專題7.6空間向量的應(yīng)用(舉一反三講義)【全國通用】【題型1平行關(guān)系的向量證明】 4【題型2垂直關(guān)系的向量證明】 【題型3異面直線夾角的向量求法】 【題型4線面角的向量求法】 【題型5面面角的向量求法】 2【題型6點(diǎn)到直線距離、異面直線距離的向量求法】 27【題型7點(diǎn)面距離、面面距離的向量求法】 【題型8軌跡問題的向量求法】 37【題型9探索性問題的向量求法】 431、空間向量的應(yīng)用真題統(tǒng)計(1)理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用(3)會求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離間角存在的條件2023年新高考I卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第17題，15分2025年全國一卷：第9題，6分、第17題，15分15分分2025年天津卷：第17題，15分也會涉及，難度一般.近年命題趨勢更注重動態(tài)幾何問誤失分.知識點(diǎn)1空間位置關(guān)系的向量表示1.直線的方向向量直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線1平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.2.平面的法向量平面的法向量：直線lLa,取直線l的方向向量a,則稱向量a為平面α的法向量.知識點(diǎn)2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系1.空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)，?分別是直線l,l??的方向向量，則I?//l??山?//??3λ∈R,使得π=λ?.(2)線面平行的向量表示：設(shè)ü是直線1的方向向量，n是平面α的法向量，Ita,則1//a?ü⊥n?ü·n=0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n,n2分別是平面α,β的法向量，則a//β?n,//n2?3λ∈R,使得n=λn2.2.利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.3.證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi).4.證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.知識點(diǎn)3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系1.空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)，?分別是直線l?,l?的方向向量，則L?⊥l?山⊥??山?·U?=0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)ü是直線1的方向向量，n是平面α的法向量，Ita,則lLa?ü//n?3λ∈R,(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n,n2分別是平面a,β的法向量，則a⊥β?n⊥n2?n?·n=0.2.證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.3.用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面知識點(diǎn)4用向量法求空間角1.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(4)注意兩異面直線所成角的范圍,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角是斜線和平面所成的角.用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.知識點(diǎn)5用空間向量研究距離問題(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為ü,A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量AP在直線l上的投影向量為AO=a,則點(diǎn)P到直線l的距離為√a2-(a-)2(如圖).(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.3.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點(diǎn)作平面α的垂線，垂足為Q,把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點(diǎn)P到平面α的距離.(2)轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面α,則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點(diǎn)到平面α的距離來求.(4)向量法：設(shè)平面a的一個法向量為n,A是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到α的距離為1.異面直線所成角的范圍是;直線與平面所成角的范圍是二面角的范圍是[0,π];兩個平舉一反三舉一反三【題型1平行關(guān)系的向量證明】【解題思路】設(shè)M(a,λ,1),求平面BDE的法向量，根據(jù)線面平行可得AM⊥n,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.設(shè)M(λ,λ,1),則DE=(-√2,0,1),BE=(0,-√2,1),AM=(λ-√2,λ-√2,1).因?yàn)锳M//平面BDE,則AM1n,【變式1-1】(24-25高二上·江西·階段練習(xí))如圖，在長方體 A.1B.2【解題思路】根據(jù)題意可知，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用共線定理和線面平行的向量解法可確定實(shí)數(shù)λ的值.【解答過程】如下圖所示：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)AA?=1,則A?(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),C?