第四章銳角三角函數(shù)1.正弦定義：在直角三角形中,我們把銳角α的對(duì)邊與斜邊的比叫作角α的正弦，記作sinα，符號(hào)表示：sinα=符號(hào)表示：sinα=2.余弦定義：在直角三角形中，我們把銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作cosα，即符號(hào)表示：cosα=符號(hào)表示：cosα=常見(jiàn)公式：cosα=sin（90°α）；sinα=cos（90°α）3.正切的定義：在直角三角形中，我們把銳角α的對(duì)邊與鄰邊的比叫作角α的正切，記作tanα符號(hào)表示：tanα=符號(hào)表示：tanα=4.特殊銳角的三角函數(shù)值，如下表α30°45°60°Sinα123Cosα321Tanα313我們把銳角α的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱(chēng)為角α的銳角三角函數(shù)。常見(jiàn)公式：sinα2+5.在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素。像這樣，我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過(guò)程叫作解直角三角形。圖示已知條件解法兩邊兩直角邊c=a2+b2，求B=90°A斜邊與直角邊（a、c）b=c2?a2求B=90°A 一邊和一銳角直角邊與銳角一銳角與它的鄰邊（∠A與b）B=90°A；a=b一銳角與它的對(duì)邊（∠A與a）B=90°A；b=a斜邊與銳角（∠A與c）B=90°A；a=c一、混淆三角函數(shù)定義錯(cuò)誤表現(xiàn)：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）對(duì)應(yīng)的邊比關(guān)系。正確方法：sinθ=對(duì)邊斜邊；cosθ=鄰邊斜邊示例：若∠A的對(duì)邊為3，斜邊為5，則sinA=35【典例1】(2425九上·海南省海口市海南華僑中學(xué)·期中)如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BCA．267 B．265 C．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)∵AB=∴BD=∴在Rt△ABD中，∴sinB故選：A．【典例2】(2425九上·山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)陳毅中學(xué)·期中)如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC=3A．34 B．43 C．45【答案】C【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)證明∠BCD=90°?∠ACD本題考查了余角的性質(zhì)，勾股定理，余弦的定義，熟練掌握定義和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCD∵BC=3，AC∴AB=∴cos∠故選：C．【典例3】(2425九上·黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)·期中)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線(xiàn)BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接DF，那么∠EDF的正切值是（A．2 B．12 C．55 【答案】A【分析】由折疊可得AE=EF，∠AEB本題考查了三角形的外角性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解直角三角形．【詳解】解：由折疊可得AE正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE∴DE∴∠EDF∵∠AEF是△∴∠AEF∴∠∴∠AEB∴tan∠故選：A．二、忽視直角三角形的隱含條件錯(cuò)誤表現(xiàn)：忽略勾股定理或兩銳角互余（和為90°）。關(guān)鍵點(diǎn)：勾股定理：a2+b2=c2（c為斜邊）。角度關(guān)系：若∠A=30°，則∠B=60°?！镜淅?】(2425九上·江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)·期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=3,AC=1,CDA．223 B．22 C．2【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出cosB的值，再證明∠【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∴BC=∴cosB∵CD⊥∴∠ACD∴∠ACD∴cosα故選：A．【典例2】(2425九上·山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)陳毅中學(xué)·期中)如圖所示，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠CABA．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在△CDA本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)根據(jù)題意，得CD=4,在△CDAAC=∴sin∠故選：D．【典例3】(2425九上·柯橋區(qū)·期中)如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BCA．1 B．23 C．322【答案】C【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)(在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半)以及三角形中位線(xiàn)定理(三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半)；利用AD在兩個(gè)直角三角形中的關(guān)系求出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)度，最后根據(jù)中位線(xiàn)定理求出EF的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AD⊥∴∠ADC在Rt△ADC中，∴DC=AD，在Rt△ADB中，∴AB=2由勾股定理得：BD=∵BC=BD∴3AD解得：AD=3∴AC=∵E、F分別為∴EF是△ABC∴EF=故選：C．三、多解問(wèn)題漏解場(chǎng)景：已知兩邊但未明確直角邊或斜邊時(shí)。示例：已知兩邊為3和4：若3和4為直角邊，斜邊5；若3為直角邊、4為斜邊，另一直角邊7。【典例1】(2425九上·黑龍江省哈爾濱市第一一三中學(xué)·期中)在△ABC中，若AB=6，∠B=60°，AC【答案】4或2【分析】此題考查了勾股定理及解直角三角形，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，分點(diǎn)D在BC上和點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，解直角三角形求出BD=3，AD=33【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，點(diǎn)①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，∵AB=6，∠∴BD=AB?