上海長(zhǎng)興中學(xué)初一數(shù)學(xué)壓軸題專題一、七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)壓軸題1．（學(xué)習(xí)概念）如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．（理解運(yùn)用）（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對(duì)PM和PQ的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動(dòng)前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時(shí)，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．2．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為a，常數(shù)項(xiàng)為b．（1）線段AB的長(zhǎng)=；（2）如圖，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M從原點(diǎn)與點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度（），若在運(yùn)動(dòng)過程中，2MP－MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無關(guān)，求x的值．答案：（1）36；（2）6；（3）【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式求出a，b的值，然后計(jì)算即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，根據(jù)題意列出方程，解方程即可，然后即可求出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）首先根據(jù)題意得出2M解析：（1）36；（2）6；（3）【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式求出a，b的值，然后計(jì)算即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，根據(jù)題意列出方程，解方程即可，然后即可求出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）首先根據(jù)題意得出2MP?MQ，然后根據(jù)2MP－MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無關(guān)求解即可．【詳解】（1）∵多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為a，常數(shù)項(xiàng)為b，，；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，由BQ=2BP得：4t=2(36?2t)，解得：t=9，因此，點(diǎn)P所表示的數(shù)為：2×9?12=6，答：點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)是6．（3）由題意得：點(diǎn)P所表示的數(shù)為(?12+2t)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為xt，點(diǎn)Q所表示的數(shù)為(24+4t)，∴2MP?MQ=2[xt?(?12+2t)]?(24+4t?xt)=3xt?8t=(3x?8)t，∵結(jié)果與t無關(guān)，∴3x?8=0，解得：x=．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸與一元一次方程的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．在數(shù)軸上，點(diǎn)A向右移動(dòng)1個(gè)單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動(dòng)（n為正整數(shù)）個(gè)單位得到點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c；（1）當(dāng)時(shí)，①點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，a，b，c三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)，數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可能（）A．在點(diǎn)A左側(cè)或在A，B兩點(diǎn)之間B．在點(diǎn)C右側(cè)或在A，B兩點(diǎn)之間C．在點(diǎn)A左側(cè)或在B，C兩點(diǎn)之間D．在點(diǎn)C右側(cè)或在B，C兩點(diǎn)之間②若這三個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)數(shù)相等，求a的值；（2）將點(diǎn)C向右移動(dòng)個(gè)單位得到點(diǎn)D，點(diǎn)D表示有理數(shù)d，若a、b、c、d四個(gè)數(shù)的積為正數(shù)，這四個(gè)數(shù)的和與其中的兩個(gè)數(shù)的和相等，且a為整數(shù)，請(qǐng)寫出n與a的關(guān)系式．答案：（1）①C；②-2或或；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；用含的代數(shù)式表解析：（1）①C；②-2或或；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；用含的代數(shù)式表示即可．【詳解】解：（1）①把代入即可得出，，、、三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)，從而可得出在點(diǎn)左側(cè)或在、兩點(diǎn)之間．故選；②，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）依據(jù)題意得，，，．、、、四個(gè)數(shù)的積為正數(shù)，且這四個(gè)數(shù)的和與其中的兩個(gè)數(shù)的和相等，或．或；為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．4．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，，滿足．（1）求，的值；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上找一點(diǎn)，使，求點(diǎn)表示的數(shù)；（3）如圖，一小球甲從點(diǎn)處以2個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)小球乙從點(diǎn)處以3個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．①分別表示出（秒）時(shí)甲、乙兩小球在數(shù)軸上所表示的數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②求甲、乙兩小球相距兩個(gè)單位時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a=-2，b=6；（2）分C點(diǎn)在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a=-2，b=6；（2）分C點(diǎn)在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論即可求解；（3）①根據(jù)兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)情況直接列式即可；②根據(jù)甲、乙兩小球在數(shù)軸上表示的數(shù)列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴a+2=0，b-6=0，解得，a=-2，b=6，故答案為：a=-2，b=6；（2）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為c．∵AC=2BC，∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．∵AC=2BC＞BC，∴點(diǎn)C不可能在BA的延長(zhǎng)線上，則C點(diǎn)可能在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上．①當(dāng)C點(diǎn)在線段AB上時(shí)，則有-2≤c≤6，得c+2=2（6-c），解得；②當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有c＞6，得c+2=2（c-6），解得c=14．故當(dāng)AC=2BC時(shí)，c=或c=14；（3）①∵甲球運(yùn)動(dòng)的路程為：2?t=2t，OA=2，∴甲球在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2t-2；乙球運(yùn)動(dòng)的路程為：3?t=3t，OB=6，乙球在數(shù)軸上表示的數(shù)為：6-3t；②由題意得：，解得：t=10或t=6，∴甲、乙兩小球相距兩個(gè)單位時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為6秒或10秒．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，有一定難度，運(yùn)用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時(shí)針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí)，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時(shí)針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度順時(shí)針返回，當(dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=2時(shí)，求∠POQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，求t的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出結(jié)果即可；（2）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可．