專題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(舉一反三講義)【全國通用】題型歸納題型歸納【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】 4【題型2點(diǎn)(線)共面問題】 【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題】 【題型4等角定理】 【題型5平面分空間問題】 【題型6異面直線的判定】 【題型7異面直線所成的角】 21【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】 24【題型9立體幾何中的截面問題】 25考情分析考情分析間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考判斷；二是異面直線的判定和異面直線中等.知識梳理知識梳理知識點(diǎn)1平面的基本事實(shí)及推論1.四個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論(1)四個(gè)基本事實(shí)及其表示①基本事實(shí)1:過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面②基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).③基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.④基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.基本事實(shí)1:①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.基本事實(shí)2:①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.基本事實(shí)3:①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).基本事實(shí)4:①判斷兩條直線平行.(3)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論自然語言圖形語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平點(diǎn)A?a=a與A共面于平面a,且平面唯一.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.面α,且平面唯一.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.直線allb→直線a,b共面于平面α,且平面唯一.知識點(diǎn)2共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法知識點(diǎn)3平面分空間問題①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1);②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個(gè)平面有五種情形：①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1);②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2);③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3);④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4);⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).知識點(diǎn)4空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1.空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線{平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).(2)異面直線的畫法為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.2.空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：位置關(guān)系公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面平行沒有公共點(diǎn)位置關(guān)系公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有一條公共直線畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對應(yīng)邊平(1)定義：已知a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線alla,b'//b,(2)范圍：1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.【例1】(24-25高一下·陜西西安·期末)下列命題正確的是()A.任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面B.平面就是平行四邊形【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及各項(xiàng)描述判斷正誤即可.【解答過程】由平面是無限延展的，而平面圖形有邊界，故A、B錯(cuò)；若圓心與圓上兩點(diǎn)共線，即在一條直徑上時(shí)，可確定無數(shù)個(gè)平面，C錯(cuò)；平面的基本性質(zhì)知，梯形可以確定一個(gè)平面，D對.