第四章三角形第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線(含命題)章前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖解決問題特殊幾何初步、相交線與平行線直線與線段角及角平分線相交線、平行線命題直角三角形全等、相似三角形的性質(zhì)全等、相似三角形的判定實(shí)際應(yīng)用性質(zhì)面積判定三角形等腰三角形角邊角關(guān)系邊重要線段及直線(角平分線、中線、高線、中位線、垂直平分線)三角形全等、相似三角形銳角三角函數(shù)節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖幾何初步、相交線與平行線(含命題)直線與線段兩個基本事實(shí)兩點(diǎn)間的距離線段的和與差線段中點(diǎn)角及角平分線角的度量及換算余角、補(bǔ)角角平分線相交線相交線垂線及性質(zhì)平行線的性質(zhì)與判定平行公理及推論平行線的判定與性質(zhì)兩條平行線間的距離作法一:作平行線作法二:拐點(diǎn)延長相交角度關(guān)系命題與反證法教材知識逐點(diǎn)過考點(diǎn)1直線與線段(2024.1)兩個基本事實(shí)1.

直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線(兩點(diǎn)確定一條直線)；2.

線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短(兩點(diǎn)之間，線段

最短)兩點(diǎn)間的距離連接兩點(diǎn)的線段的長度線段的和與差如圖，在線段AC上取一點(diǎn)B，則有AB＋

＝AC；AB＝

?

－BC；BC＝AC－

?

線段中點(diǎn)如圖，點(diǎn)M把線段AB分成兩條線段AM與MB，如果AM＝MB，那么

點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)，即有AM＝MB＝

?

BC

AC

AB

考點(diǎn)2角及角平分線(2024.2)1.

角的度量及換算量角器的使用量角器的中心點(diǎn)O和角的頂點(diǎn)重合，量角器的零刻度線和角的一條邊重

合，做到兩重合后看角的另一條邊對應(yīng)的刻度線的度數(shù)度分秒的換算1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60'，1'＝60″，度分秒的單位換算是60進(jìn)制2.

余角、補(bǔ)角余角(1)概念：如果兩個角的和是90°，那么這兩個角互為余角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的余角

?補(bǔ)角(1)概念：如果兩個角的和為180°，那么這兩個角互為補(bǔ)角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等相等3.

角平分線概念如果從一個角的頂點(diǎn)引出的一條射線把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

?逆定理角的內(nèi)部到角兩邊距離

?的點(diǎn)在這個角的平分線上相等相等考點(diǎn)3相交線(2024.1)1.

相交線

(1)對頂角相等(2組)，∠1＝

，∠2＝

?；(2)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)(4組)，∠1＋

＝∠1＋∠2＝

＋∠3＝

∠3＋∠4＝180°∠3∠4

∠4∠2

2.

垂線及性質(zhì)概念兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線垂線的性質(zhì)(1)經(jīng)過直線上或直線外一點(diǎn)，有且只有

條直線與已知直線垂直(基本事實(shí))；(2)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，

?最短點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的

?的長度叫做點(diǎn)到直線的距離一垂線段垂線段線段垂直平分線(1)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.如圖，

若l⊥AB，OA＝OB，則AP＝

?；(2)逆定理：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的

?

?上

BP

垂直平

分線考點(diǎn)4平行線的性質(zhì)與判定(6年3考)★重點(diǎn)

平行公理及推論1.

公理：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線

平行(基本事實(shí))；2.

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行【知識拓展】在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行平行線的判定與性質(zhì)1.同位角

兩直線平行；2.內(nèi)錯角

兩直線平行；3.同旁內(nèi)角

兩直線平行兩條平行線間的距離1.

概念：過平行線上的一點(diǎn)作另一條平行線的垂線，

?的長度

叫做兩條平行線間的距離；2.

性質(zhì)：兩條平行線之間的距離處處

?相等相等互補(bǔ)垂線段相等【知識拓展】平行線求角度輔助線的作法作法一：作平行線

作法二：拐點(diǎn)延長相交

角度關(guān)系∠ABE＋

∠DCE＝∠BEC∠ABE＋

∠DCE＋∠BEC＝360°∠ABE－

∠DCE＝∠BEC∠ABE－

∠DCE＝∠BEC考點(diǎn)5命題1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題.命題有題設(shè)和結(jié)論兩部分；2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；3.假命題：如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題；4.互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是另一個命題的結(jié)論，且第一

個命題的結(jié)論是另一個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題；5.