(2,2,1),D(0,2,0),D?(0,2,1),設(shè)P(x,y,z)即A?C=(2,2,-1),A?P=(x,y,z 由A?C=λA?P得A?C=(2,2,-1設(shè)平面BDC?的一個法向量為m=(x?,y?,Z1), 所以λ=3.故選：C.組合而成的，(2)若AB=3,求四棱錐P-ADC?B?的體積.【答案】(1)證明見解析【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系證明線面平行即可；(2)根據(jù)線面垂直結(jié)合錐體體積公式計算即可.【解答過程】(1)如圖以點(diǎn)A?為原點(diǎn)，A?D?為x軸A?B?為y軸A?A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.C(2a,2a,2a),P(a,a,3a),P設(shè)平面ADC?B?法向量為n=(x,y,z),A(0,0,2a),D(0,2a,2a),C?(2a,2aAD=(2a,0,0),AC?=(2a,2a,所以n=(0,1,1),n·PC=0-a+a=0,PC不在平面ADC?B?內(nèi)，所以PC//平面ADC?B?(2)因?yàn)锳B=3,所以CD?=3√2,因?yàn)镻C//平面ADC?B?,所以Vp-ADC?B?=Vc-ADC?B?’因?yàn)镃D?⊥C?D,AD⊥CD?,AD∩DC?=D,ADC平面ADC【變式1-3】(2025·全國·模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABC和△BCD都是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足DF=λEA(λ≠0).【答案】(1)證明見解析【解題思路】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)果，(2)取△BCD的中心為0,證明A01平面BCD,建立空間直角坐標(biāo)系，由線面平行利用向量法列式可得結(jié)【解答過程】(1)如圖，連接DE,因?yàn)镈F=λEA,所以DFIⅡAE.所以A,E,D,F四點(diǎn)共面.因?yàn)樵谌忮FA-BCD中，△ABC和△BCD所以AE⊥BC,DE⊥BC又BCc平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADF.(2)如圖，記△BCD的中心為0,連接OA,過0作直線x⊥CD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.即√3×√6+(λ+3)√2+2√2λ=0,解得λ=-2,此時|DF|=2|EA|=6.故DF的長為6.【題型2垂直關(guān)系的向量證明】的動點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則()A.BDIAMA?(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),N(1,2,0).可取x?=1,得m=(1,-1,-1).因?yàn)镸N=(1,2-y,-2),所以m·MN=(1,-1,-項(xiàng)正確的是()求出平面B?CD的法向量，設(shè)Q(1,0,t)(0≤t≤1),然后逐個分析判斷即可.【解答過程】如圖，以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD?分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),B(1,1,0),B?(1,1,1),C(0,1,0),D?(0,0,1),所以DC=(0,1,0),DB?=(1設(shè)平面B?CD的法向量為m=(x,y,z),則 對于A,BQ=(0,-1,t),,方程組不成立，所以BQ與m不共線，所以BQ與平面B?CD不垂直，所以A錯誤，對于B,DQ=(1,0,t),對于B,DQ=(1,0,t), 對于C,B?Q=(0,-1,t-1),則(0,-1,t-1)=λ?(1,0,若B?Q與平面B?CD垂直，則B?Q與m共線，則存在唯一λ?,使對于C,B?Q=(0,-1,t-1),則(0,-1,t-1)=λ?(1,0,不垂直，所以C錯誤，對于D,D?Q=(1,0,t-1),若D?Q與平面B?CD垂直，則D?Q與m共線，則存在唯一M?,使D?Q=μ?m,對于D,D?Q=(1,0,t-1),將它沿對稱軸OO?折起，使平面ADO?01平面BCO?O,如圖2,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A,B兩點(diǎn)),連接OE并延長至點(diǎn)Q,使AQ//0B.(2)先計算S△ABQ,再計算三,然后根據(jù)棱錐體積計算即可.【解答過程】(1)由題設(shè)知0A,OB,00?兩兩垂直，設(shè)AQ=m,則O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0),則OD=(3,0,6),AQ=(0,m,因?yàn)镻為BC中點(diǎn)，所所以0D1平面PAQ.(2)因?yàn)锽E=2AE,AQ//0B,所以因?yàn)锳B=12,由題設(shè)知OA⊥OB,所以0A=6,因?yàn)楦邽?的等腰梯形AABCD中，AB//CD,(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面垂直的空間向量公式即可求解.【解答過程】(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD,又PD1平面ABCD,ACc平面ABCD,(2)設(shè)AC,BD交點(diǎn)為0,則OA⊥OB,設(shè)PD=t,則A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-1,0,0),P(0,-√3,t),AB=(-1,√3,0),PB=(0,2√3,-t),BC=(-1,-√,【題型3異面直線夾角的向量求法】【例3】(2025-浙江·二模)正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)M,N分別為則異面直線BD與MN所成角的余弦值為()【解題思路】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線所成角余弦值即可.【解答過程】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1,所以異面直線BD與MN所成角的余弦值為故選：C.該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2,AA?