試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)福建省廈門市思明區(qū)第五中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，曾誕生了很多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．下列與我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．2．如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，則旋轉(zhuǎn)角是（

）A． B． C． D．3．如圖，均為的半徑，連接，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．已知一元二次方程，若，則該方程一定有一個(gè)根為（

）A． B．3 C． D．不能確定5．某種迫擊炮發(fā)射炮彈的飛行高度米與飛行時(shí)間秒的關(guān)系式為，一枚炮彈從發(fā)射到落地，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒6．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．點(diǎn)在其圖象上 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C．當(dāng)時(shí)， D．其圖象在第二、四象限7．把多個(gè)用電器連接在同一個(gè)插線板上，同時(shí)使用一段時(shí)間后，插線板的電源線會(huì)明顯發(fā)熱，存在安全隱患．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到時(shí)長(zhǎng)一定時(shí)，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．Q隨I的增大而增大C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多8．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值可知，方程（，、、為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是（

）3.233.243.253.260.030.09A． B．C． D．二、填空題9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則的值為．11．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為．12．把拋物線先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后得到的拋物線的解析式是．13．讀詩(shī)詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物：而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．（詩(shī)詞大意：周瑜英年早逝，逝世時(shí)的年齡是一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時(shí)的年齡），設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則列得方程為14．如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶?jī)?nèi)液體已經(jīng)過(guò)半，截面圓中弦的長(zhǎng)為，則最大深度的長(zhǎng)為．15．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，連接．若，，，則的長(zhǎng)為．16．已知拋物線上有點(diǎn)和，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若，，都有，則的值為．三、解答題17．解下列方程：(1)；(2)．18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19．隨著電池技術(shù)的突破，電動(dòng)汽車已呈替代燃油汽車的趨勢(shì)，某品牌電動(dòng)汽車在今年第一季度銷售了2萬(wàn)輛，第三季度銷售了萬(wàn)輛．求前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長(zhǎng)率．四、填空題20．如圖，為的直徑，，是弦，與相交于點(diǎn)，連接．(1)求；(2)若是的中點(diǎn)，求證：．五、解答題21．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若為整數(shù)，該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否可以都為正整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．育新書店發(fā)售一套兒童繪本，成本價(jià)40元/套，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，繪本售價(jià)每套50元/套，每天可以銷售200套．若每套繪本漲價(jià)1元，日銷量將減少10套．育新書店預(yù)計(jì)每天的銷售量不少于100套．(1)問(wèn)每套繪本售價(jià)應(yīng)不高于多少元？(2)為了回報(bào)社會(huì)，育新書店決定每銷售一套兒童繪本，就為市兒童基金會(huì)捐贈(zèng)元，捐贈(zèng)后，該書店每天的最大利潤(rùn)能否達(dá)到1690元？若能，求的值；若不能，說(shuō)明理由．23．已知拋物線開口向下，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．(1)求證：；(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在正半軸．24．綜合與實(shí)踐：素材1福州地鐵某站在工作日早高峰（）期間，地鐵運(yùn)營(yíng)部門通過(guò)閘機(jī)感應(yīng)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在這兩小時(shí)內(nèi)，A出口的人流量（人次）與時(shí)間（分鐘）存在如下關(guān)系：以為起始時(shí)間點(diǎn)（）t（分鐘）0306090120y（人次）1060807030任務(wù)1請(qǐng)根據(jù)已知條件，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察，猜想，求出與的關(guān)系式，并進(jìn)行驗(yàn)證：素材2福州憑借豐富的歷史文化底蘊(yùn)、美麗的自然風(fēng)光以及特色美食，吸引了大量游客前來(lái)游玩．三坊七巷內(nèi)人潮涌動(dòng)；游客們穿梭于古街古巷，感受著福州的歷史韻味；鼓山風(fēng)景區(qū)迎來(lái)絡(luò)繹不絕的登山客，俯瞰城市美景；煙臺(tái)山的文藝街區(qū)也聚集了眾多游客打卡拍照．某假期為吸引游客，福州地鐵特推出免費(fèi)乘車活動(dòng)，使得客流量較平日呈現(xiàn)顯著攀升態(tài)勢(shì)，導(dǎo)致后A出口在原有人流量基礎(chǔ)上每分鐘較前一分鐘額外增加2人．例如的人流量比原來(lái)增加2人，的人流量比原來(lái)增加4人，以此類推……任務(wù)2求時(shí)段與的關(guān)系式，并指出人流量達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的具體時(shí)刻；素材3在地鐵大客流應(yīng)對(duì)措施中，欄桿繞行是頗為常見且有效的一種手段．