專題02利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線目錄A題型建?！ｍ椡黄祁}型一、等腰三角形中底邊有中點時，連中線 1題型二、等腰三角形中底邊無中點時，作高 2B綜合攻堅·能力躍升A 題型建?！ｍ椡黄祁}型一、等腰三角形中底邊有中點時，連中線模型解析：等腰三角形中底邊有中點，連中線直接用“三線合一”,①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原則。連中線用“三線合一”，若AB=AC,BD=CD.則AD?BC,∠1=∠2.C1.如圖，根據(jù)下列已知條件，寫出你能得到的結(jié)論.(1)已知AB=AC,\angle1=\angle2,則.(2)已知AB=AC,BD=DC,則;(3)已知AB=AC,AD\perpBC,則.2.如圖,在VABC中, AB=AC,∠BAC=120°, D為BC的中點， DE?AC于點E， AE=1, 長.3.如圖,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D為斜邊BC的中點,E,F分別為AB,AC邊上的點,且DE⊥DF.若BE=5,CF=12.求EF的長.4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB邊的中點,點E、F分別在射線CA、BC上,且∠EDF=90°,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)點E、F分別在邊CA和BC上時,連接CD,①證明:△AED≌△CFD.②直接寫出SverC,S△EFD和S(2)探究：如圖2，當(dāng)點E、F分別在邊CA、BC的延長線上時，和S?ABC的關(guān)系是：(3)應(yīng)用:若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的結(jié)論,求△EFD的面積.題型二、等腰三角形中底邊無中點時，作高5.有一個等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是m.6.如圖,已知∠AOB=60°,點P在邊OA上,OP=12,點M、N在邊OB上,PM=PN,若OM=5,求MN的長.7.(1)如圖1所示,在VABC中,∠D=20°,∠ABC=50°,∠CBD=10°,求證AB=CD.(2)如圖2所示,在VABC中,∠A=100°,∠ACB=30°,延長AC至D使CD=AB,求∠CDB.8.如圖,點D,E在VABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE.(1)如圖1,求證:BD=CE;(2)如圖2,當(dāng)AD=CD時,過點C作CM⊥AD于點M,如果DM=2,求CD-BD的值.9.如圖,在等邊VABC中,點D在BC邊上,點E在AC延長線上,且AD=ED.(1)求證:∠BAD=∠CDE;(2)若等邊VABC的邊長為6,BD=2,求AE的長;(3)求證:BD=CE:(4)如圖，當(dāng)點D在CB的延長線上，點E在CA延長線上時，其它條件不變，(3)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明：若不成立，請說明理由.B 綜合攻堅·能力躍升一、單選題1.如圖,在VABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線，且BD=BE,若∠ADE=15°,則A.35° B.30° C.202.如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線.下列敘述中，不正確的是()A.AD把VABC分成了兩個直角三角形B.AD一定大于BCC.AD垂直平分線段BCD.AD平分VABC的面積3.如圖,在等腰三角形ABC中,AD是底邊BC上的高線,CE?AB于點E,交AD于點F,若∠BAC=45°,AF=6,A.1 B.3 C.5 D.64.如圖,在等腰VABC中,AB=AC=13,AD是VABC的高,AD=12,BC=10,,E、F分別是AC、AD上一動點，則CF+EF的最小值為()A.6 B.4 C.9 D.12013二、填空題5.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中線,已知∠CAD=40°,EF為過點A的一條直線,且EF‖BC,則∠BAE的度數(shù)是.6.如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,△OBC的頂點O(0,0),B(-6,0),且.∠OCB=90°,OC=BC,則點C的坐標(biāo)是7.如圖,等腰VABC中,AB=AC,AE?BE于點E，且BE=12BC,若∠EAB=20°,則∠BAC8.如圖,在VABC中,AD是BC邊上的高,過點A作AE‖BC,并且使AE=AC,F是AC上一點，連接EF,使EF=AB,EF交AB,AD于G,H兩點,若5CD=2BD,則S△ABCS△AEFC三、解答題9.已知VABC是等腰三角形，AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=6,求AD的長.10.