考研數(shù)三考試題型及答案

一、單項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=2，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)的增量Δf(x)與x-x0的比值的極限為（）。A.1B.2C.x0D.0答案：B2.函數(shù)f(x)=|x-1|在x=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.不存在答案：D3.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則下列級(jí)數(shù)中必定收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)an^2B.∑(n=1to∞)(-1)^nanC.∑(n=1to∞)(1+an)^2D.∑(n=1to∞)(an)^3答案：B4.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）。A.2B.-2C.8D.-8答案：C5.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，這是（）。A.中值定理B.羅爾定理C.拉格朗日中值定理D.泰勒定理答案：C6.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0，這是（）。A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：C7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.可能遞增也可能遞減D.不變答案：A8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則下列說法正確的是（）。A.若f''(x0)>0，則f(x0)是極大值B.若f''(x0)<0，則f(x0)是極大值C.若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值D.若f''(x0)<0，則f(x0)是極小值答案：C9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上（）。A.必定單調(diào)B.必定可積C.必定連續(xù)D.必定可微答案：B10.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則下列說法正確的是（）。A.若f'(x0)>0，則f(x0)是極小值B.若f'(x0)<0，則f(x0)是極大值C.若f'(x0)=0，則f(x0)可能是極值D.若f'(x0)=0，則f(x0)一定不是極值答案：C二、多項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)答案：BCD2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)D.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BD3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=-xD.f(x)=ln(x)答案：BD4.下列說法中，正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值答案：ABCD5.下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：CD6.下列函數(shù)中，在x=0處取得極值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)答案：AC7.下列說法中，正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值答案：ABCD8.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：BC9.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)連續(xù)的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)答案：ABCD10.下列說法中，正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值答案：ABCD三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處必定連續(xù)。（）答案：正確2.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|an|必定收斂。（）答案：錯(cuò)誤3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。（）答案：正確4.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0。（）答案：正確5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。（）答案：正確6.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極大值。（）答案：錯(cuò)誤7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。（）答案：正確8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0。（）答案：正確9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。（）答案：正確10.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題，(總共4題，每題5分)。1.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的定義。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的增量Δf(x)與自變量x的增量x-x0的比值lim(x→x0)Δf(x)/(x-x0)存在。2.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)收斂的定義。答案：級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，是指其部分和數(shù)列Sn=a1+a2+...+an的極限lim(n→∞)Sn存在。3.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f'(x0)存在，則f'(x0)=0。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f''(x0)存在，則若f''(x0)>0，則f(x0)是極小值；若f''(x0)<0，則f(x0)是極大值。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。在區(qū)間[-2,-1)上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間(-1,1)上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間(1,2]上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。函數(shù)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=1處取得極小值f(1)=-2。2.討論級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)的收斂性。答案：級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件，即項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于0。因此，級(jí)數(shù)