、BB?、CC?、DD?均與曲池的底面ABCD垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2,對應(yīng)的圓心角為90°,則圖中異面直線AB?與CD?所成角的余弦值為()【答案】A【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.【解答過程】設(shè)上底面圓心為0?,下底面圓心為0,連接00?、OC、OB,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0C、OB、00?所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以異面直線AB?與CD?所成角的余弦值【變式3-2】(2025.江蘇蘇州·三模)如圖，正四棱錐S-ABCD,SA=2,AB=√2,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且(2)求異面直線SA與CP所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析②【解答過程】(1)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)0,連結(jié)SO,所以SO⊥AC,因?yàn)檎睦忮FS-ABCD,所以四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD,因?yàn)锳C⊥SO,AC⊥BD,sOnBD=0,SOc平面SBD,SOc平面SBD,所以AC⊥SD;因?yàn)镺S⊥0B,OS⊥OC,OB⊥OC,所以以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,A(0,-1,0),S(0,0,√3),C(0,1,0),D(-1,0因此異面直線SA與CP所成角的余弦值為【變式3-3】(2025-河南新鄉(xiāng)·二模)《九章算術(shù)·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉.如(2)若直線MN⊥平面ABD,求直線BE與MN所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析【解題思路】(1)利用線面垂直的性質(zhì)可證CD⊥BC,CD⊥AC,CD⊥AB,進(jìn)而利用線線垂直證明平面BCD,進(jìn)而可得AB⊥BD,可得結(jié)論；(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA的方向分別為x,y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ABD的法向量與直線BE的方向向量，利用向量法可求得直線BE與MN所成角的余弦值.【解答過程】(1)因?yàn)镃D1平面ABC,BCc平面ABC,ACc平面ABC,ABc平面ABC,所以CD⊥BC,CD⊥AC,CD⊥AB.所以AB1平面BCD,又BDC平面BCD,則AB⊥BD,所以四面體ABCD的四個面都為直角三角形，則四面體ABCD為鱉濡.(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA的方向分別為x,y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得n=(1,0,-1).得直線BE與MN所成角的余弦值為【題型4線面角的向量求法】的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段B?C?上，且B?則直線DE與平面ACC?A?所成角的正弦值為()【解題思路】以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【解答過程】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA?=4,則AB=AC=6,則D(3,3,0),E(4,2,4),故DE=(1,-1,4),因?yàn)閤軸⊥平面ACC?A?,則可取平面ACC?A?的法向量為n=(1,0,0),即直線DE與平面ACC?A?所成角的正弦值為【變式4-1】(2024·四川攀枝花·一模)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉膈指的是四個面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵ABC-A?B?C?中，∠ACB=90°,若AC=BC=1,AA?=2,直線B?C與平面ABB?A?所成角的余弦值為()【解題思路】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA、CB、CC?所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線B?C與平面ABB?A?所成角的余弦值.【解答過程】在塹堵ABC-A?B?C?中，CC?⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA?=2,AC=BC=1,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA、CB、CC?所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，CB?=(0,1,2),BA=(1,-1,0),B設(shè)平面ABB?A?的法向量n=(x,y,z),設(shè)直線B?C與平面ABB?A?所成角為θ,因此，直線B?C與平面ABB?A?所成角的余弦值【變式4-2】(2025·全國·模擬預(yù)測)由四棱柱ABCD-A?B?C?D?截去三棱錐D?-A?DC?后得到如圖所示的幾何體，四邊形ABCD是菱形，AC=4,BD=2,0為AC與BD的交點(diǎn)，B?0⊥平面ABCD.(2)若B?O=2√3,求AC?與平面A?DC?所成角的正弦值.②【解題思路】(1)取A?C?中點(diǎn)O?,連接B?O?,O?D,00?,根據(jù)線面平行的判定證明B?OⅡO?D即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【解答過程】(1)如圖所示，取A?C?中點(diǎn)O?,連接B?O?,O?D,00?,則由題意B?B//AA?//00?且B?B=AA?=00?,故四邊形B?BOO?是平行四邊形，所以B?O?//BO且B?O?=BO,故B?O?所以四邊形B?O?DO是平行四邊形，則B?O//0?D.又B?O女平面A?DC?,O?DC平面A?(2)由題意可知AC,BD,OB?兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,則由題意A(0,-2,0),D(1,0,0),C(0,2,0),B(-1,0,0),B?(0,0,2√3).OC?=OC+CC?=OC+BB?=(0,2,0)+(1,0,2√OA?=OA+AA?=OA+BB?=(0,-2,0)+(1,0,2√3)所以AC?=(1,4,2√3),DA?=(0,-2,2√3),DC?=(0,2,2√3).,則y?=Z?=0,取x?=1,則AA?=A?C?=C?C=2,AC=4【解答過程】(1)在三棱臺ABC-A?B?C?中，取AC的中點(diǎn)O,連接BO,A?O,C?O,(2)取A?C?中點(diǎn)M,則0M⊥AC,以點(diǎn)O原點(diǎn)，直線OB,OC,OM分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(a,0,0),A(0,-2,0),A?(0,-1A?B=(a,1,-√3),A?C?=(0,2,0),AB=(設(shè)平面A?BC?的法向量n=(x,y,z),則【題型5面面角的向量求法】則折后二面角E-0F-A的余弦值為()【答案】A【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可由向量的夾角求解.【解答過程】由題意知平面ADC⊥平面ABC,如圖，連接OD,OB,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，0是AC的中點(diǎn)，所以0D⊥AC,OB⊥AC,又平面ADCn平面ABC=AC,ODADC,所以0D1平面ABC,而OBc平面ABC,所以0D⊥OB,從而OB,OC,OD三線兩兩垂直.以0為原點(diǎn)，所以二面角E-0F-A的余弦值【答案】A【解題思路】因?yàn)檎襟w中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面BDD?B?與平面ABC?D?夾角的余弦值，建立空間直角坐標(biāo)系，求得即可.由A(a,0,0),C(0,a,0),B?(a,a,a),PAD為正三角形，E,F分別是棱AD,DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在側(cè)棱PD上，且PG:GD=3:1.②【解題思路】(1)由平行線分線段成比例易得PBIIGK,再由線面平行的判定定理即可證明；二面角即可.【解答過程】(1)如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)H,設(shè)BD交EF于點(diǎn)K,連接GK,(2)如圖，連接PE,因?yàn)椤鱌AD為正三角形，E是AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD,故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EA,EB,EP所在直線為x軸設(shè)AB=12,則E(0,0,0),c(-12,6√3,0),D(-6,0,0),F(-9,3√3,0),P(0,0,不妨令x=1,則y=√3,z=√3,∴n=(1,√3,√3),【解題思路】(1)設(shè)AB=2,則BC=2+2×2cos60°=4,連接MD,AC,交于點(diǎn)E,連接B'E,利用余弦定理求得同理求得B'C=2√2,再由勾股定理逆定理即可證得B'A⊥B'C;(2)取AM的中點(diǎn)H,連接DH,BH,證明∠B'HD為二面角B′-AM-D的平面角，由余弦定理求得B'D=3,0,證明B'01平面MCDA,利用條件寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量坐標(biāo)，利用空間夾角的坐標(biāo)公式求解即得.【解答過程】(1)②因M為線段BC的中點(diǎn)，則BM=MC=2,如圖②,連接MD,AC,交于點(diǎn)E,連接B'E,由題意，△AB'M與△ADM均為邊長是2的正三角形，取AM的中點(diǎn)H,連接DH,BH,則DH⊥AM,BH⊥AM,即∠B'HD為二面角B′-AM-D的平面角，等于120°,B'H∩DH=H,B'H,DHC平面HB'D,故AM1平面HB'D,又B'0c平面HB'D,故AM⊥B'0,因B'O⊥DH,DHNAM=H,DH,AMC平面MCD分別以0D,OB'所在直線為y,z軸，以過點(diǎn)0與AM平行的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面B'AD的法向量為m=(x,y,z),,故可取m=(√3,-1,-√3),設(shè)平面DCB'的法向量為n=(a,b,c),,故可取n=(0,1,√3),設(shè)平面DAB'與平面DCB′夾角為θ,【題型6點(diǎn)到直線距離、異面直線距離的向量求法】 【例6】(2025·四川·二模)已知空間中則點(diǎn)B到直線AC的距離為()AB2-【解題思路】由點(diǎn)B到直線AC的距離為：AB2-即可求解.【解答過程】設(shè)向量AC的單位向量為ě,點(diǎn)B到直線AC的距離為：側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=0D=√2,則異面直線PC與BD的距離為()【解題思路】連接AC,BD,可得AC⊥BD且交于0,再由SO⊥面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.連接AC,BD,則AC⊥BD且交于0.所以以0C,OD,OS為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.【解答過程】(1)三棱臺ABC-A?B?C?中，AB=2A?B?,則AC=2A?C?, (2)已知平面AA?B?B⊥平面ABC,平面AA?B?B∩平面A又AC⊥BB?,BCnAC=C,BCc平面ABC,ACc平面ABC,所【解題思路】(1)取AB的中點(diǎn)0,連接PO,由題可得PO1平面ABCD,在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O作Oy⊥AB,則射線OB,Oy,OP兩兩垂直，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB,Oy,OP分別為x,y,(2)求出平面PAD和平面CAP的法向量，利用向量法求解.