【變式1-1】(24-25高二上·上?！るA段練習(xí))給出下面四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是()①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④兩條平行直線確定一個(gè)平面.【答案】C【解題思路】利用平面公理及推論即可判斷.【解答過程】由三個(gè)不在同一直線不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故②錯(cuò)誤；空間兩兩相交的三條不能交于同一點(diǎn)的直線確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；兩條平行直線確定一個(gè)平面，故④正確.【變式1-2】(24-25高一下·新疆哈密·期中)下列命題正確的是()A.三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C.兩條直線可以確定一個(gè)平面D.長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體【答案】D【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)求解.【解答過程】三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；兩條異面直線不能確定平面，C錯(cuò)誤.長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體，D正確.【變式1-3】(24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí))下列不是基本事實(shí)的是()A.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)D.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面【答案】D【解題思路】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.【解答過程】對于A,“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3,故A正確.對于B,“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4,故B正確；對于C,“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2,故C正確；對于D,經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面是基本事實(shí)1的推論，故D錯(cuò)誤；故選：D.【題型2點(diǎn)(線)共面問題】【例2】(24-25高二下·河南·階段練習(xí))如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B,C,D分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，A,B,C,D四點(diǎn)共面的是().【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點(diǎn)是否共面，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.【解答過程】由正方體性質(zhì)，選項(xiàng)A,B,C中，A,B,C,D四點(diǎn)顯然不共面對于D選項(xiàng)，如下圖取E,F為正方體所在棱的中點(diǎn)，依次連接ADCEBF,易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A,B,C,D四點(diǎn)共面.故選：D.段B?D?的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.A,M,0三點(diǎn)共線B.M,0,A?,B四點(diǎn)異不共面C.B,B?,0,M四點(diǎn)共面D.B,D?,C,M四點(diǎn)共面【答案】C【解題思路】由長方體性質(zhì)易知A,A?,C?,C四點(diǎn)共面且0M,BB?是異面直線，再根據(jù)M與A?C、面ACC?A?、面AB?D?的位置關(guān)系知M在面ACC?A?與面AB?D?的交線上，同理判斷0、A,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【解答過程】則A,A?,C?,C四點(diǎn)共面.因?yàn)镸∈A?C,則M∈平面ACC?A?,則點(diǎn)M在平面ACC?A?與平面AB?D?的交線上，同理，0、A也在平面ACC?A?與平面AB?D?的交線上，所以A,M,0三點(diǎn)共線；而點(diǎn)B不在平面ACC?A?內(nèi)，所以M,0,A?,B四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；B,B?,0,三點(diǎn)均在平面BB?D所以直線AO與平面BB?D?D相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面BB?D?D內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選項(xiàng)D正確.F,G,H,若直線EH,GF相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()【答案】D【解題思路】利用基本事實(shí)2,3可得正確的選項(xiàng).