2025年應(yīng)用隨機(jī)過程期末試題及答案一、單項(xiàng)選擇題1.已知隨機(jī)過程$X(t)=A\cos(\omegat+\Phi)$，其中$A$、$\omega$為常數(shù)，$\Phi$是在$[0,2\pi]$上均勻分布的隨機(jī)變量，則$X(t)$的均值函數(shù)$E[X(t)]$為（）A.$A\cos(\omegat)$B.$0$C.$A\sin(\omegat)$D.$A$答案：B2.若隨機(jī)過程$\{X(t),t\inT\}$滿足$E[X(t_1)X(t_2)]=R(t_1,t_2)$，當(dāng)$R(t_1,t_2)$只與$|t_1-t_2|$有關(guān)時(shí)，稱該隨機(jī)過程為（）A.平穩(wěn)隨機(jī)過程B.獨(dú)立增量過程C.馬爾可夫過程D.泊松過程答案：A3.設(shè)$\{N(t),t\geq0\}$是參數(shù)為$\lambda$的泊松過程，則對于任意的$0\leqs\ltt$，$N(t)-N(s)$服從（）A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.參數(shù)為$\lambda(t-s)$的泊松分布D.均勻分布答案：C4.馬爾可夫鏈$\{X_n,n=0,1,2,\cdots\}$的狀態(tài)空間$S=\{1,2,3\}$，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣$P=\begin{pmatrix}0.1&0.3&0.6\\0.2&0.5&0.3\\0.4&0.4&0.2\end{pmatrix}$，則$P(X_2=2|X_0=1)$的值為（）A.$0.1\times0.5+0.3\times0.5+0.6\times0.4$B.$0.1\times0.2+0.3\times0.5+0.6\times0.4$C.$0.1\times0.3+0.3\times0.5+0.6\times0.4$D.$0.1\times0.4+0.3\times0.5+0.6\times0.4$答案：C5.設(shè)$X(t)$是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為$R_X(\tau)$，則$R_X(0)$表示（）A.$X(t)$的均值B.$X(t)$的方差C.$X(t)$的均方值D.$X(t)$的協(xié)方差答案：C6.對于獨(dú)立增量過程$\{X(t),t\geq0\}$，若$X(0)=0$，則$X(t)$的協(xié)方差函數(shù)$C(s,t)$可以表示為（）A.$R(s,t)-E[X(s)]E[X(t)]$B.$R(s,t)$C.$D[X(\min(s,t))]$D.$D[X(\max(s,t))]$答案：C7.設(shè)$\{X(t),t\inT\}$是一個(gè)隨機(jī)過程，若對于任意的正整數(shù)$n$和任意的$t_1,t_2,\cdots,t_n\inT$，$(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))$服從$n$維正態(tài)分布，則稱$X(t)$為（）A.平穩(wěn)正態(tài)過程B.正態(tài)隨機(jī)過程C.獨(dú)立正態(tài)過程D.馬爾可夫正態(tài)過程答案：B8.泊松過程$\{N(t),t\geq0\}$的強(qiáng)度為$\lambda$，則相鄰兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔$T_1,T_2,\cdots$相互獨(dú)立且都服從（）A.參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布B.參數(shù)為$\frac{1}{\lambda}$的指數(shù)分布C.參數(shù)為$\lambda$的泊松分布D.參數(shù)為$\frac{1}{\lambda}$的泊松分布答案：A9.馬爾可夫鏈的狀態(tài)$i$是常返態(tài)，若狀態(tài)$i$的平均返回時(shí)間$\mu_i$（）A.有限B.無限C.為$0$D.不存在答案：A10.設(shè)$X(t)$和$Y(t)$是兩個(gè)相互獨(dú)立的寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則$Z(t)=X(t)+Y(t)$的自相關(guān)函數(shù)$R_Z(\tau)$為（）A.$R_X(\tau)+R_Y(\tau)$B.$R_X(\tau)-R_Y(\tau)$C.$R_X(\tau)R_Y(\tau)$D.$\frac{R_X(\tau)}{R_Y(\tau)}$答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.以下屬于隨機(jī)過程的有（）A.股票價(jià)格隨時(shí)間的變化B.某路口在不同時(shí)刻通過的車輛數(shù)C.某地區(qū)在不同年份的降雨量D.拋一枚硬幣的結(jié)果答案：ABC2.