如圖,在△ABC中，AB=AC,D為BC中點，點E是BA延長線上一點，點F是AC上一點，連接EF并延長交BC于點G，且AE=AF.(1)判斷EG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.(2)若∠ABC=65°,求∠AEF11.如圖:在VABC中,AB的垂直平分線EF交BC于點E,交AB于點F,D為線段CE的中點,BE=AC,(1)試說明: AD?BC;(2)若∠B=35°,求∠C12.如圖,在VABC中, AB=AC, 點O為BC中點,點D在邊AB上,連接OD.(1)如圖1,若OD⊥AB,OE⊥AC于點E,求證:OE=OD;(2)如圖2,已知∠BAC=90°、AB=4、AD=1.若點F在邊AC上,OF=OD,求AF的長.13.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,連接DE并延長交CB的延長線于點F,點G在邊BC上,且∠GDF=∠ADF.(1)求證:VADE≌VBFE;(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.(3)求證:AD+BG=DG.14.已知在VABC中,AB=AC,且∠BAC=α,作ACD,使得CD=AC.(1)如圖①,若∠ACD與∠BAC互余,則∠DCB=(用含α的式子表示);(2)如圖②,若∠ACD與∠BAC互補,過點C作CH⊥AD于點H,過點A作AE⊥BC于點E,試說明:CH=12(3)若∠ACD與∠BAC相等,則VABC與ACD的面積滿足什么關(guān)系?若∠ACD與∠BAC互補,則上述關(guān)系還成立嗎?直接寫出結(jié)論.15.“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的角度為90°，于是有三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直”模型，當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，模型中必定存在全等三角形。(1)如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線DE,AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E，則CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系為.(2)如圖2,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線CE,過點A作AD⊥CE于點D,過點B作BE⊥CE于點E,若AD=6.8,DE=4.6,求BE的長.(3)【變式運用】如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=∠CDA=90°,AC=BC,CD=5,求S△BDC;(4)【拓展遷移】如圖4,在VABC中,AB=AC,BC=6,S△ABC=30,以AC為邊向右側(cè)作一個等腰Rt△ACD，D∵BE⊥CD,∠ACB=∠CDA=90°,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在CAD與BCE中,∵{∠ADC=∠CEB∴△CAD?△∴CD=BE,∵CD=5,∵AB=AC,CB=6,S+ABC∴AE=2×30÷6=10,CE=12由(1)得,△ACE≌DAF,∴AF=CE=3,專題02利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線目錄A題型建?！ｍ椡黄祁}型一、等腰三角形中底邊有中點時，連中線 1題型二、等腰三角形中底邊無中點時，作高 2B綜合攻堅·能力躍升A 題型建?！ｍ椡黄祁}型一、等腰三角形中底邊有中點時，連中線模型解析：等腰三角形中底邊有中點，連中線直接用“三線合一”,①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原則。連中線用“三線合一”，若AB=AC,BD=CD.則AD?BC,∠1=∠2.1.如圖，根據(jù)下列已知條件，寫出你能得到的結(jié)論.(1)已知AB=AC,\angle1=\angle2,則;(2)已知AB=AC,BD=DC,則.(3)已知AB=AC,AD\perpBC,則;【答案】 答案BD=CD,AD⊥BC ∠1=∠2,AD⊥BC BD=CD,∠1=∠2【知識點】三線合一【分析】本題主要考查了三線合一定理：(1)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解：(2)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解：(3)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解.【詳解】解:(1)∵AB=AC,∠1=∠2,,∴BD=CD,AD⊥BC,故答案為:BD=CD,AD⊥BC;(2)∵AB=AC,BD=DC,∴∠1=∠2,AD⊥BC,故答案為:∠1=∠2,AD⊥BC;(3)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠1=∠2,故答案為:BD=CD,∠1=∠2.2.