6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

一、分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有〃類不同的方案，在第I類方案中有如種不同的方法，在第2類方案中有〃72種不同的方法，…,

在第〃類方案中有"％種不同的方法，則完成這件事共有%=如+仙+…+的種不同的方法.

注意事項(xiàng)：應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事的〃類方法是互不干擾的，無(wú)論哪種方案中的哪種方法,

都可以獨(dú)立完成這件事.

利用分類加法的解題步驟:

①分類：將完成這件事的過(guò)程分成〃類

②計(jì)數(shù)：求出這〃類中的方法數(shù)

③結(jié)論：將這〃類中的方法相加就可以得出最終的結(jié)果

WV2

1、設(shè)集合*={1,2,3,4),rn,〃U*,則方程標(biāo)1彳=1表示焦點(diǎn)位于A軸上的橢圓的有（)

A.6個(gè)B.8個(gè)

C.12個(gè)D.16個(gè)

2、滿足a,6￡{—1,0,1,2},且關(guān)于x的方程。/+右+方:。有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)（a,刀的個(gè)數(shù)為（）

A.14B.13C.12D.10

3、從力地到8地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2

次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（）

A.1+1+1=3B.3+4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不對(duì)

4、若x,y￡N\且x+?W5,則有序自然數(shù)對(duì)（x,y）的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.8C.9D.10

二、分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有的種不同的方法，做第2步有叱種不同的方法，…，做第〃步有

兩種不同的方法，則完成這件事共有N=m]X〃?2X?「Xm”種不同的方法.

注意事項(xiàng)：應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分兒個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這

件事情，每個(gè)步驟缺一不可.

利用分步乘法的解題步驟：

①分步：將完成這件事的過(guò)程分成〃步

②計(jì)數(shù)：求出〃步中每一步中的方法數(shù)

⑤結(jié)論：將〃步中每一步的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果

5、現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種

數(shù)為（）

A.7B.12C.64D.81

6、已知{3,4,6},{1,2},廣注{1,4,9,16},則方程。一。>+①一與?=尸可表示的不同圓的個(gè)數(shù)是（）

A.6B.9C.16D.24

7、從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)./（戈）=加+次+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共

個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共個(gè).（用數(shù)字作答）

8、一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)

的號(hào)碼？（各位上的數(shù)字允許重更）

三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

注意事項(xiàng)：

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成在看到

相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種類

題目分類完成，各類相加分步完成，各步相乘時(shí)要注

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立每步依次完成才算完成這件事（每步

定、判斷是分

完成這件事中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事）

類還注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整是分步

還是混合題型再入手

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題步驟：

①判斷分類還是分步（當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，是按方法還是按步驟來(lái)完成）

②采取分類和分步的解題步蛛

③若題H給的是混合性的問(wèn)題，一般先分類再分步

9、已知集合M￡{1,-2,3}，A<G{-4,5,6,一7},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐

標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.18B.17C.16D.14

10、5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)

員中至少有一名老隊(duì)員的選法有種.（用數(shù)字作答）

11、現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà).

（1）從中任選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？

（2）從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？

（3）從這些畫(huà)中選出兩幅不同種類的畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？

12、在7名學(xué)生中，有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2名既會(huì)下象棋又

會(huì)卜.圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？

13、某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員1（）人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，組織他們?nèi)⒂^

某愛(ài)國(guó)主義教育基地.

(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

(2)每班選1人為小組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

(3)從他們中選出2個(gè)人管理生活，要求這2個(gè)人不同班，有多少種不同的選法？

四、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用.使用時(shí)要做到目的明確，層次分明，先后有

序，還需特別注意以下兩點(diǎn)：

(1)合理分類，準(zhǔn)確分步：處理計(jì)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)扣緊兩個(gè)原理，根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是“分類”還是“分

步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)需要滿足兩

個(gè)條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)

準(zhǔn).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性.

(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一?般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特

殊位置，再考慮其他元素與其他位置.，體現(xiàn)出解題過(guò)程中的主次思想.

(3)王難則反原則(間接法)：從正面考慮時(shí)候方法較多，可采用對(duì)立事件方法去求.

類型一組數(shù)問(wèn)題

注意事項(xiàng)：①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位

或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法

求解.

②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.

14、從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.24B.18C.12D.6

15、用0,1,…，9這10個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.243B.252C.261D.648

16、在由0,123,4,5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的有()

A.512個(gè)B.192個(gè)C.240個(gè)D.108個(gè)

17、用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，

(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的號(hào)碼(首位可為0)?

⑵可以排成多少個(gè)三位數(shù)？

(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重愛(ài)數(shù)字的三位數(shù)？

(4)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

類型二選（抽）取與分配問(wèn)題

解決抽?。ǚ峙洌﹩?wèn)題的方法

①當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或者圖表法.

②當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：

（1）直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按

對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.

（2）間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

18、高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工

廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）

A.16種B.18種C.37種D.48種

19、有44兩種類型的車床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會(huì)操作兩種車床，丙只會(huì)操

作4種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有（）

A.6種R.5種C.4種D.3種

20、某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則

這3名學(xué)生的參賽的不同方法有（）

A.24種B.48種

C.64種D.81種

21、火車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有（）

A.51°種B.IO、種

C.50種D.500種

22、有四位教師在同一年級(jí)的四個(gè)班各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則

監(jiān)考的方法有（）

A.8種B.9種C.10種D.11種

類型三涂色（染色）與種植問(wèn)題

涂色問(wèn)題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，有幾種常用方法：

（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.

（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問(wèn)題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.

（3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題.

種植問(wèn)題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法

計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

23、如圖，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一

種顏色多次使用，則不同的涂法種數(shù)為（）

A.280B.180

C.96D.60

24、將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩

格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有種不同的涂色方法。

rr7Tl

KM

25、將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種

作物，則不同的種植方法共有種.

26、如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5

種顏色可供使用，則不同染色方法的總數(shù)為.

27、如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形4B,C,。中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法

有種.

3

、用〃種不同的顏色為兩塊廣告牌著色，如圖i，要求在①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中相鄰（有公共邊界）的區(qū)

28

域不用同一種顏色.

（1）若〃=6,為甲著色時(shí)共有多少種不同的方法？

（2）若為乙著色時(shí)共有120種不同的方法，求〃的值.

課后鞏固練習(xí)

1、定義集合力與4的運(yùn)算力*4如卜：A*B={（x,y）\x^A,y￡B},若4={a,b,c},B={a,c,d,e},

則集合的元素個(gè)數(shù)為（）

A.34B.43

C.12D.以下都不對(duì)

2、現(xiàn)有4種不同顏色，要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色,

則不同的著色方法共有（）

A.24種B.30種C.36種D.48種

3、從集合{1,2,3,4,5}中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線4t+塊=0的系數(shù)，則形成不同的直線最多有（）

A.18條B.20條C.25條D.10條

4、有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”

五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù).若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)

階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)一人，則不同的安排方式共