通常，地鐵車站會(huì)選用可移動(dòng)的金屬安全圍欄，也就是俗稱的“鐵馬”來(lái)設(shè)置特定的通行路徑，較為常見的是設(shè)置“S”形鐵馬陣．任務(wù)3為保障乘客安全和通行效率，若地鐵運(yùn)營(yíng)規(guī)定，當(dāng)出口閘門人流量達(dá)到或超過(guò)200人次分鐘時(shí)，需啟動(dòng)一級(jí)客流管控，工作人員會(huì)在安檢通道擺放鐵馬，設(shè)置繞行，以減緩客流進(jìn)入站臺(tái)的速度．根據(jù)任務(wù)2中與的關(guān)系式，通過(guò)計(jì)算，直接寫出該入口需要啟動(dòng)一級(jí)客流管控的持續(xù)時(shí)長(zhǎng)．25．中，，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)剛好落在邊上，連接，求證：；(2)在圖2中判斷、和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若，，直接寫出的最小值為________．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《福建省廈門市思明區(qū)第五中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考卷》參考答案題號(hào)12345678答案BCBBCBCD1．B【分析】本題考查軸對(duì)稱及中心對(duì)稱的定義，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，要注意：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念逐選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴旋轉(zhuǎn)角是和．故選：C．3．B【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而即可求出答案．【詳解】解：，，，故選：B．4．B【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．由于當(dāng)時(shí)，，則可判斷該方程一定有一個(gè)根為3．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以若，則該方程一定有一個(gè)根為3．故選B．5．C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵；炮彈落地時(shí)高度為0，代入關(guān)系式求解一元二次方程即可.【詳解】解：∵炮彈落地時(shí)，∴令，解得或，∵表示發(fā)射時(shí)刻，∴落地時(shí)間為秒；故選：C.6．B【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的基礎(chǔ)．通過(guò)反比例圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可對(duì)A選項(xiàng)做出判斷；通過(guò)反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)、增減性、對(duì)稱性可對(duì)其它選項(xiàng)做出判斷，得出答案．【詳解】解：由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)，故A是正確的，不符合題意；由反比例函數(shù)的性質(zhì)，，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故B是不正確的，符合題意；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，，故C是正確的，不符合題意；由，雙曲線位于二、四象限，故D也是正確的，不符合題意；故選：B．7．C【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，準(zhǔn)確從圖中獲取信息，并逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解∶根據(jù)圖1知：當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；根據(jù)圖2知：Q隨I的增大而增大，故選項(xiàng)B正確，但不符合題意；根據(jù)圖2知：Q隨I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；根據(jù)圖1知：I隨P的增大而增大，又Q隨I的增大而增大，則P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多，故選項(xiàng)D正確，但不符合題意；故選：C．8．D【分析】本題考查一元二次方程近似解的估算，掌握一元二次方程估算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，從而可知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)左右所取的值代入得到的值異號(hào)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，重新列表如下：3.233.243.253.260.030.09當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)使，即方程（，、、為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是，故選：D．9．【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：10．2【分析】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題的關(guān)鍵．將已知根代入方程，求解參數(shù)即可．【詳解】解：將代入方程，得，即，整理得，解得．故答案為：2．11．，【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問(wèn)題；二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，即所求解為二次函數(shù)中時(shí)所對(duì)應(yīng)的的解．【詳解】觀察圖象可知，對(duì)稱軸為直線，一個(gè)交點(diǎn)為，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為∴一元二次方程的解是，故答案為：，．12．【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．【詳解】解：由題意得，平移后得到的拋物線的解析式為．故答案為：．13．【分析】本題考查了一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)題意，十位數(shù)字為，周瑜逝世的年齡為，且個(gè)位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世的年齡，即，由此列式即可求解．【詳解】解：個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意可得：，根據(jù)垂徑定理得，再由勾股定理得，即可求解．【詳解】解：連接，由題意可得：，，，，，故答案為：15．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的定義即勾股定理求線段長(zhǎng)度的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到是等腰直角三角形，從而得到是直角三角形，由勾股定理得到的長(zhǎng)，則，再運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即，在中，，∴，∴，在中，，故答案為：．