【解答過程】(1)取AB的中點(diǎn)0,連接PO,如圖，在正三角形PAB中，則PO⊥AB,則B(1,0,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,√3),),c(1,2,0),所以點(diǎn)P到直線BM的距離為|BP|·(2)設(shè)平面PAD的法向量為m=(x?,y?,Z1),所以平面CAP與平面PAD的夾角的余弦值【題型7點(diǎn)面距離、面面距離的向量求法】中點(diǎn)，沿AE將△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱錐P-ABCE,且PB=2.若F為棱PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面PCE的距離為()【解題思路】先根據(jù)已知條件推導(dǎo)面面垂直關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系確定各點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過向量垂直的條件求解平面法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式計算即可.【解答過程】在四邊形ABCD中，連接BE,由題意可知△DAE是邊長為1的等邊三角形，即AE⊥EB,且BE=√AB2-AE2=√3,由PB=2,PE=1,BE=√3,可得EB1平面PAE,又因?yàn)镋Bc平面ABCE,所以平面PAE⊥平面ABCE.因?yàn)椤鱌AE為等邊三角形，則PO⊥AE,平面PAE∩平面ABCE以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OH,OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P設(shè)平面PCE的法向量n=(x,y,z),可得n=(√3,1,-1),由點(diǎn)F為線段PB的中點(diǎn)，知點(diǎn)F到平面PCE的距離是點(diǎn)B到平面PCE的距離的平面PCE的一個法向量n=(√3,1,-1),點(diǎn)B到平面PCE的距離所以點(diǎn)F到平面PCE的距離故選：B.【變式7-1】(24-25高二下·全國·課后作業(yè))正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為2,E,F,G,H分別是棱AB,AD,B?C?,D?C?的中點(diǎn)，則平面EFD?B?和平面GHDB之間的距離為()【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到平面GHDB的距離，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD?的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD?的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),F(1,0,0),B(2,2,0),H(0,1,2),E(2所以DF=(1,0,0),DH=(0,1,2),DB=(2,2,0),EB?=(0所以DH=EB?,因?yàn)镈,H,E,B?四點(diǎn)不共線，所以DH//EB?,因?yàn)镋,F,分別是棱AB,AD的中點(diǎn)，所以EF//BD,所以平面EFD?B?和平面GHDB之間的距離，就是EF到平面GHDB的距離，也就是點(diǎn)F到平面GHDB的距離.則,不妨取y=-2,則n=(2,-2,1),PA⊥AD,PA=AD=2,點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段PC上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)).(2)若平面AEF與平面PBC的夾角求點(diǎn)P到平面AEF的距離.【解題思路】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理可得答案；(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理得出PA⊥平面ABCD,以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PF=λPC(0<λ<1),記PB的中點(diǎn)為G,求出平面AEF、平面PBC的一個法向量，由二面角的斜率求法求出λ,再由點(diǎn)面距離的向量求法可得答案.【解答過程】(1)因?yàn)镻A⊥AD,PA=AD=2,PE=DE=√2,所以AE⊥PD.又因?yàn)槠矫鍼AD1平面PCD,且平面PADn平面PCD=PD,所以AE1平面PCD,又AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PCD;又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以CD⊥AD,由ADNAE=A,AD,AEc平面PAD,所以CD1平面PAD,PAc平面PAD,所以CD⊥PA,以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸正方向，建則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),則AE=(0,1,1),AP=(0,0,2),PC=(2,2,-2),PB=(2,0設(shè)PF=λPC(0<λ<1),則AF=AP+PF=AP+λPC=(2λ設(shè)平面AEF的法向量m=(x?,y1,Z?令y?=λ,則x?=1-2λ,Z?=-λ,故m=(1-2λ,λ,-λ),設(shè)平面PBC的法向量n=(a,b,c),令a=1,則c=1,b=0,則平面PBC的法向量n=(1,0,1),由題意得，,即所以平面AEF的法向量可取h=-3m=(1,-2,2),所以點(diǎn)P到平面AEF的距(3)求平面EGF與平面ABD的距離.【解題思路】(1)建立合適空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法可得B?D⊥BA,B?D⊥BD,再由線面垂直的判定(2)同(1)可證B?D1平面EFG,結(jié)合(1)結(jié)論及線面垂直的性質(zhì)即可證；(3)向量法求點(diǎn)F到平面ABD的距離，結(jié)合(2)結(jié)論即可得結(jié)果.【解答過程】(1)由題設(shè)，BA,BC,BB?兩兩互相垂直，則B(0,0,0),D(0,2,2),B?(0,0,4),設(shè)BA=a,則A(a,0,0).所以B?D⊥BA,B?D⊥BD,所以B?D⊥BA,B?D⊥BD,又BA∩BD=B,且BA,BD都在平面ABD內(nèi)，故B?D⊥平面ABD.(2)由題意知E(0,0,3),,F(0,1,4),所以B?D⊥EG,B?D⊥EF,結(jié)合(1)知，平面EGF//平面ABD.