專題01三角函數(shù)的概念與三角恒等變換01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】任意角與弧度制【知能解讀02】三角函數(shù)的概念【知能解讀03】誘導(dǎo)公式【知能解讀04】三角恒等變換公式03破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。重難【重難點突破01】sinα,cosα齊次式中“切弦互化”的技巧【重難點突破03】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則【重難點突破04】尋找角的關(guān)系【重難點突破05】積化和差與和差化積公式04辨·易混易錯：辨析易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。【易混易錯01】忽略角的度量單位的一致性【易混易錯02】忽略終邊相同角的公式中π的系數(shù)的要求，不能分類討論【易混易錯03】應(yīng)用三角函數(shù)的定義求值時遺漏終邊的位置【易混易錯04】應(yīng)用三角函數(shù)的定義求參數(shù)時【易混易錯05】忽略參數(shù)的取值范圍忽略題目隱含范圍致錯【易混易錯06】不能精確確定角的取值范圍導(dǎo)致錯解05點·方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】確定角終邊所在象限的方法【方法技巧02】扇形的弧長與面積應(yīng)用【方法技巧03】三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法【方法技巧04】對sina,cosa,tana的知一求二問題【方法技巧05】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟【方法技巧06】給值求值問題的求解策略【方法技巧07】給值求角問題的求解策略角的相關(guān)概念、終邊相同的角象限角與軸線角角度制、弧度制的概念、象限角與軸線角角度制、弧度制的概念、R弧長公式和面積公式1.三角函數(shù)的概念2.三角函數(shù)的定義域和值域3.2.三角函數(shù)的定義域和值域3.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角三角函數(shù)的概念與三角恒等變換①sin2α=1-cos2a=(1+cosa)(cos2α=1-sin2a=(1+sina)(1-sina).②(sina±cosa)2=1±2sinsin(π+a)=-sina,cos(T+α)=-cosa,tasin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tansin(π-a)=sina,cos(π-a)=-cosa,tan(兩角的和與差/二倍角T輔助角公式半角公式無理/有理形式萬能公式積化和差/和差化積公式盤盤01任意角與弧度制11.角的相關(guān)概念(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.(2)角的表示：如圖，射線OA為始邊，射線OB為終邊，點O為角的頂點.“角α”或“∠α“可簡記(3)角的分類定義圖形正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，(4)相等的角：設(shè)角α由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線OA'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成。如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.(5)角的加、減法①角的加法：設(shè)α,β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.②相反角：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為③角的減法：像實數(shù)減法的”減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)"一樣，我們有α-β=α+(-β).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.22.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={βIβ=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.如圖，-32°角、-392°角和328°角都是以射線OB為終邊的角，它們是終邊相同的角.33.象限角與軸線角(1)象限角、軸線角的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么,角的終邊在第幾象限，便稱此角為第幾象限角。特別提醒如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.(2)象限角的集合①第一象限角：{a|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.(3)軸線角的集合角α的集合特點在x軸的非負(fù)半軸上在x軸的非負(fù)半軸上在y軸的非負(fù)半軸上在y軸的非正半軸上180°的整數(shù)倍集合中角之間的差為90°的整數(shù)倍示，∠AOB為第二象限角，∠AOC為第一象限角，∠COB不能確定是第幾象限角，因為始邊沒有與x軸2.象限角只能反映角的終邊所在的象限，不能反映角的大小，不能說第二象限角大于第一象限角.角α的終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合記為S?,則S?