近世代數(shù)環(huán)課件演講人：日期:目錄01環(huán)的基本定義02環(huán)的類型與分類03環(huán)的性質(zhì)分析04子結(jié)構(gòu)與理想理論05環(huán)同態(tài)與同構(gòu)06實(shí)例與應(yīng)用專題01環(huán)的基本定義環(huán)的公理化結(jié)構(gòu)集合與二元運(yùn)算環(huán)是一個(gè)非空集合R，配備兩種二元運(yùn)算（通常稱為加法和乘法），滿足加法結(jié)合律、加法交換律、存在加法單位元和逆元，乘法結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法的分配律。030201加法群結(jié)構(gòu)環(huán)中的加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群，即對(duì)于任意a,b,c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)，存在0∈R使得a+0=a，且對(duì)每個(gè)a∈R存在?a∈R使得a+(?a)=0。分配律環(huán)必須滿足左分配律a·(b+c)=a·b+a·c和右分配律(a+b)·c=a·c+b·c，確保加法和乘法之間的協(xié)調(diào)性。加法和乘法運(yùn)算性質(zhì)加法性質(zhì)環(huán)中的加法滿足交換律（a+b=b+a）和結(jié)合律，且存在唯一的加法單位元0，使得a+0=a對(duì)所有a∈R成立。每個(gè)元素a有唯一的加法逆元?a。01乘法性質(zhì)乘法不一定滿足交換律，但必須滿足結(jié)合律。若存在乘法單位元1（即1·a=a·1=a對(duì)所有a∈R成立），則稱環(huán)為含幺環(huán)。乘法逆元不一定存在。零乘性質(zhì)在環(huán)中，0·a=a·0=0對(duì)所有a∈R成立，這是由分配律和加法逆元性質(zhì)推導(dǎo)出的重要結(jié)論。冪等元與冪零元環(huán)中可能存在冪等元（即a2=a）或冪零元（即存在正整數(shù)n使得a?=0），這些元素在環(huán)的結(jié)構(gòu)分析中具有重要作用。020304整數(shù)集合配備通常的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為整數(shù)環(huán)。它是含幺交換環(huán)，且無零因子，是環(huán)論中最基礎(chǔ)的例子之一。n×n矩陣集合在矩陣加法和乘法下構(gòu)成一個(gè)環(huán)。若n≥2，該環(huán)通常是非交換的，且可能包含零因子（如非零矩陣的乘積為零矩陣）。系數(shù)取自環(huán)R的多項(xiàng)式集合在多項(xiàng)式加法和乘法下構(gòu)成一個(gè)環(huán)。若R是含幺交換環(huán)，則R[x]也是含幺交換環(huán)。模n的剩余類集合在模加法和模乘法下構(gòu)成一個(gè)環(huán)。當(dāng)n為合數(shù)時(shí)，該環(huán)含有非零零因子；當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)，該環(huán)構(gòu)成一個(gè)域。基本例子與實(shí)例整數(shù)環(huán)?矩陣環(huán)M?(R)多項(xiàng)式環(huán)R[x]剩余類環(huán)?/n?02環(huán)的類型與分類交換環(huán)與非交換環(huán)交換環(huán)是指乘法運(yùn)算滿足交換律的環(huán)，即對(duì)于環(huán)中任意元素a和b，都有ab=ba。交換環(huán)在代數(shù)幾何和數(shù)論中有廣泛應(yīng)用，例如多項(xiàng)式環(huán)和整數(shù)環(huán)都是典型的交換環(huán)。交換環(huán)的定義與性質(zhì)非交換環(huán)的乘法運(yùn)算不滿足交換律，如矩陣環(huán)和四元數(shù)環(huán)。矩陣乘法中AB≠BA是常見的非交換現(xiàn)象，這類環(huán)在表示理論和物理學(xué)中具有重要價(jià)值。非交換環(huán)的典型例子交換環(huán)的理想理論較為完善，特別是諾特環(huán)和戴德金環(huán)的研究。理想在交換環(huán)中扮演重要角色，如素理想和極大理想在代數(shù)幾何中對(duì)應(yīng)代數(shù)簇的點(diǎn)和不可約子簇。交換環(huán)的理想理論非交換環(huán)的結(jié)構(gòu)通常比交換環(huán)復(fù)雜，如單環(huán)和半單環(huán)的分類問題。非交換環(huán)的研究涉及更多的工具和方法，如模論和同調(diào)代數(shù)。