平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)有（）A.均值函數(shù)為常數(shù)B.自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)C.協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)D.方差為常數(shù)答案：ABCD3.泊松過程具有以下哪些性質(zhì)（）A.獨(dú)立增量性B.平穩(wěn)增量性C.增量服從泊松分布D.狀態(tài)空間為非負(fù)整數(shù)集答案：ABCD4.關(guān)于馬爾可夫鏈，下列說法正確的有（）A.具有無后效性B.一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的每行元素之和為$1$C.狀態(tài)可以分為常返態(tài)和暫態(tài)D.可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來直觀表示答案：ABCD5.隨機(jī)過程的分類方式有（）A.按狀態(tài)空間分類B.按時(shí)間參數(shù)集分類C.按概率分布分類D.按統(tǒng)計(jì)特性分類答案：ABCD6.若$X(t)$是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則（）A.$E[X(t)]$為常數(shù)B.$E[X^2(t)]$為常數(shù)C.$R_X(t_1,t_2)=R_X(t_1+h,t_2+h)$D.$C_X(t_1,t_2)=C_X(t_1+h,t_2+h)$答案：ABCD7.對于獨(dú)立增量過程，以下說法正確的是（）A.不同時(shí)間間隔的增量相互獨(dú)立B.若$X(0)=0$，則$X(t)$的均值函數(shù)可以由增量的均值表示C.若$X(0)=0$，則$X(t)$的方差函數(shù)可以由增量的方差表示D.獨(dú)立增量過程一定是平穩(wěn)過程答案：ABC8.正態(tài)隨機(jī)過程的特點(diǎn)有（）A.由均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)完全確定B.任意有限維分布都是正態(tài)分布C.寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)D.線性組合仍為正態(tài)隨機(jī)過程答案：ABCD9.馬爾可夫鏈狀態(tài)的分類中，常返態(tài)又可以分為（）A.正常返態(tài)B.零常返態(tài)C.非常返態(tài)D.周期態(tài)答案：AB10.設(shè)$X(t)$和$Y(t)$是兩個(gè)隨機(jī)過程，若它們相互獨(dú)立，則（）A.$E[X(t)Y(s)]=E[X(t)]E[Y(s)]$B.$R_{XY}(t,s)=R_X(t)R_Y(s)$C.$C_{XY}(t,s)=0$D.$X(t)$和$Y(t)$的聯(lián)合分布等于它們各自分布的乘積答案：ABCD三、判斷題1.隨機(jī)過程是一族隨機(jī)變量。（）答案：正確2.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)$R(\tau)$是偶函數(shù)。（）答案：正確3.泊松過程的強(qiáng)度$\lambda$越大，單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)越多。（）答案：正確4.馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與過去的狀態(tài)無關(guān)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。（）答案：正確5.若隨機(jī)過程$X(t)$的均值函數(shù)$E[X(t)]$為常數(shù)，則$X(t)$一定是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（）答案：錯(cuò)誤6.獨(dú)立增量過程一定是馬爾可夫過程。（）答案：正確7.正態(tài)隨機(jī)過程的任意線性組合仍然是正態(tài)隨機(jī)過程。（）答案：正確8.馬爾可夫鏈的狀態(tài)若為非常返態(tài)，則該狀態(tài)遲早會離開且不再返回。（）答案：正確9.寬平穩(wěn)隨機(jī)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。（）答案：錯(cuò)誤10.泊松過程的相鄰事件發(fā)生的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，且這些時(shí)間間隔相互獨(dú)立。（）答案：正確四、簡答題1.簡述平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義。