PAGE114.2三角形全等的判定(第1課時(shí)SAS)1．如圖所示，已知∠1=∠2，若添加一個(gè)條件使△ABC≌△ADC，則可添加．第1題圖第2題圖2．如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，要使△ABC≌△ADE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是3．生活情境·滑滑梯

如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，且左邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度AB與右邊滑梯的高度DE相等，若∠CBA=32°，則∠EFD=．第3題圖第4題圖4．如圖，點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)在同一直線上，且AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD．若∠1+∠2+∠3=100°，則∠3的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°5．（2025?湖北）如圖，AB=AD,AC平分∠BAD．求證：∠B=∠D．6．（2025?四川）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，(1)求證：△ABC≌△AED．(2)求證：∠BCD=∠EDC．7．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．8．如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則23∠1+∠39．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE=BA，∠E=∠C，若DE=25BD，AD=16,BD=20，求△BDE的面積．小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF=DE，連接AF．根據(jù)小穎的思路可得第8題圖第9題圖第10題圖10．如圖，AB=6cm，AC=BD=4cm，∠CAB=∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，△ACP11．?dāng)?shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：___________，12.（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，當(dāng)∠EOF=70°時(shí)，兩艦艇之間的距離是多少海里，寫出推理過程．14.2三角形全等的判定(第1課時(shí)SAS)1．如圖所示，已知∠1=∠2，若添加一個(gè)條件使△ABC≌△ADC，則可添加．【答案】AB=AD【詳解】解：添加AB=AD，∵AC=AC，∠1=∠2，AB=AD，∴△ABC≌△ADCSAS故答案為：AB=AD．2．如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，要使△ABC≌△ADE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是【答案】AB=AD【詳解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE又∵AC=AE當(dāng)AB=AD時(shí)，△ABC≌△ADE故答案為：AB=AD．3．生活情境·滑滑梯

如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，且左邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度AB與右邊滑梯的高度DE相等，若∠CBA=32°，則∠EFD=．【答案】58°/58度由已知可根據(jù)SAS判定△ABC≌【詳解】解：在△ABC和△DEF中，AB=DE∠BAC=∠EDF=90°∴△ABC≌∵∠CBA=32°∴∠BCA=58°∴∠EFD=∠BCA=58°．故答案為：58°．4．如圖，點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)在同一直線上，且AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD．若∠1+∠2+∠3=100°，則∠3的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【詳解】解：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAC=∠EAD，∵AB=∴△BAC≌△EADSAS∴∠1=∠ABC,∠2=∠BAC，∵∠3=∠ABC+∠BAC，∴∠3=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠3=100°，∴2∠3=100°，解得∠3=50°，故選：B．5．（2025?湖北）如圖，AB=AD,AC平分∠BAD．求證：∠B=∠D．【詳解】證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，AC=AC，∴△BAC≌△DACSAS∴∠B=∠D．6．（2025?四川）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，(1)求證：△ABC≌△AED．(2)求證：∠BCD=∠EDC．【詳解】（1）證明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD?∠CAD=∠EAC?∠CAD．∴∠BAC=∠EAD．在△ABC與△AED中，AB=AE,∴△ABC≌△AEDSAS（2）解：△ABC≌△AED，∴∠ACB=∠ADE．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC．∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，∴∠BCD=∠EDC．7．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．【詳解】證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．8．如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則23∠1+∠3【答案】15°/15度【詳解】解：標(biāo)注字母，如圖所示，在△ABC和△DEA中，AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA∴△ABC≌△DEASAS∴∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+又∵∠2=45°，∴23故答案為：15°．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE=BA，∠E=∠C，若DE=25BD，AD=16,BD=20，求△BDE的面積．小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF=DE，連接AF．根據(jù)小穎的思路可得【答案】64【詳解】解：∵BD是△ABC的高，∴BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∵∠E=∠C，∴∠ABD=∠E．在△ABF和△BED中，BA=BE∠ABD=∠E∴△ABF≌△BEDSAS∴S△ABF∵DE=2∴BF=DE=2∴S△ABF∴S△BED故答案為：64．10．如圖，AB=6cm，AC=BD=4cm，∠CAB=∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，△ACP【答案】1或4【詳解】解：當(dāng)AP=BQ，AC=BP時(shí)，△ACP≌△BPQSAS∵P、Q運(yùn)動(dòng)的路程和時(shí)間相同，∴Q和P的運(yùn)動(dòng)速度相同是1cm/s當(dāng)AP=BP，AC=BQ時(shí)，△ACP≌△BQPSAS∵AP=1∴Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3÷1=3s∵BP=AC=4cm∴Q運(yùn)動(dòng)的速度是4÷3=4∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1或43cm/s時(shí)，△ACP與故答案為：1或411．?dāng)?shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：___________，【詳解】（1）BE=CF，理由如下：如圖所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC,AE=AF，又∵∠BAC=∠EAF=30°，∴△ABE≌△ACF(SAS)∴BE=CF，∴∠ABE=∠ACD，∵∠AOE=∠ABE+∠BAC，∠AOE=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠BAC=30°；（2）如圖所示：證明：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB=AC，∴△BAE≌△CAF(SAS∴BE=CF，∴∠AEB=∠AFC，∵∠EAF=120°，∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF?∠EFD=∠AEB+30°?∠AFC?30°故答案為：BE=CF；∠BDC=60°.12.（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，當(dāng)∠EOF=70°時(shí)，兩艦艇之間的距離是多少海里，寫出推理過程．【詳解】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，DG=BE∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS∴AE=AG,∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=1∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAF,∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為：EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，如圖2，在△ABE和△ADG中，DG=BE∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS∴AE=AG,∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=1∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE