第09講整式的除法課程標準學習目標①單項式除單項式②多項式除單項式③整式的除法1．復習單項式乘以單項式的運算，探究單項式除以單項式的運算規(guī)律；2．復習單項式乘以多項式的運算，探究多項式除以單項式的運算規(guī)律；3．能運用單項式除以單項式、多項式除以單項式進行計算并解決問題．知識點01單項式除以單項式單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)(即系數(shù)相除)，然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.根據(jù)法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分別進行考慮.【即學即練1】（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3).【即學即練2】（23-24八年級上·全國·課堂例題）已知，求，的值．【即學即練3】（23-24八年級上·湖北恩施·期末）仔細閱讀下列計算過程：（________）（________）．①在________上填寫恰當?shù)倪\算根據(jù)；②上述計算是否正確，若錯誤，請你寫出你認為正確的計算．知識點02多項式除以單項式多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加.即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m多項式除以單項式其特點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，另外還要特別注意符號.多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號.【即學即練1】（23-24七年級下·廣東佛山·階段練習）計算：【即學即練2】（23-24七年級下·山西晉中·期中）閱讀下面這位同學的計算過程，并完成任務(wù)先化簡，再求值：，其中．解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝…第四步當時，原式＝…第五步任務(wù)：(1)以上解題過程中，第一步需要依據(jù)和乘法公式進行運算（用字母表示）；(2)以上步驟第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步出現(xiàn)錯誤的原因是；(3)請寫出正確的解答過程．題型01單項式除以單項式例題：（2024八年級上·全國·專題練習）計算下列各題：(1)(2)【變式訓練】1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)．2．（23-24八年級上·全國·課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（23-24八年級上·全國·課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．題型02多項式除以單項式例題：（24-25八年級上·河南周口·階段練習）計算．【變式訓練】1．（24-25七年級上·上海崇明·期中）計算：2．（24-25七年級上·上?！て谥校┯嬎悖?．（24-25七年級上·上海虹口·期中）計算：．題型03含整式除法的整式四則混合運算例題：（24-25七年級上·上海閔行·階段練習）計算：【變式訓練】1．（24-25八年級上·遼寧營口·期中）計算：(1)(2)2．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）計算．(1)；(2)．3．（24-25八年級上·北京海淀·期中）計算：(1)；(2)．題型04整式的混合運算之化簡求值例題：（24-25八年級上·海南·期末）先化簡再求值：，其中，．【變式訓練】1．（22-23七年級下·陜西咸陽·期中）先化簡，再求值：，其中，．2．（24-25八年級上·青海西寧·期中）先化簡，再求值：，其中．3．（24-25八年級上·廣東東莞·階段練習）先化簡，再求值：，其中，．題型05含整式除法的新定義型問題例題：（23-24七年級下·江蘇宿遷·期中）若定義

表示，

表示，則運算

的結(jié)果．【變式訓練】1．（2023下·浙江·七年級專題練習）定義新運算符號⊕：，求．2．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古通遼·期末）在有理數(shù)的原有運算法則中，我們定義新運算“”如下：＝，根據(jù)這個新規(guī)定可知＝．題型06利用豎式的方法求整式中多項式除以單項式例題：（24-25八年級上·全國·期中）兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如，仿照計算如圖①所示．因此．(1)閱讀上述材料后，試判斷能否被整除，并說明理由；(2)若多項式能被整除，求的值；(3)有一個長為，寬為的長方形A，若將它的長增加6，寬增加a就得到一個新長方形B，此時長方形B的周長是A周長的2倍（如圖），另有一長方形C，它的一邊長為，且長方形B的面積比C的面積大76，求長方形C已知邊長的鄰邊長．【變式訓練】1．（23-24八年級上·吉林長春·期末）我們學習過多項式乘多項式，根據(jù)法則可知，那么再根據(jù)除法是乘法的逆運算可得，這就是多項式除以多項式．兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如，可仿照用豎式計算（如圖）：因此，多項式除以多項式可借助豎式進行計算．請用上述方法計算：(1)；(2)．2．（23-24七年級下·江蘇蘇州·期中）閱讀與思考我們學過單項式除以單項式、多項式除以單項式，那么多項式除以多項式該怎么計算呢？請同學們閱讀“刻苦小組”的項目實施過程，幫助他們解決項目實施過程中遇到的問題．項目主題：豎式的方法解決多項式除以多項式．項目實施：任務(wù)一