={a|a=k·360°,k∈Z}.角α的終邊在x軸的非正半軸上的角的集合記為S?,則S?={a|α=180°+k·360°,k∈Z}.角α的終邊在x軸上的角的集合記為S,S=S?US?={a|α=k·【真題實戰(zhàn)】(2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測)20240128°所在的象限為()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【知識點】確定已知角所在象限【分析】將20240128°=56222×360°+208°,與208°的終邊相同.∴20240128°所在的象限為第三象限，(1)角度制：用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.規(guī)定1度的角等于周角的(2)弧度制定義角α的弧度數(shù)公式(弧長用/表示)角度與弧度的換算弧長公式弧長1=|a|r角的表示的書寫規(guī)范角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時不能混用，B=2kπ+60°(k∈Z)的寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為α=k-360°+30°(keZ),(1)角度與弧度的互化角度化弧度角度數(shù)度數(shù)弧度化角度(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度弧度0π(3)用弧度表示終邊相同的角：用弧度表示與角α終邊相同的角的一般形式為β=α+2kπ這第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為在弧度制下，軸線角的集合在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{a|a=2kπ,k∈Z};在x軸的非正半軸上的角的集合為{α|α=π+2kπ,k∈Z};在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為軸的非正半軸上的角的集合為6.扇形的弧長公式和面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長為1,圓心角為n°(α為其圓心角的弧度數(shù)，且0<α<2π),則角度制弧度制弧長公式9知識剖析對扇形的弧長公式和面積公式的理解(1)在公式中，已知α,R,1,S中的兩個量可以求出另外兩個量.(2)運用弧度制下的公式時要注意前提：α為弧度數(shù)。(3)在運用公式時，還應(yīng)熟練掌握這兩個公式的相關(guān)變形：【真題實戰(zhàn)1】(2025·山西·三模)如圖所示，被動輪和主動輪的兩個齒輪相互嚙合，被動輪隨主動輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).主動輪有20齒，被動輪有48齒，主動輪的轉(zhuǎn)速為240r/min(轉(zhuǎn)/分),被動輪的半徑為24cm,則被動輪周上一點每1s轉(zhuǎn)過的弧長是_cm.【答案】80π【知識點】弧長的有關(guān)計算【分析】把分鐘轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)換成秒轉(zhuǎn)速問題，然后借助比例來求出被動輪的轉(zhuǎn)速，最后利用弧長公式求解即可.【詳解】由題意知，主動輪的轉(zhuǎn)速為4r/s,則被動輪1s轉(zhuǎn)過的角度大小為所以弧長為(cm).故答案為：80π(cm)【真題實戰(zhàn)2】(2025·甘肅白銀·二模)已知動點P的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個邊長為4的正方形，內(nèi)邊界由四個直徑相同且均與正方形一邊相切的圓的四段圓弧組成，如圖所示，則該陰影區(qū)域的面積為()A.16-4πB.4+πC.4+2πD.12-2π【答案】D【知識點】扇形面積的有關(guān)計算【分析】將圖分為八部分，通過切割的思想即可得結(jié)果.【詳解】如圖，作出輔助線，根據(jù)圖形的對稱性，可知陰影區(qū)域的面積為扇形的面積公式可類比三角形的面積公式記憶，把扇形看成曲邊三角形，弧長1看成成三角形的高，面積等于底乘高除以2,即扇形的面積1.三角函數(shù)的概念1.三角函數(shù)的概念(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)如圖，設(shè)α是一個任意角，α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y),那么:把點P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα,即y=sinα;把點P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa;把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作tana,即,以此比值為函數(shù)值的函數(shù)稱為正切函數(shù).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y=sinx,x∈R;余弦函數(shù)y=cOsx,x∈R;正切函數(shù)y=tanx,注意(1)在三角函數(shù)的概念中，應(yīng)該明確α是一個任意角.(2)要明確sinα是一個整體，不是sin與α的乘積，它是”正弦函數(shù)"的一個記號，就如f(x)表示自變量為x的函數(shù)一樣，單獨的"sin""cos""關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，對于確定的角α,其終邊的位置也隨之確定.