對于AB,因?yàn)橹本€EH在平面ABD內(nèi)，且P∈EH,所以點(diǎn)P必在平面ABD內(nèi)，故A正確；同理直線FG在平面CBD內(nèi)，且P∈FG,所以點(diǎn)P必在平面CBD內(nèi)，故B正確；對于CD,由基本事實(shí)3得點(diǎn)P在交線BD上，故C正確；直線FG與直線BD為相交直線，故D不正確，【變式2-3】(24-25高三上河北承德·期中)如圖，在下列正方體中，M,N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P,Q分A.MC.MD.M【解題思路】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.【解答過程】對于A:顯然P、Q、N在正方體的上底面，且三點(diǎn)不所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對于B:又P?平面ABMN,所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對于C:顯然P、M、N在正方體的下底面，且三點(diǎn)對于D:如圖，連接AC,則PQ//AC,又AC//MN,所以PQ//MN,所以P、Q、N、M四點(diǎn)共面，故D正確.【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題】則下列說法錯(cuò)誤的是()A.E,F,G,H四點(diǎn)共面B.EF//GHFH的交點(diǎn)P在AA?,從而可判斷；對于D,舉反例即可判斷.【解答過程】對于AB,如圖，連接EF,GH,對于C,如圖，延長EG,FH相交于點(diǎn)P,因?yàn)镻∈EG,EGc平面ABB?A?,所以P∈平面AB因?yàn)镻∈FH,FHC平面ACC?A?,所以P∈平面ACC?A?,所以P∈AA?,所以EG,FH,AA?三線共點(diǎn)，故C正確；又0<∠EGB?,,則∠EGB?≠∠FHC?,故D錯(cuò)誤.三等分點(diǎn).設(shè)AE與平面BB?D?D的交點(diǎn)為0,則()B.三點(diǎn)D?,0,BC.三點(diǎn)D?,0,B不共線，且0B=20D?【解題思路】連接AD?,BC?利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.【解答過程】連接連接AD?,BC?,CC∵0∈直線AE,AEc平面ABC?D?,∴0∈平面ABC?D?.又∵0∈平面BB?D?D,平面ABC?D?∩平面BB?D?D=BD?,∴0∈直線BD?∴三點(diǎn)D?,0,B共線.【變式3-2】(24-25高三·全國·課后作業(yè))在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EFNGH=P,則點(diǎn)P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.既在直線AC上也在直線BD上D.既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【解題思路】由題意可得P∈平面ABC,P∈平面ACD,又平面ABCN平面ACD=AC,則P∈AC,可得答案.【解答過程】如圖，又平面ABCN平面ACD=AC,故選：B.【變式3-3】(24-25高一下·河南洛陽階段練習(xí))如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，P,Q分別是棱AA?,【題型4等角定理】A.45°B.135°C.45°或135°D.不能確定【解題思路】根據(jù)空間等角定理判斷即可.C.80°或100°D.不能確定故α=β或α+β=180°,所以β=100°或β=80°.【變式4-2】(24-25高二.全國·課后作業(yè))不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)三角形的個(gè)三角形()A.一定是全等三角形B.一定是相似但不全等的三角形C.一定是相似或全等的三角形D.【解題思路】根據(jù)等角定理，即可判斷選項(xiàng).【解答過程】根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角，分別對應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似或全③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).其中正確的命題有()【解題思路】對于①,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；對于②,根據(jù)等角定理判斷；對于③,空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不互補(bǔ)，據(jù)此判斷.【解答過程】對于①,這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對于③,如圖所示，BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.所以正確的命題有1個(gè).【題型5平面分空間問題】【例5】(2024·四川內(nèi)江·三模)三個(gè)不互相重合的平面將空間分成n個(gè)部分，則n的最小值與最大值之和為()A.11B.12C.13【解題思路】求出三個(gè)不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4部分；(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分；4(3)三個(gè)平面中沒有平行的平面：(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分；(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分；(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分，圖3所以三個(gè)不平面將空間分成4、6、7、8部分，n的最小值與最大值之和為12.