如圖,在VABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D為BC的中點,DE∠AC于點E,AE=1,求CE的長.【答案】CE=3.【知識點】等邊對等角、含30度角的直角三角形、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一和含30°的特殊直角三角形的性質(zhì)，連接AD，利用等邊對等角得∠B=∠C=30°,在Rt△ADE中,得AD=16,在Rt【詳解】解:連接AD,答案∵AB=AC,∠BAC=120°,D為BC的中點,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30°,∴∠DAC=12∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,在Rt△ADE∴AD=2AE=2,在Rt8ADC∴AC=2AD=4,∴CE=AC-AE=4-1=3.3.如圖,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D為斜邊BC的中點,E,F分別為AB,AC邊上的點,且DE⊥DF.若BE=5,CF=12.求EF的長.【答案】EF=13【知識點】全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)、根據(jù)三線合一證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵：連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易證△EDA?△FDC,得到AE=CF=12,得【詳解】解：如圖，連接AD，答案∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=DC,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠BAD=∠C=45°,∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠ADC=90°,∴∠ADE=∠FDC,∴△EDA?△FDC(ASA),∴AE=CF=12,∵AB=AC,∴BE=AF=5,∴EF=AE4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB邊的中點,點E、F分別在射線CA、BC上,且∠EDF=90°,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)點E、F分別在邊CA和BC上時,連接CD,①證明:△AED≌△CFD.②直接寫出SvEFC,S△EFD和S(2)探究：如圖2，當(dāng)點E、F分別在邊CA、BC的延長線上時，和SxABC的關(guān)系是：(3)應(yīng)用:若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的結(jié)論,求△EFD的面積.【答案】(1)①見解析;②12(2)12(3)5或17【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識點有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)及三角形的面積等，根據(jù)圖形構(gòu)造全等三角形求解即可。(1)①連接CD,即可證明△AED≌△CFD;②根據(jù)△AED≌△CFD,看圖即可得出結(jié)論;(2)連接CD,即同(1)可證明△AED≌△CFD,根據(jù)△AED≌△CFD看圖即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)(1)，(2)中的結(jié)論，代入求解即可。【詳解】(1)證明:①如圖,連接CD在Rt△ABC中,AC=BC,D為AB邊的中點,∴CD⊥AB,∠A=∠B=45°,∴∠A=∠ACD=45°,∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD,∴∠DCF=∠A=45°,∵∠EDF=90°,∴∠EDC+∠CDF=90°,∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDF,在VADE和VCDF中,∴△AED?△CFD(ASA).②∵△AED≌△CFD,根據(jù)圖中所示，∵D為AB邊的中點，(2)解:如圖,連接CD在Rt△ABC中,AC=BC,D為AB邊的中點,∴CD⊥AB,∠CAD=∠B=45°,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴180°=∠ACD=180°-∠BCD,即∠EAD=∠FDC,∵∠EDF=90°,∴∠ADF+∠EDA=90°,∵∠ADF+∠FDC=90°,∴∠EDA=∠FDC,在VADE和VCDF中,{∠EAD=∠FCDAD=CD∴△AED?△∵△AED≌△CFD,∴S△AD根據(jù)圖中所示，S±ACD+∵D為AB邊的中點，(3)如(1)中結(jié)論,∵AC=6,AE=2,S,EFC=②如(2)中結(jié)論,∵AC=6,AE=2,∴S,ABCS,ErC=題型二、等腰三角形中底邊無中點時，作高5.