搜集資料：我們也可以用豎式進行類似演算，即先把被除式、除式按某個字母的指數(shù)從大到小依次排列項的順序，并把所缺的次數(shù)項用零補齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)．（1）請把按的指數(shù)從大到小排列：________．任務(wù)二

豎式計算：如下邊豎式中，13579除以112，商為121，余數(shù)為27，而如下邊豎式中，多項式除以，商式為，余式為．（2）“刻苦小組”把小學的除法運算法則運用在多項式除法運算上，這里運用的數(shù)學思想是________．A．數(shù)形結(jié)合

B．類比

C．方程任務(wù)三

學以致用（3）請計算的商式與余式．一、單選題1．（23-24八年級上·海南三亞·階段練習）如果一個單項式與的積為，則這個單項式為（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級下·福建漳州·階段練習）下列運算中，錯誤的是(

)A． B．C． D．3．（24-25七年級上·上海奉賢·期中）已知那么、的取值依次為（

）A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，14．（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）小明在做作業(yè)的時候，不小心把墨水滴到了作業(yè)本上，，陰影部分即為被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項是（

）A． B． C． D．5．（2024八年級上·黑龍江·專題練習）在數(shù)學課上學習了單項式乘多項式后，小明回家拿出課堂筆記本復習，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：，“□”的地方被墨水污染了，你認為“□”內(nèi)應填寫（）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25八年級上·貴州黔南·階段練習）計算：．7．（24-25八年級上·吉林白城·階段練習）一個多項式與單項式的積為，則．8．（24-25七年級上·上海楊浦·階段練習）已知多項式A除以得商式，余式，則多項式A為．9．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）一個長方體的長為，寬為，若這個長方體的體積為，則它的高為（用含a，b的代數(shù)式表示）．10．（23-24七年級下·浙江金華·期末）在求多項式除以多項式時，可類似于正整數(shù)除法的“列豎式”得到商式和余式，例如：通過“列豎式”可求得的商式為，余式為22，如圖所示．運用此方法，那么的商式為，余式為．三、解答題11．（24-25八年級上·福建漳州·期中）計算：．12．（24-25七年級上·上海浦東新·階段練習）計算：．13．（24-25八年級上·全國·單元測試）計算：(1)(2)(3)．14．（24-25八年級上·四川眉山·期中）先化簡，再求值，其中，．15．（24-25八年級上·重慶梁平·期中）先化簡，再求值：，其中．16．（2024八年級上·黑龍江·專題練習）先化簡，再求值：(1)，其中，滿足；(2)，其中，．17．（24-25八年級上·河南周口·期中）如圖，數(shù)學老師在黑板上寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌遮住了一個多項式．．(1)求被手掌遮住的多項式；(2)當，時，求被手掌遮住的多項式的值．18．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）閱讀下面這位同學的計算過程，并完成任務(wù)．先化簡，再求值：，其中，解：原式第一步第二步=12x-8y…

第三步當，時，原式…第四步任務(wù)：(1)第一步運算用到了乘法公式：（寫出1種即可）；(2)以上步驟從第步開始出現(xiàn)了錯誤；(3)請你寫出正確的解答過程．19．（23-24七年級下·河南平頂山·期末）數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學．對于一些特殊的整式運算，我們要善于觀察并發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（）；

；；

．(1)嘗試：_________________；(2)猜想：_________________；(3)利用以上結(jié)論求值：①；②若，_________________．20．（22-23七年級下·江蘇·期中）閱讀理解：由兩個或兩類對象在某些方面的相同或相似，得出它們在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫類比法．多項式除以多項式可以類比于多位數(shù)的除法進行計算．如：

即多項式除以多項式用豎式計算，步驟如下：①把被除式和除式按同一字母的指數(shù)從大到小依次排列（若有缺項用零補齊）．②用豎式進行運算．③當余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時