專題03.相似三角形中的基本模型之手拉手模型相似三角形是初中數(shù)學(xué)幾何中的重要內(nèi)容，也是考查頻率最高的知識點之一，常常與其他知識點相結(jié)合，作為壓軸題出現(xiàn)，是中考的常考題型；手拉手模型在全等三角形中是常考的模型之一，相似中的手拉手模型較全等三角形中的手拉手模型要難，同時也更容易被考生所忽略；所以我們在解決此類題型時，需要深入理解該模型，靈活運(yùn)用相關(guān)的結(jié)論可以顯著提高做題效率。本專題重點講解相似三角形的“手拉手”模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型拓展 4模型運(yùn)用 4模型1.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型 4 14“手拉手”模型名稱源于幾何圖形的動態(tài)特征：當(dāng)兩個具有?公共頂點?的相似三角形通過旋轉(zhuǎn)或縮放后，連接對應(yīng)頂點形成的圖形如同兩人“手拉手”。民間數(shù)學(xué)愛好者根據(jù)此特征命名，使其成為幾何解題中的通用術(shù)語。雖模型歸類為現(xiàn)代教學(xué)成果，但其數(shù)學(xué)思想早有體現(xiàn)：7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家?婆羅摩笈多?研究的圓內(nèi)接四邊形定理中，對角線交點與邊的垂足關(guān)系隱含手拉手結(jié)構(gòu)?！笆掷帧蹦Ｐ陀幸韵绿攸c：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉(zhuǎn)并縮放后2個三角形可以重合；3）圖形是任意三角形(只要這兩個三角形是相似的)。1.手拉手相似模型（任意三角形）圖1圖2∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，2.手拉手相似模型（直角三角形）3.手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）圖3圖4∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）(2)已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)點D與點B重合時，①如圖1，k＝1時，AE和FC的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；②如圖2，k＝2時，猜想AE和FC的關(guān)系，并說明理由；(2)BD＝2CD時，②如圖4，k＝2時，點M、N分別為EF和AC的中點，若AB＝10，直接寫出MN的最小值．1．（2024·山東濟(jì)南·一模）某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：2．（2425九年級下·湖北黃岡·期中）某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：【觀察猜想】【探究證明】【拓展應(yīng)用】（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；6．（2425九年級上·河南安陽·階段練習(xí)）（1）觀察猜想：（2）類比探究：（3）拓展應(yīng)用：7．（2425九年級上·山東聊城·期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．(3)若三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D，E，B三點共線，點K仍為線段BD的中點，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

14．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）綜合與實踐：【問題情境】【觀察發(fā)現(xiàn)】【探索猜想】【拓展延伸】(1)求的值；(1)線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；18．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），小組討論后，