有一個等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°,腰長為12m，則底邊上的高是【答案】答案6【知識點】三線合一、含30度角的直角三角形、等邊對等角【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等.作AD?BC于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B=∠C=12180【詳解】解：如圖，作AD?BC于點D,在VABC中,∠BAC=120°∴∠B=∠C=12又∵AD⊥BC,∴AD=12故答案為：6.6.如圖,已知∠AOB=60°,點P在邊OA上,OP=12,點M、N在邊OB上,PM=PN,若OM=5,求MN的長.【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì).作PC⊥OB交OB于C，由等腰三角形的性質(zhì)可得CM=CN,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OC=12OP=6,計算出CM即可得到答案.熟【詳解】解:如圖,作PC⊥OB交OB于C,PM=PN,PC⊥OB,∴CM=CN,在OPC中,∠PCO=90°,∠POC=30°,OP=12,∴OC=12∵OM=5,∴CM=OC-OM=6-5=1,∴CN=CM=1,∴MN=CM+CN=1+1=2.7.(1)如圖1所示,在VABC中,∠D=20°,∠ABC=50°,∠CBD=10°,求證AB=CD.(2)如圖2所示,在VABC中,∠A=100°,∠ACB=30°,延長AC至D使CD=AB,求∠CDB.【答案】答案(1)見解析;(2)20°【知識點】全等三角形綜合問題、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)三線合一證明【分析】(1)作∠BCE=10°交BC于E,過點B作BF⊥AC交CA的延長線于F,過點E作EH⊥BC,由題意得BE=CE和∠DEC=20°，利用等角對等邊可得CE=DC，利用三線合一的性質(zhì)得CH=BH，結(jié)合含30°角的直角三角形性質(zhì)得BF=BH=CH，可證明△ABF?△ECH,(2)在AC上取AE=AB,連接BE,作AF平分∠BAC,交BE于H,交BC于F,根據(jù)題意得∠ABF=∠BAF=50°，利用等腰三角形兩腰上的高相等得AG=BH，結(jié)合含30°角的直角三角形性質(zhì)得AC=BE,由題意得AC=DE,即可求得∠AEB=40°,即可求得答案.【詳解】解:(1)作∠BCE=10°交BC于E,過點B作BF⊥AC交CA的延長線于F,過點E作EH⊥BC,如圖，∵∠BCE=10°,∠CBD=10°,∴BE=CE,∠DEC=20°,∵∠D=20°,∴CE=DC,QEH^BC,∴CH=BH,∵∠ACB=∠CBD+∠D=30°,BF⊥AC,∠ABC=50°,∴BF=BH=CH,∠ABF=10°,在△ABF和△ECH中,∴△ABF?△ECH(AAS),∴AB=EC,∴AB=CD.(2)在AC上取AE=AB,連接BE,作AF平分∠BAC,交BE于H,交BC于F,如圖,答案∵AF平分∠BAC,∠BAC=100°,∴∠BAH=∠EAH=50°,BH⊥AF,∵∠ACB=30°,∴∠ABF=∠BAF=50°,即△ABF是等腰三角形，作AG⊥BC,則AG=BH(等腰三角形兩腰上的高相等),∵∠ACB=30°,∴2AG=AC,∵2BH=BE,∴AC=BE,∵CD=AB=AE,∴AC=DE,∴AC=BE=DE,∵∠AEB=12∴∠D=20°,【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和含30°角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線并找到對應(yīng)邊角之間的關(guān)系.8.如圖,點D,E在VABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE.(1)如圖1,求證:BD=CE;(2)如圖2,當(dāng)AD=CD時,過點C作CM⊥AD于點M,如果DM=2,求CD-BD的值.【答案】(1)見解析(2)4【知識點】全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)、根據(jù)三線合一證明【分析】(1)過A作AH⊥BC于點H,根據(jù)三線合一可得:BH=CH,DH=EH,即可證明:(2)過A作AH⊥BC于點H,易證△AHD≌△CMD,可得MD=DH,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖過A作AH⊥BC于點H,∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH,∵AD=AE,∴DH=EH,∴BD=CE;(2)解:過A作AH⊥BC于點H,在△AHD和△CMD中,{∠CDM=∠ADH∠CMD=∠AHD=9∴△AHD≌△CMD(AAS),∴DH=MD,∴CD-BD=(CH+DH)-(BH-DH)=2DH=2MD=4.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵。9.如圖,在等邊VABC中,點D在BC邊上,點E在AC延長線上,且AD=ED.