①如圖，設(shè)α是一個任意角，P(x,y)是它終邊上任意一點(不與原點O重合),點P與原點的距離是r,那么:a.比值叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα,即b.比值叫做α的余弦函數(shù)，記作cosa,x知識延伸在Rt△ABC中，C=90°,A的對邊與斜與斜邊的比值叫做A的余弦函數(shù)，即;A的對邊與鄰直角邊的比值叫做A的正切函數(shù)，α0π01010001一0一注意三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和P(x,y)位置有關(guān)，對于確定的角α,其終邊的位置也隨之確定.(k∈Z)."的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件分別得出A的值，再由充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】在VABC的充分不必要條件.【真題實戰(zhàn)2】(2025·北京·三模)已知集合,則集合M的元素個數(shù)為()【答案】B【分析】由,求出α,即可求出,進(jìn)而求出的值，可得答案.【詳解】因為,所以或所以若k為偶數(shù)，則若k為奇數(shù)，則或或故選：B.22.三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)定義域值域RR正弦函數(shù)的值域正弦函數(shù)的值域所以已知角α的終邊上除原點外的任一點P(x,),則r=OP=√x2+y2..√y2=y,所以33.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,),那么ax叫做a的余弦，記作cosaa各象限符號I十十十十一一Ⅲ一一十一十一三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線方法總結(jié)口訣記憶：上加下減；左減右加；左斜減，又斜加.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點】由三角函數(shù)式的符號確定角的范圍或象限、誘導(dǎo)公式一、二倍角的正弦公式【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得2cosasina<0,再根據(jù)角α的終邊經(jīng)過點P(-3,m),即可求解.【詳解】因為sin(π+2a)=-sin2a>0,所以sin2α<0,所以2cosasina<0,所以sina,cosa異號，又P(-3,m),所以α在第二象限.則下列三角函數(shù)值中一定大于零的是()A.sin(π+α)B.cos(π-α)C.sin2αD.【分析】先得到sina>0,cosa>0,利用誘導(dǎo)公式和倍角公式得到AB錯誤，C正確，舉出反例得到D錯誤.A選項，sin(π+α)=-sina<0,A錯誤；B選項，cos(π-α)=-cosa<0,B錯誤；C選項，sin2α=2sinacosa>0,C正確；D選項，cos2α=cos2α-sin2α,若,此時cos2α=0,D錯誤.44.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的幾種變形①sin2α=1-cos2α=(1+cosα)cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sina).②(sina±cosa)2=1±2sinacosa.≠辨析比較sin2α與sina2的區(qū)別sin2α是(sina)2的簡寫，讀作"sina的平方",而sina2是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫.如圖，設(shè)點P(x,y)是角α的終邊與單位圓的交點，過P作X軸的垂線，交X軸于M,則△OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理得OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1.顯然，當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時，這個公式也成立.根據(jù)正切函數(shù)的定義，時，有(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的常見變形說明說明sinα=±√1-cos2α,cosα=±√1-sin2a.注意正負(fù)號.(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中的角都是“同一個角”,注意sin2α+cos2β=1不一定成立。"同角"(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是針對使三角函數(shù)有意義的角而言的，sin2α+cos2α=1對一切α∈R恒【知識點】利用平方關(guān)系求參數(shù)、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】根據(jù)平方關(guān)系得到方程，即可求出cosa,sina,再由兩角差的正弦公式計算可得.則sin2α=4(1+cosa)2,則1-cos2α=4(1+cosa)2,解得或cosa=-1(舍去),故選：B.【知識點】二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式、正、余弦齊次式的計算【分析】根據(jù)題意，化簡求解可得tanθ=2,由誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡，再利用齊次式求解即可.