所以點(diǎn)F到平面ABD的距離由(2)知，平面EGF與平面ABD的距離等于點(diǎn)F到平面ABD的距離，所以兩平面間的距離【題型8軌跡問題的向量求法】內(nèi)切球的球面上運(yùn)動，且CP⊥AQ,則點(diǎn)P的軌跡長度為()A.√5π【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，作出輔助線，得到AQ⊥平面CDRH,由點(diǎn)到平面的距離和球的半球心0,取A?D?的中點(diǎn)R,B?C?的中點(diǎn)H,連接DR,RH,HC,則R故當(dāng)P位于平面CDRH與內(nèi)切球0的交線上時，滿足CP⊥AQ,此時0到平面CDRH的距離為其中r為平面CDRH截正方體內(nèi)切球所得截面圓的半徑，【變式8-1】(2025·北京·二模)設(shè)正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為2,P為正方體表面上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線AA?的距離與它到平面ABCD的距離相等，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線W,則曲線W的周長為()【答案】D【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足(x-2)2+y2=z2,由題意分六種情況討論即可求解.【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD?建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，顯然點(diǎn)P到平面ABCD的距離為|z|,設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),在AA?上取一點(diǎn)A?(2,0,z),而A(2,0,0),A?(2,0,2),所有A?P=(x-2,y,0),AA?=(0,0,2),從而A?P·所以點(diǎn)P到直線AA?的距離為|A?P|=√(x-2)2+y2,令z=0,得x=2,y=0,此時點(diǎn)P的軌跡就是一個點(diǎn)，此時點(diǎn)P的軌跡長度是0,令z=2,得(x-2)2+y2=4,x,y∈[0,2],此時點(diǎn)P在以A?為圓心半徑為2的四分之一的圓周上面運(yùn)動，此時點(diǎn)P的軌跡長度令x=0,得4+y2=z2,z,y∈[0,2],即y=0,z=2,此時點(diǎn)P的軌跡長度是0,令x=2,得y2=z2,z,y∈[0,2],即y=Z,z,y∈[0,2],此時點(diǎn)P在線段AB?上運(yùn)動，軌跡長度是2√2,令y=0,(x-2)2=z2,z,x∈[0,2],即2-x=Z,Z,x∈[0,2],此時點(diǎn)P在線段AD?上運(yùn)動，軌跡長度為2√2,令y=2得，(x-2)2+4=z2,z,x∈[0,2],即x=2,z=2,此時點(diǎn)P的軌跡長度是0,綜上所述，所求為4√2+π.AD=2BC=2EF=2AF=2,點(diǎn)P為梯形ADEF內(nèi)(包括邊界)一個動點(diǎn)，且BP//平面CDE.【解題思路】(1)利用空間中的垂直關(guān)系可得AB⊥平面ADEF,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系后利用直線的方向向量和平面的法向量可求P的軌跡方程，從而可求軌跡長度；(2)利用向量法結(jié)合直線BP與平面BCEF所成角θ的正弦值為求得AB的長度，再結(jié)合向量法可求P到直線DE的距離，從而可求體積.【解答過程】(1)因?yàn)槠矫鍭BF⊥平面ADEF,AB⊥AF,平面ABFn平面ADEF=AF,因點(diǎn)P為梯形ADEF內(nèi)(包括邊界)一個動點(diǎn)，可設(shè)P(x,y,0),則BP=(x,y,-b),故bx+by-b=0,即x+(2)取AD的中點(diǎn)為G,連接FG,又由(1)可得BA1平面ADEF,而APc平面ADEF,故AB⊥AP,因AP2=BP2-AB2,若設(shè)平面BCEF的法向量為n=(u,v,t),而EF=(故三棱錐P-CDE的體積或者②點(diǎn)E在側(cè)面ABB?A?內(nèi)，且三棱錐E-ADC?的體積求E的軌跡的長度.【解題思路】(1)根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可得證；(2)以{AB,AC,AA?}為正交基底，建立如圖所示的空間直角②中根據(jù)三棱錐體積求出點(diǎn)E到平面的距離，再由向量法求距離，化簡可得軌跡方程，利用軌跡跡為線段，即可得解.【解答過程】(1)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，CC?1平面ABC,又因?yàn)锳D⊥DC?,CC?∩DC?=C?,CC?,DC?C(2)①在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC,AB⊥AC,解得a=2.設(shè)AC與平面ADC?所成角為θ,則②因?yàn)锳D⊥DC?,AD=2,DC?=2√2,因?yàn)槿忮FE-ADC?的體積因?yàn)镋在側(cè)面ABB?A?上，可設(shè)E(x,0,z),E到平面ADC?的距離且AB=BC=2CD=4.【解答過程】(1)取BE的中點(diǎn)F,AE的中點(diǎn)G,連結(jié)FG、GD、CF,(2)存在.設(shè)MB=x(0<x<4),在Rt△BEC中，因?yàn)镸B1平面BEC,所以取EC的中點(diǎn)H,因?yàn)镸E=MC,所以MH⊥EC,(2)若AC=BC,在線段EC?上是否存在點(diǎn)M,使平面AMA?與平面AME夾角的余弦值?若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.【解題思路】(1)先求證FC⊥EC?,接著由題設(shè)AF⊥EC?結(jié)合線面垂直判定定理求證EC?⊥平面AFC,進(jìn)而得EC?⊥AC,再由直三棱柱性質(zhì)得C?C⊥AC,進(jìn)而由線面垂直判定定理即可求證AC1平面BCC?B?;(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=BB?=2,M(x,0,2-2x)(0≤x≤1),求出平面AMA?的一個法向量為m和平面AME的一個法向量為n,再由解即可.【解答過程】(1)證明：因?yàn)锽C=BB?,所以由題在Rt△FBC和Rt△ECC?中，F(xiàn)B=EC,BC=CC?,故Rt△FBC≌Rt△ECC?,所以所以可得FC⊥EC?,又AF⊥EC?,AF∩FC=F,AF、FCc平面AFC,又由直三棱柱性質(zhì)可得C?C⊥AC,C?CnEC?=C?,C?C、EC?C平面BCC?B?,所以AC1平面BCC?B?.(2)由題意和(1)可以C為原點(diǎn)，CB,CA,CC?為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若AC=BC,則可設(shè)AC=BC=BB?=2,則AM=(x,-2,2-2x),AA?=(0,0,2),AE=(1,-2設(shè)平面AMA?的一個法向量為m=(x?,y?,Z?),平面AME的一個法向量為n=(x?,y?,Z?),取x?=2,x?=2,則m【解答過程】(1)證明：連接BM交AN于點(diǎn)E,連接HE,因?yàn)槠矫鍭BNM1平面ABCD,平面ABNMn平面ABCD=AB,且NBC平面ABNM,所以NB1平面ABCD,又AD//BC,AB⊥AD,所以AB⊥BC,則AH=(-2,2,0),AN=(-2,0,2),NC=(0,4,設(shè)NP=λNC=(0,4λ,-2λ),0≤λ≤1,則P(0,4λ,2-2λ),,取x?=1-λ,可得由平面PAH1平面NAH,則m·n=1-λ+1-λ+1-2λ=0,所以在線段NC上存在一點(diǎn)P,使得平面PAH1平沿AC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且PC⊥BC,連接PB得三棱錐P-ABC,如圖2.圖1圖2(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為,若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析【解題思路】(1)推導(dǎo)出PA⊥AC,證明出BC⊥平面PAB,可得出PA⊥BC,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PM=λPC,其中0≤λ≤1,利用空間向量法可得出關(guān)于λ的等式，結(jié)合0≤λ≤1求出λ的值，即可得出結(jié)論.【解答過程】(1)證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，∠D=60°,則∠B=60°,因?yàn)镈C=2AD=2,則AB=DC=2,BC=AD=1,翻折后，則有BC⊥AC,PA⊥AC,所以，BC⊥平面PAC,因?yàn)镻AC平面PAC,則PA⊥BC,所以平面PAB1平面ABC.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC⊥AC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)， BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PM=λPC=λ(0,√3,-1)=(0,√3λ,-λ),其中0≤λ≤1,則AM=AP+PM=(0,0,1)+(0,√3λ,-λ)=(0,√3λ,1-過關(guān)測試過關(guān)測試 點(diǎn)中不在平面α內(nèi)的是()A.(1,2,3)B.(-2,4,5)C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)【解答過程】平面α={Pln·P?P=0},其中點(diǎn)P?(1,2,3),法向量n=(1,對于A,設(shè)P(1,2,3),則P?P=(0,0,0),對于B,設(shè)P(-2,4,5),則P?P=(-3,2對于C,設(shè)P(-3,4,5),則P?P=(-4,2,2),對于D,設(shè)P(2,-4,8),則P?P=(1,-6,5),項(xiàng)正確的是()對于A,A?(2,0,2),M(2,2,1),C(0,2,0),N(0,1,2),若A?MIICN,則A?M=λCN→(0,2,-1)=λ(0,-1,2),λ對于B,B?(2,2,2),A?B?=(0,2,0),MC=(-2,0,-1), 對于C,A(2,0,0),MN=(-2,-1,1),AC=(-2,2,0),對于D,B(2,2,0),D(0,0,0),A?B=(0,2,-2),DB=(2,2,0),【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解異面直線所成角得余弦值即可.【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD?所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A?(3,0,2),M(2,2,0),B(3,故異面直線A?M和BN夾角的余弦值4.(2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測)在棱長為2的G為棱A?B?上的一點(diǎn)，且A?G=λ(0<λ【答案】A【解題思路】建立空間直接坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間坐標(biāo)法求點(diǎn)到平面的距離即可.【解答過程】所以D?E=(2,0,-1),D?F=(2,2,5.(2025-河南安陽·一模)如圖，在三棱錐S-ABC【解題思路】根據(jù)題意，以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】根據(jù)題意，以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 所以點(diǎn)E到直線BD的距離6.(2025·北京順義·一模)六氟化硫是一種無機(jī)化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為SF?,在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為P-ABCD-Q,各棱長均相等，則平面PAB與平面QAB夾角的余弦值是()【答案】D【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求平面與平面的夾角即可.設(shè)正八面體的棱長為a,連接AC、BD相較于點(diǎn)0,連接OP,根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知ABCD為正方形，AC⊥BD,OP1平面ABCD,建立如圖所示，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，所設(shè)平面PAB的法向量為n?