∵AC=2∴CD=∴BC=②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得：BD=3，CD∴BC=故答案為：4或2【典例2】(2425九上·黑龍江省哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)·期中)四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在AC上，若AB=4，tan∠PDO=1【答案】2或3【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)．先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OB=OD,【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB∵AB=4∴AO=∴OD=2當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上時(shí)，tan∠∴OP=∴AP=當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得AP=∴AP的長(zhǎng)為2或32故答案為：2或32【典例3】(2425九上·重慶市第一中學(xué)?！て谥?在△ABC中，cos∠ABC=1【答案】3或5【分析】本題考查了勾股定理，解非直角三角形問(wèn)題，根據(jù)題意，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，分類(lèi)討論求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)解直角三角形的方法，在△ABC中，cos∠ABC=12，則得到∠ABC【詳解】解：∵在△ABC中，cos∴∠ABC∵在△ABC中，∠ABC=60°，AB∴AB?分兩種情況討論：①AD⊥BC，設(shè)在Rt△ABD中，∠ADB=90°，則BD=在Rt△ACD中，∠ADC=90°，則CD=∴BC②AD⊥BC，令在Rt△ABD中，∠ADB=90°，則BD=在Rt△ACD中，∠ADC=90°，則CD=∴BC綜上所述，BC的長(zhǎng)為3或5，故答案為：3或5．四、計(jì)算過(guò)程中的近似誤差錯(cuò)誤場(chǎng)景：在計(jì)算解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，沒(méi)注意到題目是讓保留根號(hào)還是保留小數(shù)。建議：中間步驟保留根號(hào)或分?jǐn)?shù)（如2、13最終結(jié)果按題目要求保留小數(shù)位數(shù)?！镜淅?】(2425九上·吉林省長(zhǎng)春高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)慧谷學(xué)校·期中)如圖①是一款手機(jī)支架，當(dāng)手機(jī)支架打開(kāi)時(shí)如圖②所示，其中BC=8cm，∠A=45°，∠ABC=95°，求AC的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm【答案】11.3【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，可得△BDA是等腰直角三角形，再解Rt△BDC【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)∵∠A∴∠DBA∴DB=∵∠ABC∴∠DBC∴DC=BC×∴AD=∴AC=答：AC的長(zhǎng)為11.3cm【典例2】(2425九上·安徽省阜陽(yáng)市臨泉縣長(zhǎng)官中學(xué)·期中)小海和小亮兩人相約一起去參觀革命烈士紀(jì)念館．已知小海家B在小亮家A的北偏西25°方向上，AB=5km．兩人到達(dá)革命烈士紀(jì)念館C處后，發(fā)現(xiàn)小亮家A在革命烈士紀(jì)念館C的南偏西25°方向上，小海家B在革命烈士紀(jì)念館C的南偏西70°方向上．求小亮家A到革命烈士紀(jì)念館C的距離AC．（結(jié)果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：【答案】小亮家A到革命烈士紀(jì)念館C的距離AC約為7.1【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形，解直角三角形求解．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，先解Rt△ADB求出AD,DB，再解【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為由題意，得∠BAC∠BCA在Rt△ABD中，∴AD=BD=在Rt△BDC中，∴AC=答：小亮家A到革命烈士紀(jì)念館C的距離AC約為7.1km【典例3】(2425九上·湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)·期中)2022年11月29日，搭載神舟十五號(hào)載人飛船的運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．運(yùn)載火箭從發(fā)射點(diǎn)O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A處時(shí)，在地面雷達(dá)站C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為30°，在地面雷達(dá)站B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°．已知AC=20km，O、B、C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，求B、【答案】(10【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角問(wèn)題；先由AC=20km，∠ACO=30°得AO、OC的長(zhǎng)度，再由∠ABO【詳解】解：∵AC=20km，∴AO=20sin30°=20×∵∠ABO∴OB=∴BC=答：B、C兩個(gè)雷達(dá)站之間的距離為(103重難點(diǎn)01求角的正弦值、余弦值或正切值【典例1】(2526九上·河北石家莊第十七中學(xué)·期中)如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC=5，A．35 B．247 C．2425【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，作出正確的輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥∵AB=∴AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=在Rt△ABD中，∴S△∵S△∴1BE=∴sinBAC故選C．【變式11】(2526九上·山東濟(jì)寧第十五中學(xué)·期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC=3A．35 B．45 C．34【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)．先由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由S△ABC=【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=∵CD⊥∴S△即12解得：CD=∴cos∠故選：B【變式12】(2425九下·江蘇蘇州外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校宿遷分?！て谥?