湖南省湖南師大附中2025-2026學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.52．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.3．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.4．已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27186．如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.7．已知呈線性相關(guān)的變量x與y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.78．過點(diǎn)（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長(zhǎng)的直線的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=09．中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則（）A. B.C. D.10．某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.611．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________14．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個(gè)數(shù)記為，如，，則______；令則______15．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層（從上往下）球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則___________，___________.16．已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線的斜率18．（12分）如圖，已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)），直線與直線：相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列19．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.20．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn).（1）求△的外接圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線平行于直線，判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C2、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D3、C【解析】由空間向量共面定理可得點(diǎn)四點(diǎn)共面，從而將求的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)等體積法計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋煽臻g向量的共面定理可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面上，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，由正方體棱長(zhǎng)為，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】共面定理的應(yīng)用：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組使得，說明：若，則四點(diǎn)共面.4、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C5、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.6、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，，所以，故選：B7、A【解析】根據(jù)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.8、A【解析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長(zhǎng)最大時(shí)，直線要經(jīng)過圓心，即圓心在直線上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線被圓截得的弦長(zhǎng)最大，∴直線過圓心，又直線過點(diǎn)（-2，1），所以所求直線的方程為，即故選：A9、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.10、B【解析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個(gè)，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.11、D【解析】直線的斜率為，計(jì)算，，利用余弦定理得到，化簡(jiǎn)知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.12、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.14、①.55②.【解析】令易知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求及通項(xiàng)公式，結(jié)合求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，最后兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項(xiàng)公式，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.15、①.②.【解析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因?yàn)?，，，，，以上個(gè)式子累加，得，則；因?yàn)椋?故答案為：，.16、【解析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出【詳解】線段最短時(shí)，與直線垂直，所以，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得，所以直線的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線的斜率為或18、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由點(diǎn)在橢圓上得到，再由，得到，聯(lián)立方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，及，結(jié)合斜率公式得到，結(jié)合，求得，即可得到，，成等差數(shù)列【詳解】（1）由題意，點(diǎn)在橢圓上得，可得①又由，所以②由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因?yàn)楣簿€，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力19、（1）；（2）詳見解析【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因?yàn)?所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.事實(shí)上，如圖所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出，，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）由（1）得，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，利用分組求和，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為，由，，成等比數(shù)列可知，即，化簡(jiǎn)得.由可得，所以.將代入，得，，所以.小問2詳解】解：由（1）得，所以.21、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.22、（1）；（2）直線與圓O相切，理由見解析.【解析】（1）法1：設(shè)外接圓為，由點(diǎn)在圓上，將