=(x?,y1,Z?),設(shè)平面QAB的法向量為n2=(x?,y2,Z?),令y?=1,設(shè)平面PAB與平面QAB夾角為θ,則7.(2025·黑龍江·一模)正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1,E為棱DD?的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面對角線BC?上運(yùn)動(P點(diǎn)異于B、C?點(diǎn)),以下說法錯誤的是()B.A?P⊥B?DD.三棱錐P-ACD?的體積為6【解題思路】根據(jù)線面平行的判定定理可證明A選項(xiàng)正確；應(yīng)用空間向量計算數(shù)量積，可判斷B正確；根據(jù)線面角的計算，可得C選項(xiàng)錯誤；應(yīng)用空間向量法可求得點(diǎn)到平面距離，再結(jié)合三棱錐的體積公式，計算可得D正確.【解答過程】對于A,連接BD、AC,相交于點(diǎn)0,連接OE,如圖所示，又E為棱DD?的中點(diǎn)，所以0E//BD?,故C錯誤；對于D,因?yàn)镻(1-λ,1,λ),A(1,0,0),C(0,1,0),D?(0,0,1),則AP=(-λ,1,λ),AC=(-1,1,0),CD?=(0,-解得m=(1,1,1),成角的正切值)則點(diǎn)B到平面ACD的距離為()【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出平面ACD的法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離.設(shè)BA=t,t>0,則B(0,0,0),C(√2,0,0),D(0,√2,0),A(0,0,t),所以AB=(0,0,一t),CA=(-√2,0,t),CD=(-√2,√2,0).令x=1,得y=1,所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為解得t=2,所以平面ACD的一個法向量為n故B到平面ACD的距離二、多選題C.EF⊥AC【答案】AC【解題思路】利用異面直線的定義可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BCD選項(xiàng).【解答過程】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD?所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)B.OB⊥C?D所以AC=(-1,1,0),AD?=(-1,0,BC=(-1,0,0),平面ACD?的法向量m=(1,1,1),所以直線BC與平面ACD?所成角的正弦值故D正確；所以0B⊥C?D不成立，故B錯誤；因?yàn)锽C?=(-1,0,1),CD?=(0,-1又因?yàn)锽C=(-1,0,0),所以直線BC?與CD?的距離,故C正確.A.B?D⊥EF【答案】BC【解題思路】對于A由B?C//EF即可判斷，對于B由EF//A?D得面A?EF與側(cè)面AA?D?D的交線為A?D即可求解，對于CD建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法即可判斷.【解答過程】因?yàn)锽?D與B?C不垂直，又B?C//EF,所以B?D與EF不垂直，故A錯誤；所以平面A?EFD與側(cè)面AA?D?D的交線為A?D,由正方體棱長為2,得A?D=2√2,故B正確；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系.則C(0,2,0),B?(2,2,2),A?(2,0,2),E(0,2,1),F(1,2,2),所以A?F=(-1,2,0),EF=(1,0,1),B?D=(-2,-2,-2),CE=(0,0,1),設(shè)平面A?EF的一個法向量為n=(x,y,z),由所以點(diǎn)C到平面A?EF的距離故C正確；所以B?D與平面A?EF所成角的余弦值故D錯誤.三、填空題邊中點(diǎn)，則異面直線AC?與B?E所成角的余弦值為_【答案】【解題思路】由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出異面直線B?E與AC?所在直線的方向向量，由空間向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式即可運(yùn)算求解.【解答過程】取AC中點(diǎn)D,連接BD,因?yàn)锳B=BC,所以BD⊥AC,以D為原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸，過點(diǎn)D且垂直于面BAC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以AC=2√3,AD=DC=√3,BD=1, 所以異面直線B?E與AC?所成角為θ,.所以異面直線BA?與AC?所成角的余弦值為故答案為：13.(2025-湖南·三模)如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，△ABC是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CC?上，且CE=2EC?,若AB=2,AA?=3,則點(diǎn)A?到平面BDE的距離為_ 【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出A?B,n,其中元是平面BDE的法向量，結(jié)合公式即可運(yùn)算求解.【解答過程】如圖，取AB,A?B?的中點(diǎn)F,G,因?yàn)锳A?1平面ABC,FB,FCc平面ABC,所以AA?⊥FB,AA?⊥FC,因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，所以FB⊥FC,所以FB,FC,FG兩兩互相垂直，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B,FC,FG所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镃E=2EC?,AB=2,AA?=3,D為AC的中點(diǎn)，所以A?B=(2,0,-3),),EB=(1,-設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),,令x=1,解得y=√3,z=-1,點(diǎn)A?到平面BDE的距離為14.(2025-湖南·三模)如圖1,已知球O的半徑R=√3.在球O的內(nèi)接三棱錐D-ABC中.DBI平面ABC,AC⊥BC,AC=√2BC,BD=√6.P,Q