如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)A．2 B．223 C．75【答案】A【分析】本題主要考查了解直角三角形及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，熟知直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半及正切的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得出DC=DA，進(jìn)一步得出∠ACD=∠A，令A(yù)E【詳解】解：由題知，令A(yù)E=m，則∴AB=∵∠ACB=90°，且點(diǎn)D為∴CD=∴DE在Rt△CE∵CD=∴∠在Rt△tanA所以tan故選：A．【變式13】(2425九上·遼寧大連第十四中學(xué)·期中)在Rt△ABC中，∠CA．sinA=1213 B．tanA=【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理．先利用勾股定理計(jì)算出c，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠C∴c=∴sinA=ac=513故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．重難點(diǎn)02利用正弦值、余弦值或正切值求邊長(zhǎng)【典例2】(2425九上·重慶巴渝學(xué)?！て谥?如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinAA．6 B．3 C．8 D．10【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根據(jù)正弦的定義求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C∴BCAB∵AB=10∴BC=6∴AC=故選：C．【變式21】(2425九上·福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)·期中)三角函數(shù)sin70°，cos70°，tan70°A．sin70°>cos70°>C．tan70°>sin70°>【答案】C【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比較sin70°【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°<1又∵cos70°=∴sin70°>∴tan70°>故選C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)．掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式22】(2425九上·江蘇蘇州高新區(qū)·期中)已知12<cosA．60°<A<80° B．30°<A<80° C．【答案】C【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：∵∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯(cuò)．重難點(diǎn)03互余兩角的三角函數(shù)值【典例3】(2425九下·上海普陀區(qū)·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinAA．23 B．32 C．53【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解，即可得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C∴BC∴cos故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值．【變式31】(2324九上·江蘇常州武進(jìn)區(qū)武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校·期中)如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，若E，【答案】2【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，余弦，中位線(xiàn)．熟練掌握等角對(duì)等邊，余弦，中位線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和得，∠BAD=45°，∠CAD=30°，則AD=BD=【詳解】解：∵∠B=45°，∠C∴∠BAD∴AD=BD=∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC∴EF=故答案為：2．【變式32】(2425九上·黑龍江哈爾濱虹橋初級(jí)中學(xué)?！て谥?已知△ABC，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，EF⊥AC，若【答案】4【分析】如圖，連接AD、ED，則DE=12AC=AE=BE，DE∥AC，∠DEF=90°，tan∠EFD=DEEF，設(shè)DE=a，EF=b，則AE=a，AC=2a【詳解】解：如圖，連接AD、ED，∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E為∴DE=∵EF⊥∴∠EFA∴∠DEF∴tan∠設(shè)DE=a，∴ab=3由勾股定理得，AE2?解得，b=22或∴a=3∴AC=6如圖，作DG⊥AC于G，則四邊形∴FG=DE=3∴CG=由勾股定理得，CD=∴BC=2故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了中位線(xiàn)，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，正切，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握中位線(xiàn)，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，正切，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)04銳角三角函數(shù)與網(wǎng)格問(wèn)題【典例4】如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（

A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．連接AD，先利用勾股定理的逆定理證明△ABD是直角三角形，從而可得∠ADB=90°【詳解】解：如圖：連接AD，由題意得：ADBDAB∴AD∴△ABD∴∠ADB在Rt△ABD中，AD=∴sinB故選：A．【變式41】(2425九下·云南第二學(xué)區(qū)·期中)在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，則cosA．2 B．12 C．55 【答案】D【分析】本題考查勾股定理與格點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理的逆定理，正切的定義等．利用格點(diǎn)和勾股定理求出△ABO各邊長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理可證△ABO是直角三角形，再利用余弦函數(shù)的定義即可求出【詳解】解：連接AB，∵AB=12+22∴AB∴△ABO是直角三角形，∠∴cos∠故選：D．【變式42】(2425九上·遼寧鞍山鐵西區(qū)·期中)如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanC的值為（A．22 B．