滬教版（2024）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第22章直角三角形22.2角平分線目錄0203050604

典型例題（含課本例題）

知識(shí)點(diǎn)講解

情景導(dǎo)入

課堂小結(jié)與布置作業(yè)

課堂練習(xí)（分層練習(xí)）01學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線，知道作圖的理論依據(jù).2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問(wèn)題；3.探索并證明角的平分線的判定定理，感受互逆的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展推理能力和解題能力；4.能夠運(yùn)用角的平分線的判定定理解決相關(guān)問(wèn)題.我們知道，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是角平分線所在的直線.已知一個(gè)角，你能用直尺和圓規(guī)作出它的平分線嗎?如圖1，已知∠AOB，求作∠AOB的平分線.作法(1)以點(diǎn)O為圓心、以任意長(zhǎng)度a為半徑作弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、E;(2)分別以點(diǎn)D、E為圓心，以DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)C;(3)作射線OC.射線OC就是∠AOB的平分線(圖2).圖1圖2證明 如圖，連接CD、CE. 在△OCD和△OCE中，OD=OE，OC=OC，CD=CE，△OCD≌△OCE.∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB.如圖，設(shè)OC是∠AOB的平分線，在OC上任取一個(gè)不與點(diǎn)0重合的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別向OA、OB作垂線段，那么這兩條垂線段的長(zhǎng)相等.研究角平分線有關(guān)問(wèn)題時(shí),約定所涉及的角小于平角.歸納上述事實(shí)，得到角平分線的性質(zhì)定理:定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊所在直線的距離相等.顯然，角平分線的端點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊所在直線的距離相等，都為0.如圖，已知:OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E.求證:PD=PE證明：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2.因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°.又因?yàn)椤蟣=∠2，∠PDO=∠PEO,OP為公共邊，所以△PDO≌△PEO.由此推出PD=PE.反過(guò)來(lái)，則得到:定理在角的內(nèi)部，到角的兩邊所在直線距離相等的點(diǎn)，均在這個(gè)角的平分線上.如圖3，已知:Q為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分別為D、E，QD=QE.求證:點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.證明：如圖4，作射線OQ.因?yàn)镼D⊥OA，QE⊥OB，所以∠QDO=∠QEO=90°.又因?yàn)镼D=QE，OQ為公共邊，根據(jù)直角三角形全等的判定定理，得Rt△QDO≌Rt△QEO.由此推出∠1=∠2，即OQ是∠AOB的平分線，由此可見(jiàn)點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.圖3圖4經(jīng)典例題例1如圖1，已知:在△ABC中，AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分別為D、E.求證:點(diǎn)O在∠C的平分線上.證明 如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC，垂足為F. ∵AO是∠BAC的平分線，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF(角平分線的性質(zhì)定理).同理，可得OE=OD.∴OD=OF.又∵OD⊥BC，OF⊥AC，∴點(diǎn)0在∠C的平分線上(在角的內(nèi)部，到角的兩邊所在直線距離相等的點(diǎn)，均在這個(gè)角的平分線上).圖1圖2本題結(jié)論表明:三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.例2 如圖3，已知:在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD=CD.求證:∠B=∠C.證明 如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF(角平分線的性質(zhì)定理).在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(直角三角形全等的判定定理).∴∠B=∠C.圖3圖4例3如圖5，已知∠AOB及其內(nèi)部一點(diǎn)C.求作∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)P，使PC=PO，且點(diǎn)P到直線OA、OB的距離相等.分析假定點(diǎn)P已經(jīng)作出，由PC=PO，可知點(diǎn)P一定在線段OC的垂直平分線上，又由點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部且到直線OA、OB的距離相等，可知點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.因此，P應(yīng)是線段OC的垂直平分線與∠AOB的平分線的交點(diǎn).作法(1)連接OC，作線段OC的垂直平分線MN;(2)作∠AOB的平分線OD，OD與MN相交于點(diǎn)P.P就是所求的點(diǎn)(圖6).圖5圖6知識(shí)點(diǎn)1

角平分線的作法

課堂練習(xí)

知識(shí)點(diǎn)2

角平分線的性質(zhì)

B

知識(shí)點(diǎn)3

角平分線的判定

A

4

角的平分線性質(zhì)定理過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線段.

一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等.輔助線添加角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.判定定理本節(jié)課同學(xué)們學(xué)到了什么？作業(yè)題教科書(shū)第119頁(yè)練習(xí)第1，2題課本練習(xí)1.如圖，已知∠AOB，用尺規(guī)四等分∠AOB.2.如圖，已知:點(diǎn)P、D在∠AOB的平分線上，OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別是M、N.求證:PM=PN.證明：因?yàn)镺A=OB，OD為∠AOB的角平分線，所以，∠BOD=∠AOD,因?yàn)椋琌D=OD,所以△BOD≌△AOD,所以∠BDO=∠AD0。因?yàn)椤螧DO=∠ADO,PM⊥BD,PN⊥AD又因?yàn)镈P=DP根據(jù)角角邊判定△PMD≌△PND,所以PM=PN作業(yè)題教科書(shū)第13頁(yè)練習(xí)第1，2，3題課本練習(xí)1.如圖，已知:在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，∠CBD=∠CDB.求證:CA平分∠BCD.證明：因?yàn)椤螩BD=∠CDB，所以BC=CD。在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC，

BC=CD，所以Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，所以∠BCA=∠DCA，即CA平分∠BCD2.如圖，已知:CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC.求證:OB=OC.證明：∵AO平分∠BAC，∴∠EAO=∠DAO。又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO=∠AEO=90°。在△ADO和△AEO中，有∠EAO=∠DAO，∠ADO=∠AEO，AO=AO，根據(jù)角角邊(AAS)全等判定定理，可得△ADO≌△