反證法：先假設(shè)原命題結(jié)論不正確，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推理論證，

最后推出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果.

因此，假設(shè)是錯誤的，原結(jié)論是正確的.基礎(chǔ)題對點(diǎn)練1.

[北師七上習(xí)題改編]將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要2個釘子，其

中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是(

A

)A.兩點(diǎn)確定一條直線B.垂線段最短C.直線的兩端是無限延伸的D.兩點(diǎn)之間，線段最短A2.

[人教七上練習(xí)改編]如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，

E是BC的中點(diǎn).(1)AB＝AC＋

?；(2)AC＝AE－

?；(3)若AC的長為6，CE的長為2，則DE的長為

?.CB

CE

5

3.

[冀教七上習(xí)題改編]如圖，直尺ABCD的一邊BC經(jīng)過量角器的圓心

O，則∠BOE＝

?.4.

[北師七上習(xí)題改編]若∠A＝85°，則∠A的補(bǔ)角為

°，∠A的

余角為

?°.50°

95

5

5.

[人教八上習(xí)題改編]如圖，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，P是

OD上一點(diǎn)，PQ⊥CO.

(1)∠COD的度數(shù)為

?；(2)PQ＝3，則點(diǎn)P到AB的距離為

?.35°

3

6.

[北師七上習(xí)題改編]如圖，直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，∠AOD＝

134°，∠COE＝44°，則∠EOB的度數(shù)為

?.90°

7.

[人教八上習(xí)題改編]如圖，在線段

AC，BC，CD，CE中，最短的線

段為

，若CD是BE的垂直平分線，CE＝4，則BC的長為

?.CD

4

8.

[冀教七下習(xí)題改編]如圖，若AB∥CD，過點(diǎn)C的射線與AB交于點(diǎn)

E.

若∠1＝35°，則∠2＝

?°.145

9.

[冀教七下例題改編]已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖

所示擺放.若∠1＝120°，則∠2＝

?.150°

10.

[人教七下例題改編]如圖，木棒AB，CD與EF分別在點(diǎn)G，H處用

可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點(diǎn)G

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)

?°.20

11.

[人教七下習(xí)題改編]下列命題中，是真命題的是(

C

)A.相等的角是對頂角B.不相交的兩條線段平行C.一個角的余角比它的補(bǔ)角小90°D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C河北中考真題精選性質(zhì)、定理的考查命題點(diǎn)11.

(2024河北1題)如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一

側(cè)的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是(

A

)A.

aB.

bC.

cD.

dA2.

如圖，在直線l外有一定點(diǎn)O，Q是直線l上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q從左

向右移動時(shí)，下列說法正確的是(

D

)DA.

∠α增大B.

∠β減小C.

∠α＋∠β的和增大D.

∠α＋∠β的和不變平行線的性質(zhì)與判定命題點(diǎn)23.

(2025河北2題)榫卯結(jié)構(gòu)是兩個構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式.如圖是某

個構(gòu)件的截面圖，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，則∠BAD＝(

C

)A.

70°B.

100°C.110°D.

130°C4.

(2024河北7題·源于冀教七下習(xí)題改編)下面是投影屏上出示的搶答題，

需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容.已知：如圖，∠BEC＝∠B＋∠C.

求證：AB∥CD.

證明：延長BE交

※

于點(diǎn)F，則∠BEC＝

?

＋∠C(三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和).又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝

▲

，故AB∥CD(

@

相等，兩直線平行).則回答正確的是(

C

)A.

?代表∠FECB.

@代表同位角C.

▲代表∠EFCD.

※代表ABC【解析】輔助線作法為延長BE交CD于點(diǎn)F，則※代表CD；∵∠BEC

＝∠EFC＋∠C，∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EFC，∴?代表

∠EFC，▲代表∠EFC；∵∠B＝∠EFC，∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等，

兩直線平行)，∴@代表內(nèi)錯角.5.

(2025唐山模擬)古城正定承載著豐富的古建筑文化.在如圖的六邊形窗

戶ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，則∠BCD＝(

C

)A.

120°B.

100°C.80°D.

60°C【解析】∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，∴∠B＋∠BCF＝

180°，∠D＋∠DCF＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，∵∠B＝∠D＝140°，∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝40°＋40°＝80°.6.

(2024河北11題)要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量.兩同學(xué)提供了如下間接測量方案(如圖①和圖②)：對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是(

C

)A.

Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.

Ⅰ不可行