PAGE河北衡水中學(xué)2026屆高三年級上學(xué)期檢測三數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C． D．2．已知向量，，且，則A． B． C．6 D．103．若等差數(shù)列滿足，，則A．14 B．16 C．18 D．204．曲線在點(diǎn)處的切線方程是A． B．C． D．5．在一次校園安全知識競賽中，甲、乙、丙同時(shí)回答一道題，每人回答問題正確與否相互獨(dú)立，甲答對的概率是，甲、乙兩人都答對的概率是，乙、丙兩人都答錯(cuò)的概率是，則甲、乙、丙三人中，至少有一人答對該題的概率為A． B． C． D．6．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則A．6 B．8 C．2 D．47．若正四棱錐的高為4，且所有頂點(diǎn)都在半徑為6的球面上，則該正四棱錐的表面積為A． B． C． D．8．設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，且對任意的，滿足，，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列選項(xiàng)正確的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則10．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上不與，重合的一點(diǎn)．若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的橫坐標(biāo)可能為A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．是以為周期的周期函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．的最大值為 D．存在，使得為奇函數(shù)第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．將直線沿軸向左平移1個(gè)單位長度，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)________．13．已知函數(shù)（，，是常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示，則_________．14．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若存在實(shí)數(shù)使不等式對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在(1)的條件下，若，，求的最小值．16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若任意的，，，求的取值范圍．18．（17分）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為1，兩動(dòng)點(diǎn)，在上，線段的中點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率為定值；(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積為，求直線的方程．19．（17分）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)變化時(shí)，曲線過定點(diǎn)，證明：；(3)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)參考答案選擇題答案速查題號1234567891011答案CABCDBCBABCBCDAC一、選擇題1．C【解析】依題意知解得，所以的定義域?yàn)椋?．A【解析】由可得，解得，因此．3．B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，可得，所以?．C【解析】由，得，則，所以所求切線方程為，即．5．D【解析】設(shè)乙、丙各自答對這道題的概率分別是，，則解得，，故所求概率為．6．B【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以，拋物線的方程為．聯(lián)立得，，，所以，所以．7．C【解析】如圖，在正四棱錐中，設(shè)點(diǎn)在底面的投影為，則為正方形的中心，過，，作正四棱錐的截面，如圖．因?yàn)椋?，所以正四棱錐的外接球球心在的延長線上，則，，所以．在正四棱錐中，，，在△中，邊上的高為，故該正四棱錐的表面積為．8．B【解析】由，得①，又②，由①＋②得，即③．由①＋③得，即，已知，所以，累加可得，．二、選擇題9．ABC【解析】A選項(xiàng)，若，則，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以由倒?shù)法則得，因?yàn)?，所以由不等式性質(zhì)（同向同正可乘性）知，C正確；D選項(xiàng)，舉反例：當(dāng)，，，時(shí)，滿足，，此時(shí)，，則，D錯(cuò)誤．10．BCD【解析】如圖，由題意得，，所以，故橢圓方程為．由題意知直線，的斜率存在且不為零，設(shè)直線，的斜率分別為，，故直線的方程為，因?yàn)椋灾本€的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)辄c(diǎn)不與，重合，所以，，則，因?yàn)?，所以直線的方程為．聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性可得，當(dāng)時(shí)，．綜上，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是，結(jié)合各選項(xiàng)可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)可能為，，．11．AC【解析】對于A，，因此是以為周期的周期函數(shù)，故A正確；對于B，，，則，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，令，，，因此函數(shù)在上的最大值為，由選項(xiàng)A知的周期為，所以在定義域R上的最大值為，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，函數(shù)在定義域R上的值域?yàn)?，函?shù)的圖象總在軸上方，因此函數(shù)不可能是奇函數(shù)，即不存在，使得為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．三、填空題12．或7【解析】直線向左平移1個(gè)單位長度得到，圓化為，圓心為，半徑為，因?yàn)槠揭坪蟮闹本€與圓相切，所以，解得或7．13．1【解析】由圖象知，，即，所以，即，由五點(diǎn)作圖法及圖象過點(diǎn)知，，則，所以，滿足，符合題意，所以，所以．14．【解析】因?yàn)?，所以，令，則，解得，所以，令，則，所以，所以，而顯然在R上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．若存在實(shí)數(shù)使不等式對于恒成立，所以對于恒成立，所以對于恒成立，即解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．解：(1)由于為正項(xiàng)等比數(shù)列，，故，故數(shù)列的公比，故，則，，，兩式相減，得，所以．（6分）(2)由已知得，由可得，即．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，即．故的最小值是．（13分）16．(1)證明：如圖所示，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?分）(2)解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，?1)可得，平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，設(shè)平面的法向量為，則即令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．（15分）17．解：(1)的定義域?yàn)?，．若，則或．①若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)在上單調(diào)遞增；④若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（7分）(2)不妨設(shè)，則．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，所以對恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即的取值范圍為．（15分）18．(1)解：雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨取的一條漸近線的方程為，即，所以，又，，解得，所以雙曲線的方程為．（4分）(2)證明：設(shè)，，則兩式相減并整理得，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為定值2．（10分）(3)解：設(shè)直線，聯(lián)立消去并整理得，因?yàn)?，所以，則，．故，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，整理得，解得，則，又因?yàn)?，所以直線的方程為．（17分）19．(1)解：若，則，，所以，，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（4分）(2)證明：，因?yàn)榍€過定點(diǎn)，所以，從而．令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，，即．