第四章 非理想流動

問題的引入停留時間分布

幾種特殊流動模式的停留時間分布

非理想流動的流動模型軸向分散模型

流體的混合態(tài)及其對化學反應的影響

4.3非理想流動的流動模型

返混與停留時間分布的關系

返混與停留時間分布并不存在一一對應關系有返混一定會導致停留時間分布，但有停留時間分布，卻并不一定是返混造成的停留時間分布可測，返混不可測，需借助于模型來將兩者加以關聯(lián)模擬

建立流動數(shù)學模型的四個步驟

通過冷態(tài)模型實驗測定裝置的停留時間分布；

根據(jù)所得的有關E（t）、F（t）的結果通過合理的簡化提出可能的流動模型，并根據(jù)停留時間分布的實驗數(shù)據(jù)來確定所提出的數(shù)學模型中所引入的模型參數(shù)

；結合反應動力學數(shù)據(jù)通過模擬計算來預測反應結果；通過一定規(guī)模的熱模實驗來驗證模型的準確性。模型建立過程中會有一些合理的假設，不同的人，會因為假設不同，所建立的模型也會不同；

建立數(shù)學模型進行模擬時，只要求模型具有等效性、實用性。

主要模型多級全混流串聯(lián)模型幾種常見的單參數(shù)模型組合模型軸向分散模型一、多級全混流串聯(lián)模型

特征

該模型把實際的工業(yè)反應器模擬成是由幾個容積相等的全混流區(qū)所組成，籍此來等效地描述返混和停留時間分布對反應過程的影響。

系統(tǒng)E（t）函數(shù)的推導

若反應器容積為V，物料流入流率v0，其流動模型可認為是N個相等容積的全混流區(qū)串聯(lián)組成：

采用脈沖示蹤法來推導E（t）：

t=0時刻從第一釜加入Mg示蹤劑A(脈沖)在任意t時刻：對i=1，有：流入-流出=累積速率

初始條件：

積分上式，得：對i=2，有：為一階線性常微分方程。

對，其通解為：

代入初始條件，得：C=0對i=3：依此類推，可知：對i=N而言：

E(t)反應的是反應器出口即i=N的出口示蹤劑A的變化，因此，根據(jù)脈沖法，有：對E(t)在0~t間積分，得到：上述模型參數(shù)只有一個：N

當N→1.0，為全混流

當N→∞

，為平推流

E（θ）~θ曲線的特征一般情況下，N＞1；

E（θ）~θ曲線存在最大值E(θ)maxE（θ）~θ曲線的特征E(θ)max兩側各有一個拐點：E（θ）~θ曲線的特征方差σθ2：由實驗可測得E（θ）~θ曲線，再根據(jù)上述模型，可方便地求出模型參數(shù)N，然后可用于反應器的設計與模擬。

例4-3-1：應用多級全混流串聯(lián)模型來模擬例4-2-2的反應裝置；（i）試根據(jù)例4-2-2的脈沖實驗數(shù)據(jù)來推算此模型的參數(shù)N；（ii）用此模型來推算例4-2-2中一級不可逆等溫反應的出口轉化率。解：（i）N的計算：由例4-2-2求得該裝置的方差取N=4（ii）出口轉化率的計算：有兩種計算方法：（a）用E（t）函數(shù)計算；（b）用四級串聯(lián)的全混流反應器的設計方程進行計算；（a）用E（t）函數(shù)計算（b）用四級串聯(lián)的全混流反應器的設計方程進行計算幾點注意：只有對宏觀流體才能采用E（t）函數(shù)來進行計算；方法（b）適用于微觀流體；上述兩種方法只有對一級不可逆反應的計算結果才相等。二、幾種常見的單參數(shù)模型

具有死區(qū)的全混流模型

死區(qū)：反應器內死角或混合不好的區(qū)域，反應流體不流經此部分容積，且死區(qū)與全混區(qū)間不存在物質傳遞過程。

對一容積為V的全混流反應器：

具有死區(qū)的平推流模型

反應器容積V,有效容積fpV,死區(qū)(1-fp)V

平推流區(qū)和全混流區(qū)組合模型

串聯(lián)模型

全混流分率為fm，平推流為1-fm

平推流所起的作用就是使曲線平移，且平移距離為

平推流區(qū)和全混流區(qū)組合模型并聯(lián)模型對平推流區(qū)：體積分率為1-fm，體積流率分率為1-Im；對全混流區(qū)：體積分率為fm，體積流率分率為Im；出口處：E(t)為Ep(t)、Em(t)的加權平均值，即：