12 C．1【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．取格點(diǎn)D，連接BD，先利用勾股定理的逆定理證明△BDC是直角三角形，從而可得∠C=90°，然后在【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，連接BD，由題意得：BD=CD=BC=∵CD2+即CD2∴△BDC∴∠C∴tan故選：C．重難點(diǎn)05特殊三角函數(shù)值混合運(yùn)算【典例5】(2324九上·廣東揭陽(yáng)揭西縣興賢實(shí)驗(yàn)學(xué)?！て谥?計(jì)算：2【答案】1【分析】本題主要考查特殊三角函數(shù)值及零次冪，熟練掌握特殊三角函數(shù)值及零次冪是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)特殊三角函數(shù)值及零次冪進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式==1+1?=1．【變式51】(2425九下·福建漳州漳浦縣·期中)計(jì)算：?2【答案】3+【分析】先分別計(jì)算乘方、絕對(duì)值、零次冪以及三角函數(shù)值，再進(jìn)行加減運(yùn)算得出結(jié)果．本題主要考查了有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?2=4+=3+【變式52】(2425九上·山東煙臺(tái)福山區(qū)臧家莊中學(xué)·期中)計(jì)算：tan30°×【答案】1【分析】先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再分別計(jì)算二次根式乘法與減法運(yùn)算、去絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，最后根據(jù)分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算求解即可得到答案．【詳解】解：tan===1【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)值、二次根式混合運(yùn)算、去絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算等知識(shí)．熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)06由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀【典例6】若3tanA?3A．是直角三角形 B．是等邊三角形C．是含有60°的任意三角形 D．是頂角為鈍角的等腰三角形【答案】A【分析】由已知可得tanA，cosB，從而可得∠A【詳解】解：∵3tan∴3tanA=3∴tanA=3∴∠A=60°，∴∠A∴△ABC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，直角三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值．【變式61】在△ABC中，2cosA?22+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得2cosA?23=0，1?tanB=0【詳解】解：∵2∴2cosA∴2cosA∴cosA=∴∠A=45°∴∠C=180°?∠∴△ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【變式62】△ABC中，∠A,∠B均為銳角，且tanB【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性可得tanB=3【詳解】由絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性得：tanB解得tanB∵在△ABC中，∠∴∠A∴△ABC故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．重難點(diǎn)07解直角三角形求線(xiàn)段長(zhǎng)度【典例7】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosAA．2 B．3 C．25 D．【答案】D【分析】本題主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)余弦的定義得出AC與AB的關(guān)系，再結(jié)合BC長(zhǎng)及勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在Rt△cosA∴AC=根據(jù)勾股定理得，AC又∵BC=5∴23解得AB=3故選：D．【變式71】(2425九上·江蘇蘇州蘇州工業(yè)園區(qū)星港，東沙湖，景城三校·期中)如圖，在直角三角形ACD中，∠C=90°,∠A=30°,∠DBC=60°，A．253米 B．25米 C．252米【答案】A【分析】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用外角的性質(zhì)推出∠ADB=∠A【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠ADB∴∠ADB∴AB=∴CD=故選：A．【變式72】(2425八下·福建福州臺(tái)江區(qū)·期中)如圖，在△ABC中，∠BAC=135°，?ABA．25 B．42 C．210【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，作CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，求出△CAD是等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理得出AD【詳解】解：如圖，作CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于∵∠CAB∴∠CAD∴△CAD∴AD=∵AD2+CD∴AD=∴BD=∴BC=故選：C．【變式73】(2425九下·甘肅平?jīng)銮f浪縣集團(tuán)校·期中)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC=60°，BD=43，則A．4 B．26 C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=43，∴AC⊥BD，∴BO=∴AO=2∴AB=4∴AB=∵E為AD的中點(diǎn)，AC⊥∴OE=故選：C．重難點(diǎn)08解直角三角形綜合【典例8】(2425九上·江蘇蘇州蘇州工業(yè)園區(qū)星港，東沙湖，景城三?！て谥?如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求tan∠【答案】(1)12(2)1【分析】本題考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，勾股定理，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出DE與BC的長(zhǎng)度．（1）設(shè)DE=3x，由于sinA=3（2）設(shè)BC=y，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及sinA【詳解】（1）解：設(shè)DE=3∵DE⊥AB，sinA∴35=sin∴AD=5∴AD∴5x∴x=4或x∴DE=3×4=12∵BD是△ABC的角平分線(xiàn)，∠C=90°∴CD=∴CD的長(zhǎng)為12；（2）解：設(shè)BC=在Rt△BCD和BD=∴Rt△∴BC=∵∠C=90°，AE=16∴AB=∴BCAB∴y16+解得：y=24經(jīng)檢驗(yàn)：y=24∴BC=24∴tan∠【變式81】(2324八上·寧夏銀川第四中學(xué)·期中)如圖，已知CD與AD互相垂直．經(jīng)測(cè)量得AB=43，BC=10，∠(1)求出AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求出CD的長(zhǎng)．【答案】(1)AD(2)CD【分析】本題考查用特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)．（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BG⊥CD于點(diǎn)G，解Rt△ABF可求得AF，BF，解Rt△BDF可求得（2）易證四邊形BFDG為正方形，則BG=DF=BF=DG，在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理即可求得【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BG⊥CD于點(diǎn)G，則∴BF=ABsin∴DF=∴AD=6?2（2）解：∵BG⊥CD，BF⊥∴四邊形BFDG為矩形．又∵∠BDC∴BG=∴矩形BFDG為正方形，∴BG=在Rt△BCG中，BC=10∴CG=∴CD=6+8=14【變式82】(2425九下·寧夏吳忠第六中學(xué)·期中)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=CD，(1)求證：AC=(2)點(diǎn)E在BC邊上，滿(mǎn)足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CE的長(zhǎng)為5，tan∠【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)證明△ABC≌△DCB（2）作OH⊥BC于點(diǎn)H，由AB=6,BC=8，求得AC=10，接著證明四邊形ABCD是平行四邊形，得到OC的長(zhǎng)度，則CE=OC=OA=5【詳解】（1）證明：在△ABC和△AB=∴△ABC∴AC=（2）作OH⊥BC于點(diǎn)H∵∠ABC∴∴BD∵∠ABC∴∠ABC∴AB∵AB∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC=OA∴OB∵∠CEO∴CE∵OB=OC∴∴∵∵AB=6，BC∴∴∴CE的長(zhǎng)為5，tan∠重難點(diǎn)09解直角三角實(shí)際應(yīng)用之仰角俯角問(wèn)題【典例9】小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽(yáng)臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽(yáng)臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過(guò)樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點(diǎn)E，C，B在同一直線(xiàn)上．此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B的俯角α=22°，點(diǎn)A的仰角β=16.7°，并測(cè)得EF=48m，F(xiàn)D=50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點(diǎn)F，D，B在同一水平直線(xiàn)上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：【答案】56.00【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EF于G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，根據(jù)正切的定義分別求出EG，【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EF于G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥∵EF⊥FB，CD⊥∴得矩形CDFG，矩形EFBH，∴CG=FD在Rt△CGE中，CG=50則EG=∴CD在Rt△EFB中，EF=48則EF=∴48≈FB∴FB在Rt△AHE中，EH=則AH=∴AB∴AB答：樓AB與CD的高度差約為56.00m【變式91】如圖，地面上小山的兩側(cè)有A、B兩地，為了測(cè)量A、B兩地的距離，讓一熱氣球從小山西側(cè)A地出發(fā)沿與AB成30°角的方向，以每分鐘50m的速度直線(xiàn)飛行，8分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得CB與AB成70°角，請(qǐng)你用測(cè)得的數(shù)據(jù)求A，B兩地的距離AB長(zhǎng)．（3取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°【答案】AB長(zhǎng)為260【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，通過(guò)解Rt△ACM得到AM和CM的長(zhǎng)度，通過(guò)解Rt△【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)由題意得：AC=50×8=400在Rt△∵∠A∴CM=∴AM=在Rt△BCM中，∵∴∠BCM∵tan∠∴BM=200∴AB=200=200=200=260（m），因此A，B兩地的距離AB長(zhǎng)為260m【變式92】(2025·河北省邯鄲市·模擬)如圖，甲在樓房上的點(diǎn)N處測(cè)得斜坡l的坡底點(diǎn)A的俯角為60°，乙在樓房頂端點(diǎn)M處測(cè)得斜坡l上的點(diǎn)B處的俯角為45°，AP=10m，AB=8m(1)求斜坡l的坡角∠BAC(2)求點(diǎn)M與點(diǎn)N的高度差．【答案】(1)30°(2)點(diǎn)M與點(diǎn)N的高度差為14?6【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)（正弦、正切）的應(yīng)用及解直角三角形的知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用已知條件和三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算未知量，特別是正確識(shí)別和應(yīng)用俯角、坡角等概念，以及靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．（1）通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用已知的點(diǎn)B到地面距離和AB長(zhǎng)度，根據(jù)三角函數(shù)正弦值求出∠BAC（2）先分別求出NF和MF的長(zhǎng)度，再通過(guò)兩者相減得到點(diǎn)M與點(diǎn)N的高度差．