非交換環(huán)的復(fù)雜性單位環(huán)的定義與例子單位環(huán)中的可逆元零因子環(huán)的特性零因子環(huán)的應(yīng)用單位環(huán)是指含有乘法單位元的環(huán)，即存在元素1使得對(duì)于任意元素a，有1a=a1=a。整數(shù)環(huán)和實(shí)數(shù)域都是單位環(huán)，單位元的存在簡(jiǎn)化了許多代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論。在單位環(huán)中，可逆元是指存在乘法逆元的元素?？赡嬖獦?gòu)成乘法群，如整數(shù)環(huán)中僅有1和-1是可逆元，而域中所有非零元素都是可逆元。零因子環(huán)中存在非零元素a和b，使得ab=0。例如，模n的剩余類環(huán)中，若n為合數(shù)，則存在零因子。零因子的存在影響了環(huán)的可逆性和整除性質(zhì)。零因子環(huán)在編碼理論和密碼學(xué)中有應(yīng)用，如某些糾錯(cuò)碼的構(gòu)造依賴于零因子環(huán)的特殊性質(zhì)。零因子的存在也為環(huán)的局部化理論提供了研究課題。單位環(huán)與零因子環(huán)整環(huán)是無零因子的交換單位環(huán)，即對(duì)于任意非零元素a和b，ab≠0。整數(shù)環(huán)和多項(xiàng)式環(huán)是典型的整環(huán)，整環(huán)的整除理論和因子分解是研究重點(diǎn)。01040302整環(huán)與域的關(guān)系整環(huán)的基本性質(zhì)域是每個(gè)非零元素都有乘法逆元的交換環(huán)，如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域。域是最“完美”的環(huán)結(jié)構(gòu)，其理想只有零理想和域本身。域的定義與例子任何域都是整環(huán)，但整環(huán)不一定是域。整環(huán)可以通過分式域構(gòu)造嵌入到一個(gè)域中，如有理數(shù)域是整數(shù)環(huán)的分式域。這種嵌入保持了整環(huán)的代數(shù)性質(zhì)。整環(huán)與域的聯(lián)系整環(huán)的局部化是構(gòu)造域的一種方法，通過在某些素理想處局部化可以得到局部環(huán)，進(jìn)一步可以研究整環(huán)的幾何和算術(shù)性質(zhì)。局部化技術(shù)在代數(shù)幾何和數(shù)論中有廣泛應(yīng)用。整環(huán)的局部化03環(huán)的性質(zhì)分析在環(huán)(R)中，若存在非零元素(a,b)滿足(acdotb=0)，則稱(a)為左零因子，(b)為右零因子。零因子的存在表明環(huán)中存在非平凡的乘法結(jié)構(gòu)，可能影響環(huán)的可逆性和唯一分解性。零因子和冪零元零因子的定義與性質(zhì)若存在正整數(shù)(n)使得(a^n=0)，則稱(a)為冪零元。冪零元必為零因子，其存在可能導(dǎo)致環(huán)的局部性質(zhì)（如局部環(huán)）或影響理想的結(jié)構(gòu)（如冪零根理想）。冪零元的判定與影響若環(huán)(R)無零因子且乘法幺元存在，則稱為整環(huán)。整環(huán)中非零元素的乘法滿足消去律，是域和唯一分解整環(huán)研究的基礎(chǔ)。無零因子環(huán)的特殊性環(huán)的特征計(jì)算環(huán)(R)的特征是最小正整數(shù)(n)使得對(duì)任意(ainR)，有(ncdota=0)；若不存在這樣的(n)，則特征為0。特征的取值與環(huán)的加法群結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，例如特征為素?cái)?shù)的環(huán)可能蘊(yùn)含域的性質(zhì)。若環(huán)(R)的特征為(p)（素?cái)?shù)），則其子環(huán)的特征必為(p)或0。這一性質(zhì)在有限域和模運(yùn)算理論中有重要應(yīng)用。當(dāng)環(huán)的特征為(p)時(shí)，多項(xiàng)式環(huán)(R[x])中可能出現(xiàn)弗羅貝尼烏斯自同構(gòu)現(xiàn)象，即((a+b)^p=a^p+b^p)，這在代數(shù)幾何和編碼理論中具有特殊意義。特征的定義與分類特征與子環(huán)的關(guān)系特征對(duì)多項(xiàng)式環(huán)的影響有限環(huán)與無限環(huán)有限環(huán)的階數(shù)（元素個(gè)數(shù)）決定其可能的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如階為素?cái)?shù)的環(huán)必為域，而階為合數(shù)的環(huán)可能分解為直積（如中國(guó)剩余定理的應(yīng)用）。