即,顯然1+tanθ≠0,可得tanθ=2(1-tane)2,整理得2tan2θ-5tanθ+2=0,解得或tanθ=2,又因為,可得tanθ=2,故答案為：11.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式1公式2sin(π+a)=-sina,cos(π+a)公式3sin(-a)=-sma,cos-a)=cosa,tan(-)=-tana二公式59知識剖析對誘導(dǎo)公式的說明2.在判斷三角函數(shù)值的符號時，可以把α看成銳角。3.誘導(dǎo)公式可以根據(jù)角的終邊的對稱性，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行推導(dǎo)或理解.誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.k"的各三角函數(shù)值的化簡公式.(2)”變”與”不變”是針對三角函數(shù)名稱而言的.當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變.二正弦，三正切，四余弦"的符號規(guī)律確定角k·對應(yīng)三角函數(shù)值的符號.公式一：將任意角轉(zhuǎn)化為0～2π的角求值.公式二：將0～2π的角轉(zhuǎn)化為銳角求值。公式三：將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值。公式四：將的角轉(zhuǎn)化為0~的角求值.公式五和公式六：實現(xiàn)正弦與余弦的相互轉(zhuǎn)化.【知識點】誘導(dǎo)公式二、三、四、二倍角的正切公式、誘導(dǎo)公式一【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正切可求三角函數(shù)式的值.故答案為：【知識點】誘導(dǎo)公式二、三、四、二倍角的余弦公式【分析】由,利用二倍角的余弦公式即可求解.,【知識點】誘導(dǎo)公式五、六、輔助角公式【分析】利用輔助角公式和誘導(dǎo)公式可得,結(jié)合角的范圍，可得可求解.【詳解】因為所以,所以則,故選：D.11.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式變形：tana-tanB=tan(a一B)(1+tanatanB)注意在公式T(a±B)中α,β,a±β都不等于即保證tanα,tanβ,tan(a±β)都有意義.(1)二倍角公式cos2α=cos2α—sin2α=2cos2a-1=1—(2)倍角公式的逆用及變形(3)配方變形1±sin2α=s(4)因式分解變形cos2α=cos2α-sin2α=(cosa-sinα)(cosα+sinα).(5)升冪公式(6)降冪公式33.輔助角公式一般地，函數(shù)fa)=asina+bcosa(a,b為常數(shù))可以化其中【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、誘導(dǎo)公式一、誘導(dǎo)公式二、三、四【分析】利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因為故答案為：【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、輔助角公式【分析】根據(jù)三角恒等變換公式即可得出答案.【詳解】故選：B.(1)半角公式的無理形式(2)半角正切公式的有理形式【知識點】已知正(余)弦求余(正)弦、半角公式【分析】由平方關(guān)系、半角公式即可求解.【詳解】因為且所以所以【真題實戰(zhàn)】(2025-江西新余·模擬預(yù)測)已知則【知識點】已知正(余)弦求余(正)弦、萬能公式、二倍角的余弦公式、和差化積公式【分析】根據(jù)兩角和差的余弦可得再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得,故可求,從而求得所以,故又由于所以66.積化和差與和差化積公式(1)積化和差公式(2)和差化積公式方法總結(jié)和差化積公式的記憶口訣方法總結(jié)和差化積公式的記憶口訣正加正，正在前；余加余，余并肩；正減正，余在前；余減余，負(fù)正弦.(1)盡量使兩角的和(差)出現(xiàn)特殊角；(2)對于特殊角的三角函數(shù)應(yīng)求出其值.【真題實戰(zhàn)】(2025-河北秦皇島·模擬預(yù)測)設(shè)數(shù)列{a?}的前n項和為S,若,則【知識點】積化和差公式、裂項相消法求和【分析】先由積化和差公式化簡得到,再代入S,?=a+a?+…+a?,化簡可得結(jié)果.【詳解】由積化和差公式可得破重點難點1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)有：(1)sina,cosa的二次齊次式(如asin2a+bsinacosa+ccos2a)的問題常采用“切”代換法求解；(2)sinα,cosa的齊次分的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.2、切化弦：利用公式把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切的時候，采用此技巧.【知識點】已知弦(切)求切(弦)、用和、差角的正弦公式化簡、求值、正、余弦齊次式的計算【分析】首先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡分母，再上下同時除以cosθ,用正切表示已知式子，即可求解.【詳解】【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系【分析】由tanθ=2tanα正切化弦得到①