【詳解】（1）解：過(guò)B作BE⊥AP于在Rt△∵AB=8m∴AE∴tan∴∠BAC答：斜坡l的坡角∠BAC的度數(shù)為30°（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MP于F，則EP=∵∠MBF∴MF∵∠ANP=90°?60°=30°，∴AN∴NF∴MN答：點(diǎn)M與點(diǎn)N的高度差為14?63重難點(diǎn)10解直角三角實(shí)際應(yīng)用之方位角問(wèn)題【典例10】(2425九上·山東威海經(jīng)開(kāi)區(qū)（五四制）·期中)在東西方向的海岸線(xiàn)l上有一長(zhǎng)為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西14.5km處有一觀察站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距30km的B處；經(jīng)過(guò)1小時(shí)20分鐘，又測(cè)得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距63(1)求該輪船航行的速度；(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)該輪船航行的速度為97(2)輪船能正好行至碼頭MN靠岸，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，勾股定理，含30°角的直角三角形三邊之間的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題目信息并作出輔助線(xiàn)構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵（1）先求出∠BAC=90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到（2）作BR⊥AN于R，作CS⊥AN于S，延長(zhǎng)BC交l于T，然后求出CS、AS、AR、BR，然后利用【詳解】（1）解：∵∠1=30°,∠2=60°，∴∠BAC∴△ABC∵AB=30∴BC=∵1小時(shí)20分鐘=11∴127故該輪船航行的速度為97（2）能；理由如下：作BR⊥AN于R，作CS⊥AN于S，延長(zhǎng)BC交∵∠2=60°，∴∠4=90°?60°=30°．∵AC=6∵CS=又∵∠1=30°，∴∠3=90°?30°=60°．∵AB=30∴AR=∵CS∥∴△STC∴ST解得：ST=6∴AT=6+9=15又∵AM=14.5km,∴AN=15.5∵14.5<AT故輪船能夠正好行至碼頭MN靠岸．【變式101】(2425九上·海南?？诤Ｄ先A僑中學(xué)·期中)如圖，在一條筆直的海岸線(xiàn)上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘船從A處沿北偏西60°方向出發(fā)，以每小時(shí)40海里速度行駛半小時(shí)到達(dá)P處，從B處測(cè)得小船在它的北偏東45°的方向上．(1)求AB的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小船沿射線(xiàn)AP的方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測(cè)得小船在北偏西15°的方向．求BC的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)10+103(2)52【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用之方向角的問(wèn)題，其中涉及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、余弦、三角形內(nèi)角和、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，利用余弦定義解出AP、AD的長(zhǎng)，再由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解得（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解得BF的長(zhǎng)，在Rt△【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)在Rt△PAD中，∠ADP∵cos∠PAD∴ADPD=在Rt△PBD中，∠BDP∴BD∴AB（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)在Rt△ABF中，∠AFB∴BF∴在△ABC中，∠在Rt△BCF中，∠BFC∴BC∴BC的距離為5【變式102】(2324八上·河南安陽(yáng)第十中學(xué)、七中、十一中等十校聯(lián)考·期中)如圖，某快艇由西向東航行，在M處測(cè)得燈塔P的方位是北偏東75°，又繼續(xù)航行10海里，在N處測(cè)得燈塔P的方位是北偏東60°，(1)此時(shí)快艇與燈塔P的距離NP是多少海里．(2)若把“燈塔”改為“小島”，小島點(diǎn)P方圓4.5海里內(nèi)有暗礁，如果快艇繼續(xù)向東航行，請(qǐng)問(wèn)快艇有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)10（海里）(2)該快艇繼續(xù)向東航行，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)定理，含30°的直角三角形等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)．（1）過(guò)P作PD⊥MN于點(diǎn)D，利用直角三角形的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)，利用三角形的外角性質(zhì)求出（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)P作PD⊥MN于點(diǎn)∵∠PND=90°?60°=30°∴∠MPN∴∠PMN∴NP=（2）解：由（1）得PN=10，∠∴PD=∴該快艇繼續(xù)向東航行，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．重難點(diǎn)11解直角三角實(shí)際應(yīng)用之坡度坡比問(wèn)題【典例11】(2425九上·遼寧鞍山鐵西區(qū)·期中)如圖，某大樓AB正前方有一棟小樓ED，小明從大樓頂端A測(cè)得小樓頂端E的俯角為45°，小樓底端D到大樓前梯坎BC的底端C有80米，梯坎BC長(zhǎng)65米．梯坎BC的坡度i=1:2.4，求大樓AB的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin24°≈0.41，cos【答案】203米【詳解】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：EF⊥AB,EF=DH,AE∥EF∥BG，從而可得∠EAF=∠AEF=45°，∠FEB=∠EBG=24°，再根據(jù)已知易得BHCH=5【分析】解：如圖：由題意得：EF⊥AB，∴∠EAF=∠AEF∵梯坎BC的坡度i=1:2.4∴BH∴設(shè)BH=5x米，則在Rt△BCH中，∵BC=65∴13x∴x=5∴BH=25米，CH∵CD=80∴EF=在Rt△EFB中，在Rt△AEF中，∴AB=∴大樓AB的高度約為203米．【變式111】(2025九下·陜西省西安市·期中)如圖，在河流的右岸邊有一高樓AB，左岸邊有一坡度i=1:2(坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱(chēng)為坡度)的山坡CF，點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上，CF與AB在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量樓AB的高度，在坡底C處測(cè)得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面CF上行了20米到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)在D處測(cè)得樓頂A的仰角為14°．求樓AB的高度．