帶有短路流的全混流模型

短路流體積流率分率：1-Im，全混流體積流率分率：Im

積分得：

帶有短路流的平推流模型短路流體積流率分率：1-Ip，全混流體積流率分率：Ip

積分得：

帶循環(huán)流的平推流模型

循環(huán)比為β，進入平推流反應器的流體中循環(huán)流所占分率為，反應器出口流體占反應器內流體流率的分率為若于t=0時刻加入脈沖示蹤劑，則：

第一次出峰：

時間：峰面積：第二次出峰：時間：

峰面積：

第i次出峰：時間：峰面積：

三、組合模型

帶短路流和死區(qū)的全混流模型

具有兩個不等容積的全混流區(qū)并聯(lián)組合模型

帶短路流的平推流和全混流區(qū)并聯(lián)組合模型

有短路流的平推流區(qū)、全混流區(qū)的串聯(lián)組合模型

4.4軸向分散模型

若存在返混，則在管入口處施加脈沖信號，隨著流體流動，E（t）的方差不斷增加，這種特性可采用在平推流基礎上疊加軸向返混擴散項來加以修正，并利用軸向返混與擴散的相似性，假定軸向返混可用費克定律加以定量描述，采用這一手段建立的模型稱為“軸向分散模型”。

一、模型方程的建立

基本假設

管內徑向截面上流體具有均一流速（平推流假設）；

在流動方向（軸向）上流體存在擴散過程，該過程類似于分子擴散，服從費克定律，其中的擴散系數(shù)Ez稱為軸向擴散系數(shù)；注意：Ez不再是流體物質的屬性，而是于流體流動狀況有關）；

Ez在整個管內是恒定的，不隨軸向位置而變；

管內徑向沒有這種混合存在；

管內不存在死區(qū)或短路流。

模型方程的建立

取微元l~l+dl進行物料衡算：

流入微元的A的速率

-流出微元的A的速率

=微元內累積A的速率

整理得：無因次化：

則上式改寫為：令，則

式中，稱為Peclet準數(shù)，是模型的唯一參數(shù)，反映了軸向返混程度：

模型方程的求解

上述方程屬于二階常系數(shù)偏微分方程，采用降階法將其轉換為常微分方程。首先，引入無因次中間變量：

二階變系數(shù)常微分方程降階：設，則積分得：即：為求得C1,C2，還必須知道邊界條件和初始條件

說明誤差函數(shù)：其性質如下：當α≥4時，

若為階躍輸入，則初始條件為：邊界條件常見的邊界條件有四種：閉-閉式邊界：

開-閉式邊界：

閉-開式邊界：

開-開式邊界：以上四種邊界條件，只有開-開式邊界條件有解析解。

開-開式邊界條件：

開-開式開-閉式閉-開式閉-閉式將此條件代入解析式，得：由于為階躍輸入，因此在反應器出口處：若用無因次參數(shù)代入

E(θ)、F(θ)曲線見教材p129圖4-4-3(a)、(b)由圖可知：Pe越大，軸向分散程度越小，越趨近于平推流；反之，則趨近于全混流。因此，Pe（或Ez）是表征管內流體的軸向分散程度的參數(shù)

一般地，當Pe>100，可認為是平推流對于其它幾種邊界條件,無解析解,但可用數(shù)值方法求解

其它幾種邊界條件下的數(shù)學期望、方差

閉式邊界條件

開-閉式或閉-開式邊界條件

當Pe很大（Pe>100）時，不管為何邊界條件，均有：

二、軸向分散系數(shù)的求取和關聯(lián)

由示蹤實驗可測得E（t）、F（t）曲線，利用該曲線可確定裝置內流體的軸向分散系數(shù)Ez

主要的方法有作圖法

方差法

使用經驗關聯(lián)式

作圖法

適用于開式邊界條件及Pe>100的情況。

利用開式邊界由F（θ）~θ曲線，于θ=1.0處作曲線的切線，若其斜率為b，則：將θ=1.0代入開式邊界的E（θ）式中，得：該方法的缺點在于：精度不高。

作圖法Pe

>100：E曲線為對稱的高斯分布（正態(tài)分布）對此，可利用正態(tài)分布的特性參數(shù)（極值、拐點）來求Pe；利用極值E（θ）max（θ=1.0）：作圖法利用拐點E（θ）inf對E（θ）二次求導θ1、θ2可由E曲線得到，由上式即可求解Pe或利用二拐點的間距：來計算Pe或利用拐點處來計算Pe