(1)求證:∠BAD=∠CDE;(2)若等邊VABC的邊長為6,BD=2,求AE的長;(3)求證:BD=CE;(4)如圖，當(dāng)點D在CB的延長線上，點E在CA延長線上時，其它條件不變，(3)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明：若不成立，請說明理由.【答案】答案(1)見解析(2)AE=8(3)見解析(4)(3)中的結(jié)論仍然成立，證明見解析【知識點】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三線合一、含30度角的直角三角形【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角，結(jié)合三角形的外角，即可得出結(jié)論；(2)過D作DF⊥AE于F，利用等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及三線合一，進行求解即可；(3)過D作DM∥AC交AB于點M,易得△BDM是等邊三角形,得到BD=DM,證明△AMD?△DCE,得到DM=CE，等量代換即可得出結(jié)論：(4)過D作DN∥AC交AB的延長線于N,證明BDN是等邊三角形,得到BD=DN,證明△AND≌△DCE,得到DN=CE，等量代換即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∵AD=ED,∴∠DAE=∠E,∵∠BAC=∠BAD+∠DAE,∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠BAD=∠CDE;(2)如圖,過D作DF⊥AE于F,∵AD=DE,∴AF=EF=12∵等邊VABC的邊長為6,∴BC=AC=6,∵BD=2,∴CD=BC-BD=6-2=4,∵∠DCF=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=12∴AF=AC-CF=6-2=4.∴AE=2AF=8;(3)證明:如圖2,過D作DM∥AC交AB于點M.∴∠BMD=∠BAC=60°,又∵∠B=60°,∴BDM是等邊三角形.∴BD=MD,∵∠BMD=60°,∴∠AMD=120°,又∵∠ACB=60°,∴∠DCE=120°,∴∠AMD=∠DCE.由(1)得,∠BAD=∠CDE,又∵AD=ED,∴△AMD≌△DCE(AAS).∴MD=CE.∵BD=MD,∴BD=CE;E(4)(3)中的結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖,過D作DN∥AC交AB的延長線于N,則∠N=∠BAC=60°,C∵∠DBN=∠ABC=60°,∴△BDN是等邊三角形.∴BD=DN,∠N=60°.DA=DE,∴∠E=∠DAE,∵∠DAE+∠DAB+∠BAC=180°,∴∠DAE+∠DAB=120°,∵∠E+∠EDC+∠C=180°,∴∠E+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠EDC.又∵∠N=∠C,AD=DE,∴△AND≌△DCE(AAS),∴DN=CE.∵BD=DN,∴BD=CE.B 綜合攻堅·能力躍升一、單選題1.如圖,在VABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,且BD=BE,若∠ADE=15°,則∠C=()A.35° B.30° C.20° D.45°【答案】答案B【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.由三線合一得AD⊥BC,∠B=∠C,進而求出∠BDE=75°,由BD=BE得∠BED=∠BDE=75°,求出∠B=30°即可求解.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算即可.【詳解】解:∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∴∠ADB=90°,∵∠ADE=15°,∴∠BDE=90°-15°=75°,∵BD=BE,∴∠BED=∠BDE=75°,∴∠B=180°-2×75°=30°,∴∠C=30°,故選:B.2.如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線.下列敘述中，不正確的是()A.AD把VABC分成了兩個直角三角形B.AD一定大于BCC.AD垂直平分線段BCD.AD平分VABC的面積【答案】B【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形三線合一進行分析即可得到答案.【詳解】解：∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線.∴AD⊥BC,AD垂直平分線段BC,BD=CD,∴AD把VABC分成了兩個直角三角形，AD平分VABC的面積，故選項A、C、D敘述正確，不符合題意；AD不一定大于BC，故B選項敘述不正確，符合題意；故選：B3.如圖,在等腰三角形ABC中,AD是底邊BC上的高線,CE⊥AB于點E,交AD于點F,若∠BAC=45°,AF=6,則BD的長為()A.1 B.3 C.5 D.6【答案】答案B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，證明△AEF≌CEB是解答本題的關(guān)鍵.