有限環(huán)的結(jié)構(gòu)分類整數(shù)環(huán)(mathbb{Z})、多項(xiàng)式環(huán)(mathbb{R}[x])等無限環(huán)在抽象代數(shù)中扮演核心角色，其理想結(jié)構(gòu)（如主理想、素理想）是研究環(huán)論的重要工具。無限環(huán)的典型例子有限環(huán)（如(mathbb{Z}/nmathbb{Z})）是糾錯(cuò)碼設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，特別是環(huán)上的線性碼和循環(huán)碼在通信工程中有廣泛應(yīng)用。有限環(huán)與編碼理論04子結(jié)構(gòu)與理想理論子環(huán)的代數(shù)封閉性子環(huán)(S)必須對(duì)環(huán)(R)的加法和乘法運(yùn)算封閉，即(foralla,binS)，有(a+binS)和(acdotbinS)，同時(shí)包含加法逆元(-ainS)和零元(0inS)。判定子環(huán)的充分必要條件子集(S)是環(huán)(R)的子環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)(S)非空，且對(duì)于任意(a,binS)，有(a-binS)和(acdotbinS)。這一條件簡(jiǎn)化了子環(huán)的驗(yàn)證過程。子環(huán)的典型例子整數(shù)環(huán)(mathbb{Z})是實(shí)數(shù)環(huán)(mathbb{R})的子環(huán)；偶數(shù)集合(2mathbb{Z})是整數(shù)環(huán)(mathbb{Z})的子環(huán)，但奇數(shù)集合不構(gòu)成子環(huán)（因加法不封閉）。子環(huán)的定義與判定理想的吸收性商環(huán)(R/I)的元素是(I)的加法陪集(a+I)，其加法和乘法定義為((a+I)+(b+I)=(a+b)+I)和((a+I)cdot(b+I)=(acdotb)+I)。運(yùn)算的良定義性需驗(yàn)證其與代表元選取無關(guān)。商環(huán)的陪集運(yùn)算商環(huán)的同態(tài)基本定理若(phi:RtoS)是環(huán)同態(tài)，則(ker(phi))是(R)的理想，且(R/ker(phi)congoperatorname{im}(phi))。這是連接理想與商環(huán)的核心定理。理想(I)是環(huán)(R)的子集，不僅滿足子環(huán)條件，還需滿足吸收性，即(forallrinR)和(forallainI)，有(rcdotainI)和(acdotrinI)。這一性質(zhì)是理想?yún)^(qū)別于一般子環(huán)的關(guān)鍵。理想與商環(huán)構(gòu)造主理想環(huán)性質(zhì)主理想的生成元主理想整環(huán)（PID）中每個(gè)理想(I)均可由單個(gè)元素生成，即存在(ainR)使得(I=(a)={rcdotamidrinR})。例如，整數(shù)環(huán)(mathbb{Z})中理想((n))由整數(shù)(n)生成。PID的整除鏈條件主理想整環(huán)滿足升鏈條件（ACC），即任意理想的升鏈(I_1subseteqI_2subseteqcdots)必在有限步后穩(wěn)定。這一性質(zhì)與諾特環(huán)的概念緊密相關(guān)。PID的唯一分解性主理想整環(huán)是唯一因子分解整環(huán)（UFD），其非零非單位元可唯一分解為不可約元的乘積。例如，多項(xiàng)式環(huán)(mathbb{F}[x])（(mathbb{F})為域）是PID，也是UFD。05環(huán)同態(tài)與同構(gòu)保持加法運(yùn)算保持乘法運(yùn)算對(duì)于環(huán)同態(tài)映射f:R→S，必須滿足對(duì)任意a,b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)，即映射在加法運(yùn)算下保持結(jié)構(gòu)不變。同態(tài)映射還需滿足f(a*b)=f(a)*f(b)，確保乘法運(yùn)算在映射前后的一致性，這是環(huán)同態(tài)的核心特征之一。同態(tài)映射定義保持單位元若環(huán)R和S均為含幺環(huán)，則同態(tài)映射通常要求f(1_R)=1_S，以保證乘法單位元的映射正確性。核與像的性質(zhì)同態(tài)映射的核Ker(f)={a∈R|f(a)=0_S}構(gòu)成R的理想，而像Im(f)構(gòu)成S的子環(huán)，這些性質(zhì)為后續(xù)定理分析奠定基礎(chǔ)。