故選：B.【變式5-1】(24-25高二上·四川樂山階段練習(xí))三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是()【答案】C【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】對于A,三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意；對于B,三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意；對于C,三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意；對于D,三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.【變式5-2】(2025·廣東廣州·模擬預(yù)測)三個(gè)不互相重合的平面將空間分成n個(gè)部分，則n不可能是()A.4B.5【答案】B【解題思路】作出圖形，可得出三個(gè)不互相重合的平面將空間所分成的部分?jǐn)?shù)，即可得出n的值.【解答過程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來分類：(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4部分；(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分；圖2(3)三個(gè)平面中沒有平行的平面：(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分；(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分.圖3圖4(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分；圖5綜上，可以為4、6、7、8部分，不能為5部分，【變式5-3】(24-25高一下·廣東廣州·期末)空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè)，4個(gè)，8個(gè)，15個(gè)區(qū)域，則空間的5個(gè)平面最多可將空間分成的區(qū)域個(gè)數(shù)是()A.25B.26【答案】B【解題思路】利用特殊到特殊，通過簡單情況的理解，逐步到復(fù)雜情況的分析，即可得解.【解答過程】先研究直線分一個(gè)平面：1條直線分一個(gè)平面為2部分，2條直線分一個(gè)平面為4部分，3條直線分一個(gè)平面為7部分，這個(gè)7=1+1+2+3,4條直線分一個(gè)平面為11部分，這個(gè)11=1+1+2+3+4,5條直線分一個(gè)平面為16部分，這個(gè)16=1+1+2+3+4+5,由于空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè)，4個(gè)，8個(gè)區(qū)域，當(dāng)?shù)?平面與前面3個(gè)平面最多有3條交線，這3條交線把第4個(gè)平面分成7個(gè)區(qū)域，所以4個(gè)平面最多可將空間分成8+7=15個(gè)區(qū)域，當(dāng)?shù)?平面與前面4個(gè)平面最多有4條交線，這4條交線把第5個(gè)平面分成11個(gè)區(qū)域，所以5個(gè)平面最多可將空間分成15+11=26個(gè)區(qū)域，故選：B.【題型6異面直線的判定】【例6】(2025·上海·模擬預(yù)測)如圖，ABCD-A?B?C?D?是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是A.AB和C?D?【解題思路】根據(jù)棱臺的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.【解答過程】因?yàn)锳BCD-A?B?C?D?是正四棱臺，所以AB//A?B?//C?D?,故A錯(cuò)誤，側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，所以AA?與CC?相交，故B錯(cuò)誤，同理BB?與DD?也相交，所以B,B?,D?,D四點(diǎn)共面，所以BD?與B?D相交，故C錯(cuò)誤，A?D?與AB是異面直線，故D正確.故選：D.【變式6-1】(2025·上?！つM預(yù)測)如圖所示，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P為線段A?C?上的動點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是()A.DD?B.ACC.AD?D.B?C【解題思路】根據(jù)異面直線的定義一一判斷即可.【解答過程】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)P為A?C?的中點(diǎn)時(shí)，P為B?D?的中點(diǎn)，而DD?//BB?,所以B,D,D?,B?共面，則BP、DD?在平面BDD?B?上，故A不符題意；因?yàn)锳A?//CC?,即A,C,C?,A?共面，易知P∈平面ACC?A?,而B∈平面ACC?A?,P∈A?C?,P?AC,故BP與AC異面，故B符合題意；當(dāng)P、C?重合時(shí)，易知AB//D?C?,AB=D?C?,則四邊形ABC?D?是平行四邊形，則此時(shí)AD?//BP,故C不符合題意；當(dāng)P、C?重合時(shí)，顯然B?C,BP相交，故D不符合題意.故選：B.