16．【分析】由拋物線解析式可得對(duì)稱軸為直線，且開口向上，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，結(jié)合對(duì)稱性及函數(shù)圖象，推出且，再利用任意實(shí)數(shù)都滿足的條件，得當(dāng)時(shí)，代入求解．【詳解】解：拋物線（）的對(duì)稱軸為直線，開口向上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由的范圍得，由于，且拋物線在時(shí)隨的增大而增大，，由且，得且，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，該條件都成立，因此當(dāng)時(shí)，，代入解析式得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對(duì)稱性推得且．17．(1)(2)，【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)，通過(guò)因式分解得到，開方求解即可；（2）先計(jì)算判別式，通過(guò)公式法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∴解得；（2）解：中，，，，∴∴∴，．18．【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，以及二次根式的分母有理化，能夠正確約分是解題的關(guān)鍵．先算括號(hào)內(nèi)，再算除法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，再把代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中再計(jì)算即可．【詳解】解：原式，把代入原式．19．前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長(zhǎng)率為．【分析】設(shè)前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長(zhǎng)率為x，由某品牌電動(dòng)汽車在今年第一季度和第三季度的銷量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：，解得：（不合題意，舍去）．答：前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)見解析【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定；（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，進(jìn)而求得；（2）連接，可得是等邊三角形，根據(jù)是的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理即可得證．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，∴是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，即，∴．21．(1)見解析(2)存在整數(shù)，使得該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為正整數(shù)，見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判別式判斷方程的根的情況是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)根的判別式解答即可；．（2）首先求出一元二次方程的兩根，一根為1，一根為，只需要求出是正整數(shù)時(shí)m的值即可．【詳解】（1）證明：∵．∴該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：存在整數(shù)，使得該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為正整數(shù)，理由如下：由求根公式，得：，即，，∵為整數(shù)，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為正整數(shù)，∴必為正整數(shù)，∴或，即當(dāng)或時(shí)，該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為正整數(shù)．22．(1)60(2)能，【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．（1）根據(jù)銷售量的限制條件列出不等式，求解得出每套繪本的最高售價(jià)；（2）建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)，進(jìn)而確定的值．【詳解】（1）解：設(shè)每套繪本售價(jià)為元．由題意可得不等式方程，解得，故每套繪本售價(jià)應(yīng)不高于60元；（2）解：設(shè)每天的利潤(rùn)為元．每套的利潤(rùn)為元，日銷量為套．則利潤(rùn)函數(shù)為：在此函數(shù)中，，所以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：因?yàn)?，且，該函?shù)圖象為開口向下的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．將代入利潤(rùn)函數(shù)：令，則：解得或，當(dāng)時(shí)，每套利潤(rùn)為，因?yàn)槭蹆r(jià)，所以，不符合實(shí)際，舍去，當(dāng)時(shí)，每套利潤(rùn)為，售價(jià)，符合實(shí)際．所以能，的值為4．23．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）將和兩點(diǎn)代入拋物線得到兩個(gè)方程，令兩個(gè)方程相減，證得即可；（2）將點(diǎn)代入拋物線得到方程，結(jié)合（1）中的結(jié)論和韋達(dá)定理進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：將和兩點(diǎn)代入拋物線得：兩式相減得：，因式分解得：，由于，則；（2）解：將點(diǎn)代入拋物線得：，即，由（1）可知，，則，設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為、，則，，由于，則所以、，因此，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在正半軸．24．任務(wù)1：圖見解析，，驗(yàn)證見解析任務(wù)2：，上午達(dá)到最大值任務(wù)3：持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為20分鐘【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1，經(jīng)過(guò)描點(diǎn)，觀察，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的連線形狀近似于拋物線，所以猜想與滿足二次函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式，最后逐一驗(yàn)證其它點(diǎn)即可；任務(wù)2，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可列出，再根據(jù)二次