先證明△AEF≌△CEB,即有AF=BC,再根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:∵CE⊥AB,AD是底邊BC上的高線,∴∠AEC=∠BEC=90°,∠ADB=90°,∵∠BAC=45°,∴∠ECA=45°,∴∠ECA=∠EAC,∴AE=EC,∵∠ADB=90°,∠AEC=∠BEC=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∠AFE+∠BAD=90°,∴∠B=∠AFE,∵∠B=∠AFE,∠AEC=∠BEC=90°,AE=EC,∴△AEF?△CEB(AAS),∴AF=BC,∵AF=6,∴AF=BC=6,∵根據(jù)題意有AB=AC,AD⊥BC,∴BD=12故選:B.4.如圖,在等腰VABC中,AB=AC=13,AD是VABC的高,AD=12,BC=10,E、F分別是AC、AD上一動點，則CF+EF的最小值為()A.6 B.4 C.9 D.12013【答案】答案D【分析】本題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉對稱點的運用和畫法，知道何時線段和最小，會運用等面積法求線段長度是解題的關(guān)鍵。利用等腰三角形的對稱性找到點B的對稱點C，連接BF，BE，當(dāng)BE⊥AC時，線段的和最小，再運用等面積法求BE的長度即可.【詳解】解:∵在等腰VABC中,AB=AC=13,AD是VABC的高,∴點B關(guān)于AD的對稱點是點C，如圖所示，連接BF，BE∴BF=CF,CC∴CF+EF=BF+EF≥BE,∴當(dāng)BE⊥AC時,CF+EF有最小值,即BE的長度∵S△ABC∵AB=AC=13,AD=12,BC=10,∴12解得：BE=12013故選:D.二、填空題5.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中線,已知∠CAD=40°,EF為過點A的一條直線,且EF‖BC,則∠BAE的度數(shù)是.【答案】答案50°/50度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).綜合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可得∠B的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠BAE的度數(shù).【詳解】解:∵△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中線,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∴∠ADC=90°,∵∠CAD=40°,∴∠C=90°-40°=50°,∴∠B=50°,∵EF‖BC,∴∠BAE=∠B=50°,故答案為:50°.6.如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,△OBC的頂點O(0,0),B(-6,0),且∠OCB=90°,OC=BC,則點C的坐標(biāo)是【答案】(-3.3)【分析】本題主要考查了點的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握點的坐標(biāo)特點，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.如圖：過點C作CD⊥OB于點D，根據(jù)點B(-6，0)得OB=6，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得CD=OD=BD=12OB=3,【詳解】解:如圖:過點C作CD⊥OB于點D,答案∵點B(-6,0),∴OB=6,∵∠OCB=90°,OC=BC,∴△OBC是等腰直角三角形，∴CD=OD=BD=12∵點C在第二象限，∴點C的坐標(biāo)是(-3,3).故答案為(-3,3).7.如圖,等腰VABC中,AB=AC,AE⊥BE于點E,且BE=12BC,若∠EAB=20°,則∠BAC的度數(shù)是【答案】40°【分析】本題考查了全等三角形，等腰三角形，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵。過點A作AD⊥BC于點D,證明Rt△ABE?Rt【詳解】解:過點A作AD⊥BC于點D,如圖所示.∵等腰VABC中,AB=AC,∴BD=CD=12∵BE=12∴BE=BD.在Rt△ABE和Rt△ABD中,{BD=BEAB=AB∴Rt△∴∠BAD=∠BAE=20°,∴∠BAC=2∠BAD=40°.8.如圖,在VABC中,AD是BC邊上的高,過點A作AE∥BC,并且使AE=AC,F是AC上一點,連接EF,使EF=AB,EF交AB,AD于G,H兩點,若5CD=2BD,則S△ABCS【答案】73/2【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.