【變式6-2】(24-25高一下·河北·期中)如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線AD是異面直線的是()A.FGB.EHC.EFD.BC【答案】C【解題思路】根據(jù)正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.【解答過程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線AD是異面直線的是EF,3,P是線段A?C?上的動點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是()A.DD?B.B?CC.D?CD.AC【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項(xiàng)判斷作答.【解答過程】在長方體ABCD-A?B?C?D?中，BB?//DD?,當(dāng)P是A?C?與B?D?的交點(diǎn)時(shí)，BPc平面BDD?B?,當(dāng)點(diǎn)P與A?重合時(shí)，因?yàn)殚L方體ABCD-A?B?C?D?的對角面A?BCD?是矩形，此時(shí)BP//D?C,C不是；故選：D.【題型7異面直線所成的角】AB=PA=2,若四棱錐P-ABCD的外接球半徑為2,則AE與BC所成角的正弦值為()【解題思路】將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長方體ABCD-PB?C?D?,設(shè)AD=m,根據(jù)條件可求得m=2√2,可得AE與BC所成的角即為∠EAD或其補(bǔ)角，在△AED中，利用余弦定理求解.【解答過程】設(shè)AD=m,如圖所示，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長方體ABCD-PB?C?D?,則四棱錐P-ABCD的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，又BC//AD,所以AE與BC所成的角即為∠EAD或其補(bǔ)角，由題意以及長方體結(jié)構(gòu)特征知△PAC和△PDC均為直角三角形，可知AE與BC所成的角為,所以AE與BC所成的角的正弦值故選：B.【變式7-1】(24-25高三下·黑龍江·階段練習(xí))在正四面體ABCD中，M,N分別是棱AB,CD的中點(diǎn)，則直線AN與CM所成角的余弦值為()【答案】C補(bǔ)角),進(jìn)而結(jié)合余弦定理求解即可.【解答過程】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，所以四邊形CNEM為平行四邊形，則NEIICM,則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，即∠ANE為直線AN與CM所成角(或補(bǔ)角),設(shè)正方體的棱長為2,則AE=DE=2,DN=√2,AN=NE=√6,因此直線AN與CM所成角的余弦值故選：C.【變式7-2】((24-25高一下·廣東深圳·期則直線AD?與BD所成角的余弦值為()中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為()【解題思路】根據(jù)線線平行可得異面直線BE與PC所成角為∠BEO(或其補(bǔ)角),即可根據(jù)余弦定理求解.【解答過程】連接AC,取AC的中點(diǎn)0,連接BO,EO,則異面直線BE與PC所成角為∠BEO(或其補(bǔ)角),C.若m⊥α,ncα,則mInD.若m//α,mIn,則n【解題思路】根據(jù)空間中線、面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【解答過程】對A:平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤；對D:若m//α,m⊥n,則直B.若mIⅡn,nIα,則mⅡα【解題思路】對于A,利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對于B,利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對于C,利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；對于D,利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.【解答過程】對于A,若mIn,n對于B,若mln,nllα,則m||α或mcα,故B錯(cuò)誤；對于D,若mIla,nllα,則mIⅡn或m與n相交或m與n異面，故D錯(cuò)誤.A.若m//n,ncα,則m//α【答案】A【解題思路】由線面的平行及垂直進(jìn)行判斷.【解答過程】對于A項(xiàng)，若m//n,ncα,則m//α或mcα.對于B,C,D項(xiàng)，顯然成立，B.若m//n,α//β,m⊥α,則n⊥β則m//n【解題思路】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【解答過程】A.若m//n,m//α,則n//α或ncα,故A錯(cuò)誤；B.若m//n,α//β,m⊥α,【題型9立體幾何中的截面問題】則平面EFG截正方體所得截面的面積為()A.6√2B.6√3C.12√2【解答過程】如圖，過點(diǎn)G作EF的平行線交BB?于點(diǎn)J,過點(diǎn)J作FG的平行線交A?B?于點(diǎn)I,用過點(diǎn)A?,E,C?的平面截正方體，則截面周長為()CC如圖，取AB的中點(diǎn)G,連接GE,A?G,AC.又AA?//CC?,AA?=CC?,所以四邊形ACC?A?為平行四邊形，所以AC//A?C?,AC=A?C?,所以A?C?//GE,A?C?=2GE,所以用過點(diǎn)A?,E,C?