基本不等式2026年高考數(shù)學復習專題課件★★(1)基本不等式成立的條件：

．(2)等號成立的條件：當且僅當

時，等號成立．

(3)其中

叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．

回歸教材a>0，b>0a＝b

基本不等式的兩種常用變形形式(1)ab≤

(a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號)．

(2)a＋b≥

(a>0，b>0，當且僅當a＝b時取等號)．利用基本不等式求最大、最小值問題(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么當

時，x＋y有最小值

．(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么當

時，xy有最大值

．注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．x＝y(tǒng)x＝y(tǒng)

常用不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R)．2ab21．判斷下面結論是否正確．(對的打“√”，錯的打“×”)(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

夯實雙基答案(1)√

解析(1)正確，因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且等號能同時取到，三式相加化簡即可．(2)函數(shù)y＝x＋

的最小值是2.答案(2)×

解析(2)錯誤，當x<0時，y≤－2.答案(3)×

解析(3)錯誤，cosx不可能為2.答案

(4)×

解析(4)錯誤，當x<0，y<0時不等式也成立．答案

(5)×

答案

(6)×2．設0<a<b，則下列不等式中正確的是(

)√3．已知x∈R，則下列不等式恒成立的是(

)

C．lg(x2＋1)>lg(2x) D．x2＋4>4x√4．(2025·滄州七校聯(lián)考)設x>0，y>0，且x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是(

)A．40 B．10C．4 D．2√解析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.5.(人教A版必修一P47例4改編)如圖，要建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為________元．1760解析設水池底面相鄰兩條邊的邊長為am，bm，水池的總造價為y元，則ab＝4，y＝ab×120＋2(2a＋2b)×80＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2

＝480＋320×4＝1760，當且僅當a＝b＝2時取“＝”．√授人以漁02PARTTWO題型一

利用基本不等式求最值(微專題)微專題1拼湊法求最值√③當x≥2時，求最小值．狀元筆記拼湊法求最值的技巧(1)用基本不等式求最值要注意三個條件：一正、二定、三相等．“一正”不滿足時，需提負號或加以討論，如例(2)②，“二定”不滿足時，需變形，如例(2)①，“三相等”不滿足時，可利用函數(shù)單調(diào)性，如例(2)③.(2)求乘積的最值，同樣要檢驗“一正、二定、三相等”，如本例(1)中的關鍵是變形，湊出和為常數(shù)的形式．√3微專題2換元法求最值狀元筆記本例是通過換元，湊出積為常數(shù)的形式，進而求最值．令y′＝0，得t＝－1.當t∈(－5，－1)時，y′＞0.當t∈(－1，0)時，y′＜0.∴t＝－1時，ymax＝1.微專題3常數(shù)代換法求最值(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝4，則①xy的最大值為________；22

(2)(2025·江蘇常州市期末)已知正數(shù)a，b滿足a＋2b＝3恒成立，則C．2 D．3√【解析】由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，狀元筆記利用常數(shù)代換法求解最值應注意：(1)條件的靈活變形，常數(shù)化成1是代數(shù)式等價變形的基礎．(2)利用基本不等式求最值時注意“一正、二定、三相等”的條件，否則容易出現(xiàn)錯解．思考題3

(1)已知x>0，y>0，且xy＝x＋2y，求x＋y的最小值．的最小值為________．4【解析】令x－1＝m，2y－1＝n，則m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，微專題4消元法求最值

(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．6【解析】方法一(換元消元法)：x＝3，y＝1時取等號．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值為6.方法二(代入消元法)：

(2)本例(1)條件不變，求xy的最大值．【答案】3當且僅當x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號，∴xy的最大值為3.即y＝1，x＝3時取等號．∴xy的最大值為3.狀元筆記利用消元法求最值，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．思考題4

(1)(2025·滄衡八校聯(lián)盟)若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．18＝6時取等號．故xy的最小值為18.題型二

證明不等式

(1)已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．【答案】證明見解析【證明】

∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，當且僅當a2＝b2＝c2時取等號，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，當且僅當ab＝bc＝ac時取等號，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．【答案】證明見解析【證明】∵a，b均為正實數(shù)，狀元筆記證明不等式的方法證明不等式時，可依據(jù)求證的不等式兩端的式子結構，合理選擇基本不等式及其變形不等式來證．

思考題5已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：【答案】證明見解析【答案】證明見解析【證明】(2)方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，題型三

應用問題(自主學習)

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價為每平方米60元(池壁厚忽略不計)．(1)污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低？【答案】15米

(2)如果受地形限制，污水處理池的長、寬都不能超過14.5米，那么此時污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低？【答案】14.5米所以當x＝14.5時，g(x)取最小值，相應總造價f(x)取最小值，此時寬也不超過14.5米．狀元筆記有關函數(shù)最值的實際問題的解題技巧(1)通常將函數(shù)取最值時所求的變量設為自變量．(2)在應用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．√思考題6

(人教A版必修一P48T6改編)近年來冬季氣候干燥，冷空氣頻繁襲來，為提高公民的取暖水平，某社區(qū)決定建立一個取暖供熱站．已知供熱站每月自然消費與供熱站到社區(qū)的距離成反比，每月供熱費與供熱站到社區(qū)的距離成正比，如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，這兩項費用分別為5千元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，供熱站到社區(qū)的距離應為(

)A．5千米 B．6千米C．7千米 D．8千米【解析】設供熱站到社區(qū)的距離為x(x＞0)千米，則月自然消費y1要使這兩項費用之和最小，供熱站到社區(qū)的距離應為5千米．故選A.狀元筆記1．利用基本不等式求最值，“和定積最大，積定和最小”．應用此結論要注意三個條件：“一正、二定、三相等”．2．對于基本不等式，不僅要記住原始形式，還要掌握它的變形及√課外閱讀03PARTTHREE重溫高考1．(2024·北京)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，則(

)√∵x1≠x2，∴等號取不到，2．【多選題】(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(

)A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1√√

[－2，2]，所以A錯誤，B正確．3．(2021·全國乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是(

)√解析因為y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以當x＝－1時，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合題意；能成立，因此可知y>4，所以B不符合題意；等號，所以ymin＝4，