【詳解】解：當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，2t+6t=120，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，6t=120，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，2t6t=120+2t，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，2t+40+6t=120，t=10；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t+6t=120+40，t=20；當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20.（3）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本題考查了角的和差關(guān)系及列方程解實(shí)際問題，解決本題的關(guān)鍵是分好類，列出關(guān)于時(shí)間的方程．6．已知：，、、是內(nèi)的射線．（1）如圖1，若平分，平分．當(dāng)射線繞點(diǎn)在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的度數(shù)．（2）也是內(nèi)的射線，如圖2，若，平分，平分，當(dāng)射線繞點(diǎn)在內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的大?。鸢福海?）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴解析：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴∴（2）∵平分，∴，∵平分，∴∴=【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要注意整體思想的利用．7．如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于60°，就稱這兩個(gè)角互為“伙伴角”，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，則和互為“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．（1）如圖1．O為直線上一點(diǎn)，，，則的“伙伴角”是_______________．（2）如圖2，O為直線上一點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，同時(shí)射線從射線的位置出發(fā)繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)旋轉(zhuǎn)同時(shí)停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t何值時(shí)，與互為“伙伴角”．（3）如圖3，，射線從的位置出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，射線平分，射線平分，射線平分．問：是否存在t的值使得與互為“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時(shí)間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時(shí)間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程，解出時(shí)間t；（3）根據(jù)OI在∠AOB的內(nèi)部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，由旋轉(zhuǎn)得出經(jīng)過t秒旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，利用角平分線的定義分別表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵兩個(gè)角差的絕對(duì)值為60°，則此兩個(gè)角互為“伙伴角”，而，∴設(shè)其伙伴角為，，則，由圖知，∴的伙伴角是．（2）∵繞O點(diǎn)，每秒1°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則t秒旋轉(zhuǎn)了，而從開始逆時(shí)針繞O旋轉(zhuǎn)且每秒4°，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴此時(shí)，，又與重合時(shí)旋轉(zhuǎn)同時(shí)停止，∴，（秒），又與互為伙伴角，∴，∴，∴，秒或15秒．答：t為35或15時(shí)，與互為伙伴角．（3）①若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP左側(cè)時(shí)，即∠AOP＞∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)∠AOI=6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；②若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP右側(cè)時(shí)，即∠AOP＜∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)∠AOI=6×=40°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提條件∴t=不符合題意，舍去；③若OI在∠AOB的外部但OI運(yùn)動(dòng)的角度不超過180°時(shí)，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)解得：＜t≤30∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合前提條件，舍去）或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)不存在t值滿足題意；④若OI運(yùn)動(dòng)的角度超過180°且OI在OP右側(cè)時(shí)，即∠AOI＞∠AOP如下圖所示此時(shí)解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）∴此時(shí)不存在t值滿足題意；⑤若OI運(yùn)動(dòng)的角度超過180°且OI在OP左側(cè)時(shí)，即∠AOI＜∠AOP，如下圖所示此時(shí)解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合，舍去）∴此時(shí)∠AOI=360°－6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；綜上：當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元一次方程的運(yùn)用及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．8．已知，OC為內(nèi)部的一條射線，．（1）如圖1，若OE平分，OD為內(nèi)部的一條射線，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若射線OE繞著O點(diǎn)從OA開始以15度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束、OF繞著O點(diǎn)從OB開始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OA結(jié)束，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，當(dāng)時(shí)，求t的值．答案：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根據(jù)∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵∠AOB解析：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根據(jù)∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．（2）當(dāng)OE在∠AOC內(nèi)部時(shí)，∵∠EOC=∠FOC，∴90-15t=60-5t，解得：t=3．當(dāng)OE與OF重合時(shí)，15t+5t=150，解得：t=7.5．當(dāng)OE與OB重合時(shí)，OF仍在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)∠EOC=60°，此時(shí)OF在∠AOC內(nèi)部，且∠FOC=60°，∴t==24，綜上所述，當(dāng)∠EOC=∠FOC時(shí)，t=3s或7.5s或24s．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的和差定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．9．如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）（問題解決）（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)。（應(yīng)用拓展）（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．答案：（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為解析：（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．