(濺角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5≈2.24，sin14°≈0.24，【答案】17.9米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．由題意得：DE⊥EC，CD=20米，根據(jù)已知山坡CF的坡度i=1:2，可設(shè)DE=x米，則CE=2x米，然后在Rt△DEC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出DE的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，根據(jù)題意可得：DE=BG=45米，DG=【詳解】解：由題意得：DE⊥EC，∵山坡CF的坡度i=1：2∴DECE∴設(shè)DE=x米，則在Rt△DEC中，CD=DE∴5x解得：x=4∴DE=4過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為由題意得：DE=BG=4設(shè)BC=∵EC=8∴DG=在Rt△ABC中，∴AB=BC?tan45°=在Rt△ADG中，∴AG=∴AB=∴0.25x解得：x=8∴AB=85≈17.9(∴樓AB的高度約為17.9米．【變式112】(2425九下·江西撫州高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)·期中)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，還能加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，如圖，斜坡AD的坡度i=1:1，AD=62m，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿BC頂部B的仰角為45°，在點(diǎn)A處測(cè)得旗桿BC頂部(1)求點(diǎn)D離水平地面的高度DE；(2)求旗桿BC的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)6(2)18+6【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)、構(gòu)造直角三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)坡度的定義以及已知條件可得∠EAD（2）如圖：過(guò)D作DF⊥BC，則四邊形EDCF是矩形可得EC=DF,CF=DE=6，結(jié)合∠BDF=45°可得DF【詳解】（1）解：∵斜坡AD的坡度i=1:1∴DE=∴∠EAD∵AD=6∴DE=∴點(diǎn)D離水平地面的高度DE為6．（2）解：如圖：過(guò)D作DF⊥BC，則四邊形∴EC=∵∠BDF∴DF=由（1）可得：DE=設(shè)BF=a，則AC=∴tan∠BAC=BCAC∴BF=12+6∴BC=重難點(diǎn)12解直角三角實(shí)際應(yīng)用之跨學(xué)科問(wèn)題【典例12】如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．已知試管，AB=30cm，BE=13(1)求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度；(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽MN，延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且MN⊥CF（點(diǎn)C、D、N、F在一條直線(xiàn)上），經(jīng)測(cè)得：DE=21.7cm，MN=8【答案】(1)酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度為19.6(2)線(xiàn)段DN的長(zhǎng)度為21.8【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得BE=10cm，AE=20cm，利用三角函數(shù)可得GE=AE?（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CF于點(diǎn)H，BP⊥DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BH于點(diǎn)Q，利用三角函數(shù)可解得BP，EP的值，再證明△QBM【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)∵AB=30cm，∴BE=10cm，∵∠AEG∴GE=∴CD=答：酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度為19.6cm（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CF于點(diǎn)H，BP⊥DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)M作則BP=BE?∵DE=21.7∴PD=∴BH=∵M(jìn)N=8∴QH=8∴BQ=∵∠ABM∴∠QBM∴∠QMB∴QM=∴DN=答：線(xiàn)段DN的長(zhǎng)度為21.8cm【變式121】(2425九上·福建莆田哲理中學(xué)·)我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線(xiàn)從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n=sinαsinβ觀察實(shí)驗(yàn)：為了觀察光線(xiàn)的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，利用激光筆MN發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時(shí)，光斑恰好落在B處，加水至EF處，光斑左移至C處．圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，GH為法線(xiàn)，測(cè)得BF=36cm，DF=48(1)求入射角α的度數(shù)；(2)若光線(xiàn)從空氣射入水中的折射率n=43【答案】(1)入射角約為53°；(2)光斑移動(dòng)的距離為21cm【來(lái)源】福建省莆田市哲理中學(xué)20242025學(xué)年上學(xué)期數(shù)學(xué)九年級(jí)第三次綜合訓(xùn)練卷【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形邊角關(guān)系以及“折射率”的定義是正確解答的前提．（1）設(shè)法線(xiàn)為MN，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BDN=∠DBF（2）根據(jù)n=sinαsinβ=43，先求出sinβ=35，再作【詳解】（1）如圖，設(shè)法線(xiàn)為MN，則MN∥

∴∠BDN=∠∵BF=36cm∴tan∵tan∴入射角約為53°，∴a（2）∵n=43∴sinα∴sinβ作DH⊥