的平面截正方體，所得截面為梯形A?C?EG,【變式9-2】(2025·上海黃浦·二模)如圖，已知P,Q,R分別是正方體ABCD-A?B?C?D?的棱AB,BC和C?D?的中點(diǎn)，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面β截該正方體所得截面為()A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形【解題思路】根據(jù)題意，取A?D?的中點(diǎn)T,AA?的中點(diǎn)M,CC?的中點(diǎn)S,連接PM,TM,RS,QS,可得過P,Q,R的截面圖形.【解答過程】解：如圖，取A?D?的中點(diǎn)T,AA?的中點(diǎn)M,CC?的中點(diǎn)S,連接PM,TM,RS,QS,由正方體的性質(zhì)可知A?C?//MS//AC,由中位線性質(zhì)可知PQ//AC,RT//A?C?,所以，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面β即為截面PQSRTM,其為六邊形.截面的面積為()【解題思路】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進(jìn)而可得截面與截面面積.(1)AP=√26,(2)AP=2√5所以質(zhì)點(diǎn)從A到P的最短距離為3√2,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過DD?上靠近D?的三面ASP截正四棱柱所得截面為五邊形ASPQR,如圖，則所得截面的面積為：1.(2024.陜西商洛·模擬預(yù)測)在空間中，下列命題是真命題的是()A.三條直線最多可確定1個(gè)平面B.三條直線最多可確定2個(gè)平面C.三條直線最多可確定3個(gè)平面D.三條直線最多可確定4個(gè)平面【答案】C【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】在空間中，三條直線最多可確定3個(gè)平面，例如：三棱錐S-ABC中的三個(gè)側(cè)面.2.(2025·安徽合肥·二模)若空間中三條不同的直線a,b,c滿足a⊥c,b⊥c,則a//b是a,b,c共面的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】通過特例說明a//b不能推出a,b,c共面，即充分性不成立；再由平面幾何知識得出同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，推出a//b一定成立，即必要條件成立，兩者綜合即可得出結(jié)果.【解答過程】所以可知a//b是a,b,c共面的不充分條件；又因?yàn)閍⊥c,b⊥c,所以必然有綜上可知a//b是a,b,c共面的必正確的是()D.若L|Ⅱm,mα,l?α,則L|α【解題思路】指出結(jié)論不成立的情況，可判斷ABC;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷D.對于B,若l≌a,m≌a,lⅡβ,mIβ,因?yàn)橹本€l,m不一定相交，根據(jù)面面平行的判定定理知兩平面平行不對于D,若L|Ⅱm,m≌α,l?α,由線面平行的判定定理可知L|Ⅱα,D正確.中，直線MN和PQ為異面直線的是()則MN與PQ是異面直線，D是.①若a,b為異面直線，則過空間任意一點(diǎn)P,總可以找到直線與a,b都相交.②對平面α,β和直線l,若α⊥β,l⊥β,則LⅡa.③對平面α,β和直線l,若l⊥α,l//β,則α⊥β.④對直線l?,l?和平面α,若l?//α,l?//L?,且l?過平面α內(nèi)一點(diǎn)P,則l?Cα.其中正確的判斷有()【答案】B【解題思路】由線面垂直，線面平行關(guān)系可判斷選項(xiàng)正誤.【解答過程】對于①,過直線b上一點(diǎn)作直線a'lla,設(shè)過a'和b的平面為α,則當(dāng)點(diǎn)P在平面α內(nèi)，且不在直線b上時(shí)，找不到直線同時(shí)與a,b都相交，故①錯(cuò)誤；對于②,由題可得l可能在α內(nèi)，故②錯(cuò)誤；對于③,因l//β,則在β內(nèi)存在n,使l//n,則n⊥α,又ncβ,則α⊥β,故③正確；對于④,因l?//α,l?//L?,則l?Cα或l?//α,又l?過平面α內(nèi)一點(diǎn)P,則l?Cα,故④正確.故選：B.6.(2025高三·全國·專題練習(xí))已知圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為下底面圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上底A.30°B.45°C.60°D【解題思路】由圓與平行四邊形的性可得DM//FC和AN//FC,進(jìn)而得∠NAE或其補(bǔ)角即為異面直線AE與CF所成角，再由已知求得答案.【解答過程】如圖，在弧DC上取一點(diǎn)M,使得,過M作圓柱的母線MN,連接DM,AN,則由圓的對稱性可得DM//FC,所以AN//DM,所以AN//FC,所以∠NAE=105°,所以異面直線AE與CF所成角為180°的平面截該正方體所得截面的周長為()【解題思路】取D?C?的中點(diǎn)N,D?A?的中再計(jì)算截面周長即可.【解答過程】如圖取D?C?的中點(diǎn)N,D?A?的中點(diǎn)M,連接MN、NF、ME,則五邊形BEMNF為過點(diǎn)B,E,F的截面，取CF的中點(diǎn)J,DD?靠近D?的三等分點(diǎn)k,連接D?J、CK、E則NF//D?J,又CJ//D?K且CJ=D?K,所以四邊形CJD?K為平行四邊形，所以CK//D?J,則NF//CK,又EK//BC且EK=BC,所以EKCB為平行四邊形，所以EB//CK,則NF//BE,同理可證BF//C?G,D?H//C?G,D?H//EM,所以BF//EM,A.A?C⊥GHC.設(shè)BC=2,則平面EFC?