同態(tài)基本定理第一同構(gòu)定理對(duì)于環(huán)同態(tài)f:R→S，存在自然同構(gòu)R/Ker(f)?Im(f)，該定理建立了商環(huán)與同態(tài)像之間的結(jié)構(gòu)等價(jià)關(guān)系，是環(huán)同態(tài)理論的核心支柱。第二同構(gòu)定理若I是R的理想，S是R的子環(huán)，則(S+I)/I?S/(S∩I)，該定理揭示了子環(huán)與理想交互作用下的結(jié)構(gòu)關(guān)系，在分析復(fù)雜環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)具有重要價(jià)值。第三同構(gòu)定理對(duì)于環(huán)R的理想I?J，有(R/I)/(J/I)?R/J，該定理建立了多層次商環(huán)之間的聯(lián)系，簡(jiǎn)化了嵌套理想結(jié)構(gòu)的分析過程。應(yīng)用實(shí)例分析在多項(xiàng)式環(huán)Z[x]中，通過模理想(x2+1)的同態(tài)映射，可構(gòu)造出與復(fù)數(shù)環(huán)同構(gòu)的商環(huán)，直觀展示同態(tài)基本定理的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。同構(gòu)定理應(yīng)用同構(gòu)定理在類域論中表現(xiàn)為k的希爾伯特類域kH的伽羅瓦群G(kH/k)與k的理想類群同構(gòu)，這一深刻結(jié)果為代數(shù)數(shù)域的分類提供核心工具。利用同構(gòu)定理可證明對(duì)于素?cái)?shù)p和正整數(shù)n，存在唯一的pn元有限域，且其乘法群為循環(huán)群，這是編碼理論和密碼學(xué)的基礎(chǔ)結(jié)論之一。在仿射代數(shù)簇研究中，同構(gòu)定理建立了簇的幾何性質(zhì)與其坐標(biāo)環(huán)代數(shù)性質(zhì)的對(duì)偶關(guān)系，如V(I)?Spec(k[x?,...,x?]/I)。結(jié)合同構(gòu)定理可推導(dǎo)出重要結(jié)論如Artin-Wedderburn定理，實(shí)現(xiàn)半單環(huán)的矩陣環(huán)分解，為表示理論提供代數(shù)框架。類域論中的希爾伯特類域有限域構(gòu)造代數(shù)幾何中的坐標(biāo)環(huán)模論中的結(jié)構(gòu)分解06實(shí)例與應(yīng)用專題整數(shù)環(huán)與模運(yùn)算模運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)整數(shù)環(huán)?是最基礎(chǔ)的交換整環(huán)，其理想均為形如n?的主理想，且滿足算術(shù)基本定理（唯一析因性）。模運(yùn)算在?/n?環(huán)中體現(xiàn)為剩余類運(yùn)算，當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)?/n?構(gòu)成域。戴德金環(huán)的推廣模運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)于正整數(shù)n，?/n?的乘法群由與n互質(zhì)的剩余類構(gòu)成，階數(shù)為φ(n)（歐拉函數(shù)）。該結(jié)構(gòu)在密碼學(xué)（如RSA算法）和編碼理論中有重要應(yīng)用。代數(shù)整數(shù)環(huán)OK作為?的推廣，保留了理想分解的類似性質(zhì)（唯一素理想分解），但需引入理想類群描述非主理想情形，例如?(√?5)中理想(2,1+√?5)不可約。多項(xiàng)式環(huán)結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式環(huán)的構(gòu)造與性質(zhì)給定交換環(huán)R，多項(xiàng)式環(huán)R[x]中的元素形式為∑a?x?，其加法和乘法由系數(shù)運(yùn)算定義。當(dāng)R為域時(shí)，R[x]是主理想整環(huán)，滿足帶余除法。不可約多項(xiàng)式與擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)F[x]（F為域）中的不可約多項(xiàng)式生成極大理想，商環(huán)F[x]/(f(x))構(gòu)成域擴(kuò)張。例如?[x]/(x2+1)??，體現(xiàn)了域擴(kuò)張的代數(shù)實(shí)現(xiàn)。希爾伯特基定理若R是諾特環(huán)，則R[x?,…,x?]也是諾特環(huán)，保證多項(xiàng)式方程組的解集可被有限生成理想描述。這一性質(zhì)是代數(shù)幾何中希爾伯特零點(diǎn)定理