sinβ=設(shè)CH=3x，CD=5∴4x解得：x=9∴CH∴BC答：光斑移動(dòng)的距離是21cm【變式122】(2425下·廣東佛山三水區(qū)·期中)綜合與實(shí)踐【教材重現(xiàn)】北師大版九年級(jí)下冊(cè)教科書(shū)第9頁(yè)例2：如圖1，一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差（結(jié)果精確到0.01實(shí)際上，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，由于受摩擦力等其他因素的影響，兩邊擺動(dòng)的角度一定不相同．某興趣小組去到公園進(jìn)行實(shí)地探究，測(cè)量了若干數(shù)據(jù)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)如圖3，秋千沒(méi)擺動(dòng)時(shí)，秋千的踏板離地面是0.7m，將它往左拉1.5m，此時(shí)踏板離地面1.2m(2)如圖4，在（1）的條件下，釋放踏板，測(cè)得秋千擺動(dòng)到右側(cè)時(shí)與豎直方向的夾角∠AOD為34°，求秋千踏板在B、D處的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.559，cos34°≈0.829，tan【答案】(1)2.5(2)0.07【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA，則四邊形BENM是矩形，設(shè)秋千鏈子OA的長(zhǎng)度為（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，由（1）可知，OD=【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥∵∠BMN=∠∴四邊形BENM是矩形，∴EN=1.2m∵AN∴AE設(shè)秋千鏈子OA的長(zhǎng)度為xm則OB=OA=在Rt△ABE中，∴x解得：x=2.5即秋千鏈子OA的長(zhǎng)度為2.5m（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)由（1）可知，OD=在Rt△AFD中，∴OF∴點(diǎn)D離地面高度為2.5+0.7?2.0725=1.1275m∴秋千踏板在B、D處的高度差為1.2?1.1275=0.0725≈0.07m重難點(diǎn)13解直角三角實(shí)際應(yīng)用之其他問(wèn)題【典例13】(2425九下·江蘇鹽城初級(jí)中學(xué)（康居路）·期中)消防車(chē)是消防救援的主要裝備，圖1是某種云梯消防車(chē)，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)D、B、O在同一直線(xiàn)上，DO可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿（長(zhǎng)度可以變化），點(diǎn)O，A，C在同一水平線(xiàn)上，OC與地面平行，其中BD可伸縮，云梯OD的最大長(zhǎng)度為15米，套管OB的長(zhǎng)度不變．(1)在某種工作狀態(tài)下測(cè)得，∠BAC=45°，∠DOC=37°，(2)如圖3，先將云梯OD伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度15米，再將∠DOC從37°增加到某一角度時(shí)，若云梯頂端D的鉛直高度升高了3米，求∠DOC增加的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35【答案】(1)1米(2)16°【分析】本題主要考查解直角三角形的運(yùn)用，構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)B作BT⊥OC于點(diǎn)T，在Rt△OBT中，sin∠BOT=sin37°=BTOB，cos（2）算出增加角度前后云梯頂端D到OC的距離，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)求得∠D【詳解】（1）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥OC于點(diǎn)T，∠BAC在Rt△OBT中，sin∠∴BT=OB?∵∠BAT∴AT∴OA答：OA的長(zhǎng)為3米；（2）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OC于點(diǎn)當(dāng)∠DOC=37°時(shí)，云梯頂端D到OC的距離為∴增加角度后云梯頂端D到OC的距離為9+3=12m在Rt△DHO中，由cosD∴∠DOH∴∠DOC增加的度數(shù)為53°?37°=16°【變式131】(2025·江西省南昌市·一模)“垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境，從我做起”，圖1是一種搖蓋垃圾桶的實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其蓋子PAQ可整體繞點(diǎn)A所在的軸旋轉(zhuǎn)．現(xiàn)測(cè)得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，(1)如圖3，將PAQ整體繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α，當(dāng)AQ∥BE時(shí)，求(2)求點(diǎn)A到CD的距離．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin80°≈0.98，cos80°≈0.17【答案】(1)30°(2)99.4【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意，可以求解∠ABE和∠AEB的度數(shù)，根據(jù)AQ∥（2）過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BE，垂足為M，過(guò)C點(diǎn)作CN⊥BE，垂足為N，根據(jù)AM平分BE，求得AM，求得【詳解】（1）解：∵AB=AE∴∠ABE∵AQ∥∴∠QAE∴∠α故α=30°（2）解：如圖：過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BE，垂足為M，過(guò)C點(diǎn)作CN⊥∵AM⊥BE，∴AM平分BE而∠∴在Rt△AEM中，又∵CN∴∠BNC∴在Rt△BCN中，∠ABC∴∠CBN∴sin∴CN∴AM∴A到CD的距離為99.4【變式132】(2425九下·湖南長(zhǎng)沙一中集團(tuán)·期中)2025年長(zhǎng)沙將再增一座跨江大橋，長(zhǎng)沙興聯(lián)路大橋目前已完成合龍全線(xiàn)貫通，建成通車(chē)后將大大縮短湘江兩岸通行時(shí)間．興聯(lián)路大橋區(qū)域交通簡(jiǎn)化示意圖如圖所示，線(xiàn)段AB表示湘江北路，長(zhǎng)度2km，線(xiàn)段BC表示三汊磯大橋，長(zhǎng)度2.3km，線(xiàn)段CD表示瀟湘北路，長(zhǎng)度3.7km，折線(xiàn)段AED表示興聯(lián)路大橋跨江部分，∠(1)計(jì)算興聯(lián)路大橋跨江部分線(xiàn)段AE+DE的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到0.1km(2)興聯(lián)路大橋通車(chē)前，從A地駕車(chē)前往D地，需繞行三汊磯大橋，按A→B→C→D路線(xiàn)行駛，平均速度約為40km/h，通車(chē)后可以直接沿興聯(lián)路大橋按A→E【答案】(1)AE+DE(2)大約可節(jié)約8.7分鐘【分析】（1）延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，解直角三角形DEH，結(jié)合矩形的判定和性質(zhì)解答即可．（2）轉(zhuǎn)化單位后，利用速度，路程，時(shí)間的關(guān)系變形計(jì)算解答即可．本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，行程問(wèn)題，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，∵∠EAB∴四邊形ABCH為矩形，∴CH=AB=2km，∴DH=又∵∠CDE∴EH=1.7÷3≈