【詳解】解：（1）因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，故答案為：是；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有60=2（x+20），解得，x=10；②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有x+20=2（40-x），解得，x=20．綜上，C點(diǎn)表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得，（i）、若0≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P為AQ的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AQ=2AP時(shí)，60-4t=2×2t，解得，，②當(dāng)PQ=2AP時(shí)，60-6t=2×2t，解得，t=6；③當(dāng)AP=2PQ時(shí)，2t=2（60-6t），解得，；綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)Q為AP的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AP=2AQ時(shí)，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，6t-60=2×（60-4t），解得，；③當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，60-4t=2（6t-60），解得，．綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：t=12；；．故，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程并進(jìn)行求解．10．如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB、AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的奇妙線．（1）一個(gè)角的角平分線這個(gè)角的奇妙線．（填是或不是）（2）如圖2，若MPN60，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)QPN首次等于180時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(s)．①當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是QPN的奇妙線？②若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒6的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)求出當(dāng)射線PQ是MPN的奇妙線時(shí)t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3種情況，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)∠α被角平分線分成的兩個(gè)角為∠1和∠2，則有∠α=2∠1，∴一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“奇妙線”；故答案是：是；（2）①由題意可知射線PM在QPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）當(dāng)QPN=2MPN時(shí)，10t=2×60，解得t=12；（b）當(dāng)MPN=2QPM時(shí)，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）當(dāng)QPM=2MPN時(shí)，（10t-60）=2×60，解得t=18．故當(dāng)t為9或12或18時(shí)，射線PM是∠QPN的“奇妙線”；②由題意可知射線PQ在MPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）當(dāng)MPN=2QPN時(shí)，60+6t=2×10t，解得t=；（b）當(dāng)MPQ=2QPN時(shí)，60-4t=2×10t，解得t=；（c）當(dāng)QPN=2MPQ時(shí)，10t=2×（60-4t），解得t=．故當(dāng)射線PQ是∠MPN的奇妙線時(shí)t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了角之間的關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，奇妙線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．11．如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．（1）圖1中，若平分平分，則______；（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）設(shè)，過點(diǎn)O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．答案：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角解析：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行角度之間的加減運(yùn)算，分類討論得出結(jié)論即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案為：120；（2）．證明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如圖1，當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，∴．∴；如圖2，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)量關(guān)系．12．如圖1，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：、、，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個(gè)角的平分線_________這個(gè)角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成90°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒；同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ是的“定分線”時(shí)，求t的值．答案：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解析：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)OC是角∠AOB的平分線時(shí)，∵∠AOB=2∠AOC，∴一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“定分線”；故答案為：是；（2）∵∠MPN=分三種情況①∵射線PQ是的“定分線”，∴=2=，∴=，②∵射線PQ是的“定分線”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射線PQ是的“定分線”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案為：或或；（3）依題意有三種情況：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t為2.4秒或4秒或6秒時(shí)，PQ是∠MPN的“定分線”．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的幾何應(yīng)用，“定分線”定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解“定分線”的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵．13．如圖，一副三角板中各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線的點(diǎn)處重合，三角板的邊落在直線上，三角板繞著頂點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．兩塊三角板都在直線的上方，作的平分線，且，．（1）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)（如圖1），的度數(shù)是_______．（2）現(xiàn)將三角板繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（即），請(qǐng)就下列兩種情形，分別求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）①當(dāng)為銳角時(shí)（如圖2）；②當(dāng)為鈍角時(shí)（如圖3）；答案：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度數(shù)；（2）根據(jù)圖形和第一問中的推導(dǎo)可以解答本題；（3）通過圖形可以發(fā)現(xiàn)∠BOD是∠AOB與∠COD的和與∠MOC的差，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，點(diǎn)C在射線ON上，∴∠BOD＝180°?45°?60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）①當(dāng)∠CON為銳角時(shí)，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°?45°?60°?x°＝75°?x°．∵OP平分∠BOD，∴當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②當(dāng)∠CON為鈍角時(shí)，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°?x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD?∠MOC＝45°＋60°?（180°?x°）＝x°?75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)圖形找出所求問題需要的條件．14．