延長BC至點M，使CM=AF,證明EAF≌△ACM(SAS),推出EF=AM,S?EO=S△ACM,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得BD=MD，結(jié)合5CD=2BD，推出【詳解】解：如圖，延長BC至點M，使(CM=AF,∵AE∥BC,∴∠EAF=∠ACM,在△EAF和△ACM中,{AE=AC∠EAF=∠ACM,∴△EAF?△∵EF=AB,∴AM=AB,∵AD是BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴BD=MD,∵5CD=2BD,∴CD=25∴CM=DM-CD=BD-25故答案為：73,三、解答題9.已知VABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=6,求AD的長.【答案】答案AD=3【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)，由等腰三角形性質(zhì)推出AD=12AC=3【詳解】解:AB=BC,BD平分∠ABC,AC=6,∴AD=1210.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC中點,點E是BA延長線上一點,點F是AC上一點,連接EF并延長交BC于點G,且AE=AF.(1)判斷EG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.(2)若∠ABC=65°,求∠AEF的度數(shù).【答案】答案(1)EG與BC的位置關(guān)系為EG⊥BC,理由見解析;(2)∠AEF的度數(shù)的度數(shù)為25°.【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可得∠ADB=90°，∠E=∠BAD，可證EG‖AD,從而可得EG與BC的位置關(guān)系；(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計算即可得∠AEF的度數(shù).【詳解】(1)解:GE⊥BC,理由:∵AB=AC,D為BC中點,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C,∴∠ADB=90°AE=AF,∠E=∠AFE,∵點E是BA延長線上一點，∠BAC=∠E+∠AFE,∠BAC=2∠E,∴∠E=12∴EG∥AD,∠EGB=∠ADB=90°,∴EG⊥BC.(2)解:由(1)得∠EGB=90°,∵∠ABC=65°,∴∠AEF=180°-90°-65°=25°,答:∠AEF的度數(shù)為25°.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，11.如圖:在VABC中,AB的垂直平分線EF交BC于點E,交AB于點F,D為線段CE的中點,BE=AC.(1)試說明:AD⊥BC:(2)若∠B=35°,求∠C的度數(shù).【答案】答案(1)見解析(2)70°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵。(1)連接AE，利用線段垂直平分線的性質(zhì)證得AE=BE，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可求證結(jié)論：(2)由三角形的外角的性質(zhì)可得∠AEC=2∠B，進而得到∠C.【詳解】(1)證明:連接AE,∵AB的垂直平分線EF交BC于點E，∴AE=BE,∵BE=AC,∴AE=AC,∵D為線段CE的中點，∴AD⊥BC.(2)解:∵AE=BE,∴∠BAE=∠B=35°,∴∠AEC=2∠B=70°,∵AE=AC,∴∠C=∠AEC=2∠B=70°.12.如圖,在VABC中,AB=AC,點O為BC中點,點D在邊AB上,連接OD.(1)如圖1,若OD⊥AB,OE⊥AC于點E,求證:OE=OD;(2)如圖2,已知∠BAC=90°、AB=4、AD=1.若點F在邊AC上,OF=OD,求AF的長.【答案】(1)證明見解析(2)1或3【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠B,再證明△OCE≌OBD(AAS),即可得出結(jié)論;(2)連接OA,過點O作OG⊥AB于點G,OH⊥AC于點H,由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=45°,OA平分∠BAC,OA=12BC=OB=OC,則(OG=OH,AH=CH=12AC=2,AG=BG=12AB=2得AH=AG,DG=AG-AD=1,再分兩種情況,①點F在線段AH上時,證明【詳解】(1)證明:∵AB=AC,∴∠C=∠B,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°,∵點O為BC中點,∴OB=OC,在△OCE和△OBD中,{∠OEC=∠ODB∠C=∠B∴△OCE≌OBD(AAS).∴OE=OD;(2)解:如圖2,連接OA,過點O作OG⊥AB于點G,OH⊥AC于點H,則∠OGB=∠OGA=∠OHC=∠OHA=90°,∵AB=AC=4,∠BAC=90°,點O為BC中點,∴∠B=∠C=45°,OA平分∠BAC,OA=12∴OG=OH,AH=CH=12∴AH=AG,∵AD=1,∴DG=AG-AD=1,分兩種情況：①點F在線段AH上時，在Rt△OHF和Rt△OGD中,{OF=ODOH=OG∴Rt△∴FH=DG=1,∴AF=AH-FH=1;②點F在線段CH上時，同理可證：Rt△∴FH=DG=1,∴AF=AH+FH=2+1=3;綜上所述，AF的長為1或3.