截該三棱柱所得截面根據(jù)截面邊長的大小判斷C,利用相交平面的公共點(diǎn)共線得三點(diǎn)共線可判斷D.所以A?C⊥AC?,所以A?C⊥GH,故A正確；延長FE交A?A的延長線于P點(diǎn)，連接PC?,交AC于Q點(diǎn)，連接QE,C?F,設(shè)FE,FC?確定平面為α,則P,C?∈α,所以PC?cα,所以C?Q,QEcα,而C?Q>C?H=√12+22=√5,所以截面的周長大于1+√3+2√5,故C錯(cuò)誤；9.(2024·吉林長春·模擬預(yù)測)下列基本事實(shí)敘述正確的是()A.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面【答案】AB【解題思路】根據(jù)基本事實(shí)以及推論即可逐項(xiàng)判斷.【解答過程】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A,B正確；對于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過三點(diǎn)的平面有無數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；對于D,若這個(gè)點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；10.(2025-湖南·模擬預(yù)測)已知直線m和平面α,且m丈α,則下列結(jié)論有可能錯(cuò)誤的是()【解題思路】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合各選項(xiàng)中條件，逐一判斷即可.對于D,當(dāng)m//α?xí)r，在αA.直線HG與直線A?B異面D.動點(diǎn)K在側(cè)面A?ADD?內(nèi)(含邊【答案】BC【解題思路】根據(jù)題意畫出立體圖形，再依據(jù)平行直線共面、中位線性質(zhì)、動點(diǎn)軌跡等知識逐一對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而選出正確選項(xiàng).【解答過程】A選項(xiàng)，G,H分別是CC?,C?D?的中點(diǎn)，則H共面，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，取DC中點(diǎn)為M,延長DC,EF交于點(diǎn)N,連接EM,如圖1,因?yàn)锽CIⅡEM且BC=EM,F是BC的中點(diǎn)，所以CFⅡEM,且MC=CN.同理，延長DC,HG交于點(diǎn)T,則TC=CM,即點(diǎn)N與點(diǎn)T重合，直線EF,HG,DC交于同一點(diǎn)，所以B正確；C選項(xiàng)，延長D?G,DC交于點(diǎn)Q,連接AQ交BC于點(diǎn)P,如圖2,則同B選項(xiàng)，易證，P為BC的中點(diǎn)，所以四邊形APGD?為過點(diǎn)A,G,D?的截面，AP=√22+12=√5=GD?,AD?=因此K的軌跡是以A為圓心，√3為半徑的圓，所以軌跡長度,所以D錯(cuò)誤.三、填空題是：(填序號).②若m//α,m⊥n,則n⊥α;③若m⊥α,n⊥α,則m//n;【答案】③【解題思路】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系一一判斷即可.故答案為：③.中點(diǎn)，則異面直線BM與PA所成角的余弦值是_·【答案】定理求出BM,余弦定理求出cos∠DCB.,進(jìn)而得出BD2;最后在△BMD中，利用余弦定理即可求出cos∠DMB.【解答過程】取PC的中點(diǎn)D,連接MD,BD,如圖所示：因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，則根據(jù)三角形的中位線定理可得DMⅡPA,且所以∠DMB為異面直線BM與PA所成的角或其補(bǔ)角.所以AB2=BC2+AC2,則AC⊥BC.,所以,所以所以由余弦定理可得：所以由余弦定理可得：則在△BMD中，由余弦定理可得，所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為故答案為：14.(2025-河北石家莊·模擬預(yù)測)金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平面將空間分成_部分(用數(shù)字作答).【答案】23【解題思路】假想一個(gè)沒有上頂?shù)恼襟w，該正方體會把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求【解答過程】假想一個(gè)沒有上頂?shù)恼襟w，該正方體會把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交，如圖所示，在傾斜的過程中，在不管底面的情況下，4個(gè)側(cè)面在頂點(diǎn)以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出9個(gè)空間，與沒有傾斜極限的情況一樣，多出來的空間是交叉的切割出來的空間，在空間上是對稱的，四個(gè)傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，如圖所示的對稱的錐面同樣會切割出9個(gè)空間，即頂點(diǎn)之上的4個(gè)延伸的傾斜的面同樣會切割出9個(gè)空間，但是四個(gè)空間和下面的四個(gè)傾斜的側(cè)面切出的是同一個(gè)，所以在18的基礎(chǔ)上加9減4,即結(jié)果是23.故答案為：23.【解答過程】(1)證明：如圖所示，取CF的中點(diǎn)G,連接MG,DG,②可.CC?的中點(diǎn).(2)求證：直線A?M、BN、B?C?三線共點(diǎn).【答案】(1(2)證明見解析【解題思路】(1)由等體積法結(jié)合棱錐的