2求拋物線的軌跡方程】 3【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】 3【題型4求拋物線的標準方程】 3【題型5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】 4【題型6求拋物線上的點到定點的距離最值】 4【題型7拋物線上距離的和、差最值問題】 5【題型8判斷拋物線的開口方向】 5【題型9拋物線的對稱性及其應用】 8【題型10拋物線的實際應用問題】 8知識點1拋物線的標準方程1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.(2)集合語言表示設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標準方程拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：圖形標準方程焦點坐標準線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線標準方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.4．與拋物線有關的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【題型1拋物線的定義及辨析】【例1】（2425高二上·浙江紹興·期末）已知拋物線y2=4x上一點P到焦點F的距離是4，則點P到y(tǒng)軸的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式11】（2425高二上·福建南平·期末）已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，若C上的點Mx0,5與焦點F的距離為3pA．1 B．2 C．3 D．4【變式12】（2425高二上·江西九江·期末）已知拋物線y2=2pxp>0上一點M2,yA．12 B．2 C．3 【變式13】（2425高二上·四川涼山·期末）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，若拋物線上一點M到直線x=?2的距離為5，則MF=（

A．3 B．4 C．5 D．6【題型2求拋物線的軌跡方程】【例2】（2425高二上·福建福州·階段練習）已知動點P到點F2,0的距離比它到直線x=?1的距離大1，則動點P的軌跡方程為（

）A．y2=4x B．y2=?4x C．【變式21】（2425高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知動點P(x，y)滿足5(x?2)2+(y?1)2A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式22】（2425高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐標系xOy中，動點Px,y到直線x=?1的距離比它到定點3,0的距離小2，則點P的軌跡方程為（

A．y2=6x B．y2=12x C．【變式23】（2425高二上·全國·課前預習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)A．x2=?12y B．x2=12y C．y【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】【例3】（2526高二上·全國·單元測試）拋物線x=?14y2A．x=?1 B．x=1 C．y=?1 D．y=1【變式31】（2025·上海徐匯·一模）下列拋物線中，焦點坐標為0,18的是（A．y2=12x B．y2【變式32】（2425高二下·廣西南寧·開學考試）已知拋物線C的方程為x2+8y=0，則拋物線的焦點坐標為（A．?2,0 B．?4,0 C．0,?2 D．0,?4【變式33】（2425高二上·安徽·期末）已知拋物線的方程為y=4x2，則拋物線的準線方程為（A．y=?116 B．y=18 C．【題型4求拋物線的標準方程】【例4】（2425高二上·湖南·期末）若拋物線y2=2pxp>0上一點P6,A．y2=16x B．y2=12x C．【變式41】（2425高二上·重慶·期末）若拋物線C:y=mx2(m>0)過點(2,1)A．y=?1 B．y=?116 C．x=?1 【變式42】（2425高二下·陜西西安·期中）拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標為2的點到焦點的距離5，則該拋物線的方程為（A．x2=12y B．x2=10y C．【變式43】（2425高二上·河南南陽·期中）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，點Mx0,4在C上，且MFA．y2=4x B．y2=8x C．【題型5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】【例5】（2425高二上·江蘇連云港·期中）已知拋物線C:x2=4y上一點P(m,1)，則m=A．m=±2 B．m=?2 C．m=2 D．m=【變式51】（2526高二上·全國·單元測試）拋物線y=mx2(m<0)上一點Ax0A．?18 B．?14 C．【變式52】（2425高二上·廣東·期末）已知A是拋物線C:x2=2py(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為9，到x軸的距離為4，則p=A．4 B．5 C．8 D．10【變式53】（2425高二下·江蘇南京·階段練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上，點B在準線l上，若△AFB是邊長為2的等邊三角形，則pA．1 B．3 C．2 D．2【題型6求拋物線上的點到定點的距離最值】【例6】（2425高三上·安徽·階段練習）已知拋物線x2=2pyp>0，點A4,4在拋物線上，點B0,3，若PA．8 B．22 C．9 【變式61】（2425高三上·廣東·開學考試）設點P為圓(x?3)2+y2=1上的一動點，點Q為拋物線yA．1?22 B．22?1 C．【變式62】（2425高二上·上海閔行·期末）已知拋物線C1:y2=8x，圓C2:x?22+y2=1，若點P、QA．35 B．45 C．34【變式63】（2425高二下·遼寧朝陽·期末）已知拋物線C:y=a2x2的焦點為0,2，點P是拋物線C上任意一點，則點P到點A．26 B．5 C．27【題型7拋物線上距離的和、差最值問題】【例7】（2526高二上·全國·單元測試）已知直線l1:3x?4y?6=0和直線l2:y=?2，拋物線x2=4y上一動點P到直線A．2 B．3 C．115 【變式71】（2425高二上·安徽黃山·期末）已知點P是拋物線y=14x2上的動點，定點A1,0，則P到點A的距離與PA．2?1 B．12 C．3?1【變式72】（2425高二上·遼寧·期末）已知拋物線C:32x=y2的焦點為F，點H4,2，P是拋物線C上的一個動點，則PFA．8 B．10 C．12 D．16【變式73】（2425高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線C:y2=4x的準線為l，直線l′:3x+y+53=0，動點M在C上運動，記點M到直線lA．23 B．33 C．43知識點2拋物線的簡單幾何性質1．拋物線的幾何性質拋物線的簡單幾何性質：標準方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.【題型8判斷拋物線的開口方向】【例8】（2425高二上·江蘇揚州·期中）對拋物線y=18x2A．開口向上，焦點為0，2 B．開口向上，焦點為0，C．開口向右，焦點為2，0 D．開口向右，焦點為1【變式81】（2425高二上·陜西榆林·階段練習）在同一坐標系中，方程y2a2+xA． B．C． D．【變式82】（2425高二上·山東濟寧·期中）下列關于拋物線y=2x2的圖象描述正確的是（A．開口向上，焦點為0,18 C．開口向上，焦點為0,12 【變式83】（2425高二上·重慶·期末）已知a≠0，則方程ax?yx?ay+aA． B．C． D．【題型9拋物線的對稱性及其應用】【例9】（2425高二上·浙江溫州·期中）已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=4x上，則這個等邊三角形的邊長為（A．83 B．42 C．43【變式91】（2425高二·全國·課后作業(yè)）若點(m,n)在拋物線y2=?13x上，則下列點中一定在該拋物線上的是（A．(?m,?n) B．(m,?n) C．(?m,n) D．(?n,?m)【變式92】（2425高二上·河南駐馬店·期末）已知拋物線C：y=14x2，則過拋物線A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【變式93】（2425高三下·河南開封·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點，線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點，若∠OAP=120°，則四邊形OAPBA．643 B．64 C．803【題型10拋物線的實際應用問題】【例10】（2425高二上·江蘇揚州·期中）如圖，一座拋物線形拱橋，當橋洞內(nèi)水面寬16m時，拱頂距離水面4m，當水面下降1m后，橋洞內(nèi)水面寬為（

）A．43m B．45m C．【變式101】（2425高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=6，深度MO=1，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則焦點F的坐標為（

A．92,0 B．94,0 C．【變式102】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內(nèi)側曲線呈