【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵。13.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,連接DE并延長交CB的延長線于點F,點G在邊BC上,且∠GDF=∠ADF.(1)求證:VADE≌VBFE;(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.(3)求證:AD+BG=DG.【答案】答案(1)證明見解析；(2)EG⊥DF,理由見解析;(3)證明見解析.【分析】此題考查平行線了的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”等知識，推導(dǎo)出∠ADE=∠F,AE=BE,進而證明VADE≌VBFE是解題的關(guān)鍵.(1)由AD∥BC得∠ADE=∠F,而∠AED=∠BEF,AE=BE,即可根據(jù)“AAS”證明VADE≌VBFE;(2)連接EG由∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠F,得∠GDF=∠F,則DG=FG,由全等三角形的性質(zhì)得DE=FE,則EG⊥DF;(3)由全等三角形的性質(zhì)得AD=BF,所以AD+BG=BF+BG=FG,而DG=FG,則AD+BG=DG.【詳解】(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F,∵E是AB的中點,∴AE=BE,在VADE和△BFE中,{∠AED=∠BEF∠ADE=∠F∴△ADE≌BFE(AAS);(2)解:連接EG,EG⊥DF,理由.:∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠F,∴∠GDF=∠F,∴DG=FG,由(1)得△ADE≌△BFE,∴DE=FE,∴EG⊥DF;(3)證明:由(1)得△ADE≌BFE,∴AD=BF,∴AD+BG=BF+BG=FG,由(2)得DG=FG,∴AD+BG=DG.14.已知在VABC中,AB=AC,且∠BAC=α,作ACD,使得CD=AC.(1)如圖①,若∠ACD與∠BAC互余,則∠DCB=(用含α的式子表示);(2)如圖②,若∠ACD與∠BAC互補,過點C作CH⊥AD于點H,過點A作AE⊥BC于點E,試說明:CH=12(3)若∠ACD與∠BAC相等,則VABC與△ACD的面積滿足什么關(guān)系?若∠ACD與∠BAC互補,則上述關(guān)系還成立嗎?直接寫出結(jié)論.【答案】112答案(2)見解析(3)若∠ACD與∠BAC相等,則VABC與△ACD的面積相等.若∠ACD與∠BAC互補,則VABC與△ACD的面積相等【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補的概念，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造全等三角形.(1)由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解；(2)作AE⊥BC于E,由兩角互補的概念,可以證明△ACH≌ACE(AAS),即可解決問題;(3)若∠ACD與∠BAC相等,則VABC與△ACD的面積相等.作DM⊥AC于M,BN⊥AC于N,證明△ANB≌CMD(AAS),得到BN=DM,根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等;若∠ACD與∠BAC互補,則VABC與ACD的面積相等,成立.作CF⊥AB于F,DG⊥AC交AC延長線于G,證明△CGD≌△AFC(AAS),得到DG=CF,根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等.【詳解】(1)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=12∵∠ACD與∠BAC互余,∴∠ACD=90°-α,∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°故答案為：12α;(2)證明:作AE⊥BC于E,∵AB=AC,AC=AD,AE⊥BC,∴∠EAC=12∴∠EAC+∠ACH=12∵∠ACD與∠BAC互補,∴∠EAC+∠ACH=12∴∠ACE=∠ACH,∵∠AHC=∠AEC=90°,AC=AC,∴△ACH≌△ACE(AAS),∴CH=EC=12(3)解:若∠ACD與∠BAC相等,則VABC與△ACD的面積相等.理由如下:如圖1,作DM⊥AC于M,BN⊥AC于N,則∠ANB=∠CMD=90°,∵AB=AC,CD=AC,∴AB=CD,∵∠BAC=∠ACD,∴△ANB≌△CMD(AAS),∴BN=DM,∴S△ABC若∠ACD與∠BAC互補,則VABC與△ACD的面積相等,成立.理由如下:如圖2,作CF⊥AB于F,DG⊥AC交AC延長線于G,答案則∠DGC=∠AFC=90°,∵∠ACD+∠DCG=180°,∠ACD+∠BAC=180°,∴∠DCG=∠BAC,∵CD=A