方差法

不管為何種邊界條件，其方差均與Pe相關聯(lián)，因此只要計算出方差，即可計算Pe。

使用經驗關聯(lián)式

對管內作層流流動的流體

見教材p132圖4-4-6，將三者標繪于一起，根據(jù)實際裝置特點及操作條件，可通過查圖，得到Ez（或Pe）值。

三、軸向分散模型的應用

若反應器中存在化學反應，則物料衡算式可寫為：輸入A量

-輸出A量

-反應消耗A量

=裝置內累積A量

輸入A量：

輸出A量：反應消耗A量：累積A量：

由此可得到物料衡算式：對n級不可逆反應：若在定常態(tài)下操作：以代入衡算式，得：對于閉-閉式邊界條件：

若為n=1的不可逆反應，則：該方程的解為：其中，m1、m2為方程的根

代入邊界條件，得到方程的解為：

若n≠1，則只存在數(shù)值解；上述結果以的形式標繪于教材p134圖4-4-7（一級反應）、p135圖4-4-8（二級反應）中，當知道其中的三個值時，利用該圖即可確定第四個值。

4.5流體的混合態(tài)及其對化學反應的影響

混合程度和流體的混合態(tài)

流體混合態(tài)對化學反應的影響

凝集流模型

一、混合程度和流體的混合態(tài)

調勻度

不同組成的流體之間的混合程度：“調勻度S”

兩股流體以vA(含A)

、vB

(含B)的體積流率流入裝置內混合，CA0、CB0表示混合前濃度。當達到完全混合均勻的程度時若未達到混合均勻，實際濃度CA、CB隨位置不同而不同，可定義調勻度S如下：若S=1，混合均勻；S偏離1越大，越不均勻。

混合尺度

調勻度S能反映混合的不均勻度，但對某些場合特別是非均相場合，由于取樣規(guī)模的大小，會影響到調勻度S，如：某混合過程從宏觀角度來看，已達到完全均勻混合，而從微觀角度來看，則還遠未達到均勻混合。

因此，還必須引入“混合尺度”的概念——“流體的混合態(tài)”?；旌铣叨攘黧w的混合態(tài)有以下幾種流體以分子尺度作為獨立單元混合，稱為“微觀流體”，~“微觀混合”，~“非凝集態(tài)”；流體以分子集團為獨立單元，分子微團之間無物質交換，微團內部具有均勻的組成和相同的停留時間，稱為“宏觀流體”，~“宏觀混合”，~“完全凝集態(tài)”；上述兩者之間的混合態(tài)稱為“部分凝集態(tài)”未達到分子尺度的混合，流體微團之間又存在不同程度的物質交換。二、流體混合態(tài)對化學反應的影響

前面介紹的模型如軸向擴散模型，多釜串聯(lián)模型等一些分析、計算，均適用于微觀流體，而不適用于宏觀流體。

下面來討論以下這種差異：假設進入反應器物流中A的濃度CA1，反應器中A的濃度為CA2，反應速率方程為對完全混合均勻的微觀流體，反應器內的反應速率為：若為宏觀流體，則相應的反應速率為：n=1時，二者才相等；n≠1時，二者反應速率則不同，二種混合態(tài)得到的結果會不同。對于宏觀流體的反應，提出了凝集流模型。

三、凝集流模型

出發(fā)點:把每一個分子團（流體元）看成是一個間歇反應器在流體流動時，分子團內部的分子不參與混合，它們只是邊流動邊進行內部反應其反應結果僅取決于各流體元在反應器內的停留時間和反應速率方程

流體元在反應器內的停留時間存在一個停留時間分布（此分布函數(shù)與反應器型式有關）但各流體元內部的分子具有相同的停留時間與濃度（此為B.R.之特點）

總反應結果則是出口處所有流體微團的反應結果的集合（加權平均）模型方程：在反應器出口，停留時間微t~t+dt的流體元分率為E（t）dt，出口時流體元中A的濃度為CA間歇（按間歇反應器的反應計算出的濃度）；

則出口平均濃度：兩邊同除以CA0，得：：出口流體中A的平均濃度；

：出口流體中A的平均轉化率；