如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長(zhǎng)度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．答案：（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ解析：（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-5，7，∴線段AB的長(zhǎng)度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度知．因?yàn)?，所以，即，所以．?）分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的運(yùn)用和絕對(duì)值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的表示方法，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．15．定義：在同一平兩內(nèi)，有公共端點(diǎn)的三條射線中，一條射線是另兩條射線組成夾角的角平分線，我們稱這三條射線為“共生三線”．如圖為一量角器的平面示意圖，為量角器的中心．作射線，，，并將其所對(duì)應(yīng)的量角器外圈刻度分別記為，，．（1）若射線，，為“共生三線”，且為的角平分線．①如圖1，，，則______；②當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出射線，，，并直接寫出的值；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)，得______（用含，的代數(shù)式表示）．（2）如圖3，，．在刻度線所在直線上方區(qū)域內(nèi)，將，，按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)同時(shí)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度分別為每秒，，，若旋轉(zhuǎn)秒后得到的射線，，為“共生三線”，求的值．答案：（1）①40；②畫圖見解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根據(jù)“共生三線”的定義直接計(jì)算；②分別畫出OA，OB，再根據(jù)OC為∠AOB的平分線畫出OC；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)直接可得結(jié)解析：（1）①40；②畫圖見解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根據(jù)“共生三線”的定義直接計(jì)算；②分別畫出OA，OB，再根據(jù)OC為∠AOB的平分線畫出OC；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)直接可得結(jié)論；（2）分OB′為∠A′OC′的平分線，OA′為∠B′OC′的平分線，OC′為∠A′OB′的平分線三種情況，列出方程求解．【詳解】解：（1）①∵OA，OB，OC為“共生三線”，OC平分∠AOB，∴∠AOB=b°-a°=80°，∴m°=∠AOB=×80°=40°，故m=40；②如圖，∵，，∴m=（a+b）÷2=95；③根據(jù)①②的經(jīng)驗(yàn)可得：m=；（2）∵a=0，b=m=60，∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，當(dāng)OB′為∠A′OC′的平分線時(shí)，b=，即60+6t=（12t+60+8t），解得：t=；當(dāng)OA′為∠B′OC′的平分線時(shí)，a=，即12t=（60+6t+60+8t），解得：t=12；當(dāng)OC′為∠A′OB′的平分線時(shí)，m=，即60+8t=（12t+60+6t），解得：t=30；綜上：t的值為或12或30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義的運(yùn)用，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)“共生三線”的定義分類討論，列出方程．16．綜合與探究：射線是內(nèi)部的一條射線，若，則我們稱射線是射線的伴隨線．例如，如圖1，，，則，稱射線是射線的伴隨線；同時(shí)，由于，稱射線是射線的伴隨線．完成下列任務(wù)：（1）如圖2，，射線是射線的伴隨線，則，若的度數(shù)是，射線是射線的伴隨線，射線是的平分線，則的度數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如，射線與射線重合，并繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線與射線重合，并繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻（秒），使得的度數(shù)是，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)為多少秒時(shí)，射線，，中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．請(qǐng)直接寫出結(jié)果．答案：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解解析：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解即可；（3）分為（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：當(dāng)OC是OA的伴隨線時(shí)，當(dāng)OC是OD的伴隨線時(shí)；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：當(dāng)OD是OC的伴隨線時(shí)，當(dāng)OD是OA的伴隨線時(shí)，四種情況求解即可.【詳解】解：（1）如圖4所示，，,如圖4所示：，,；故答案為：，；（2）射線與重合時(shí)，（秒）①當(dāng)?shù)亩葦?shù)是時(shí)，有兩種可能：若OC與OD在相遇之前，如圖5：則，∴，若OC與OD在相遇之后，如圖6：則，∴；所以，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，，當(dāng)OC是OA的伴隨線時(shí)，如圖7：，即：，解得；當(dāng)OC是OD的伴隨線時(shí)，如圖8：即：，解得；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，當(dāng)OD是OC的伴隨線時(shí)，9如圖：,即：，解得；當(dāng)OD是OA的伴隨線時(shí)，如圖10：,即：，解得；綜上：當(dāng)，，，15秒時(shí)，、、中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【點(diǎn)睛】本題考查了提取信息的能力，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論的思想；關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，建立方程解答．17．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？在①，②，③，④中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來的特殊角是；（填序號(hào)）（2）在探究過程中，愛動(dòng)腦筋的小明想起了圖形的運(yùn)動(dòng)方式有多種．如圖，他先用三角板畫出了直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（）的頂點(diǎn)與角（）的頂點(diǎn)互相重合，且邊、都在直線上．固定三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，當(dāng)邊與射線第一次重合時(shí)停止．①當(dāng)平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度；②是否存在？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）①根據(jù)已知條件得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論解析：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）①根據(jù)已知條件得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論；②當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，和不能寫成、、、的和或差，故畫不出；故選②③；（2）①，，平分，，，；②當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，如圖②，則，，，，；當(dāng)在的右側(cè)時(shí)如圖③，則，，，，，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，存在．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知，是等邊三角形（三條邊都相等、三個(gè)角都等于的三角形），平分．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，_________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，________；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)，請(qǐng)借助圖3填空．解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠椒?，所以_________________（用表示），因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以_______（用表示）．（4）由（1）（2）（3）問可知，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)（用來表示，無需說明理由）答案：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根據(jù)，