平穩(wěn)隨機(jī)過程分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程是指對于任意的正整數(shù)$n$和任意的$t_1,t_2,\cdots,t_n\inT$以及任意實(shí)數(shù)$h$，$(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))$與$(X(t_1+h),X(t_2+h),\cdots,X(t_n+h))$具有相同的聯(lián)合分布。寬平穩(wěn)隨機(jī)過程是指均值函數(shù)$E[X(t)]$為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)$R(t_1,t_2)$只與時(shí)間間隔$|t_1-t_2|$有關(guān)。2.說明泊松過程的定義及主要性質(zhì)。泊松過程$\{N(t),t\geq0\}$是滿足以下條件的計(jì)數(shù)過程：$N(0)=0$；具有獨(dú)立增量性和平穩(wěn)增量性；對于充分小的$\Deltat$，$P(N(t+\Deltat)-N(t)=1)=\lambda\Deltat+o(\Deltat)$，$P(N(t+\Deltat)-N(t)\geq2)=o(\Deltat)$。其主要性質(zhì)有獨(dú)立增量性、平穩(wěn)增量性，增量服從泊松分布，狀態(tài)空間為非負(fù)整數(shù)集，相鄰事件發(fā)生的時(shí)間間隔相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布。3.解釋馬爾可夫鏈的無后效性。馬爾可夫鏈的無后效性是指在已知當(dāng)前狀態(tài)$X_n=i$的條件下，未來狀態(tài)$X_{n+1},X_{n+2},\cdots$的取值情況只與當(dāng)前狀態(tài)$i$有關(guān)，而與過去的狀態(tài)$X_0,X_1,\cdots,X_{n-1}$無關(guān)。即$P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\cdots,X_0=i_0)=P(X_{n+1}=j|X_n=i)$。4.簡述獨(dú)立增量過程的特點(diǎn)。獨(dú)立增量過程的特點(diǎn)在于不同時(shí)間間隔的增量相互獨(dú)立。若$X(0)=0$，其均值函數(shù)和方差函數(shù)可以由增量的均值和方差表示。例如，對于$0\leqs\ltt$，$E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]$，$D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]$。并且獨(dú)立增量過程具有較好的可加性和可分解性。五、討論題1.討論平穩(wěn)隨機(jī)過程在實(shí)際中的應(yīng)用。平穩(wěn)隨機(jī)過程在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。在通信領(lǐng)域，信號傳輸中很多信號可近似看作平穩(wěn)隨機(jī)過程，利用其平穩(wěn)性可以進(jìn)行信號的分析、處理和預(yù)測，如濾波、調(diào)制解調(diào)等。在金融領(lǐng)域，股票價(jià)格的波動、匯率的變化等可通過平穩(wěn)隨機(jī)過程模型來分析風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)測走勢。在氣象領(lǐng)域，氣溫、降雨量等氣象要素的變化也可借助平穩(wěn)隨機(jī)過程進(jìn)行建模，為氣象預(yù)報(bào)提供依據(jù)。2.分析泊松過程在排隊(duì)論中的應(yīng)用。在排隊(duì)論中，泊松過程可用于描述顧客到達(dá)的規(guī)律。假設(shè)顧客到達(dá)是一個(gè)泊松過程，意味著顧客的到達(dá)是相互獨(dú)立的，且在相同時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù)是固定的。通過泊松過程可以計(jì)算在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)的概率分布，進(jìn)而分析排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，如平均排隊(duì)長度、平均等待時(shí)間等，為排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論支持。3.探討馬爾可夫鏈在預(yù)測中的作用。馬爾可夫鏈在預(yù)測中具有重要作用。以市場占有率預(yù)測為例，不同品牌產(chǎn)品的市場狀態(tài)可看作馬爾可夫鏈的狀態(tài)，消費(fèi)者的購買行為導(dǎo)致品牌之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。通過建立一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以預(yù)測未來各品牌的市場占有率。在生物種群動態(tài)、交通