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第三章

向量空間2背景：

向量及向量空間是最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它不僅是線性代數(shù)的核心，而且它的理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理的各個(gè)領(lǐng)域，通過本章的學(xué)習(xí)可以進(jìn)一步加深對(duì)矩陣的理解，并且對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)會(huì)有很大的幫助。31向量及其運(yùn)算2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩4向量空間4

§1向量及其運(yùn)算

中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)接觸過平面上的向量，可以稱為二維向量。高等數(shù)學(xué)介紹過空間幾何中的向量，可以稱為三維向量。

然而僅僅考慮平面幾何中的向量和空間幾何中的向量是不夠的。例如，人造衛(wèi)星在太空運(yùn)行中考慮它在某一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)必須知道目前處于什么位置、其表面溫度、此時(shí)受到的壓力等等物理參數(shù)的情況，這時(shí)二維和三維向量就無法表達(dá)這么多的信息，必須推廣到更多維數(shù)的向量。5稱為一個(gè)n維向量，簡(jiǎn)稱為向量。

列向量定義1

n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組（a1,a2,…,an）行向量其中,數(shù)a1,a2,…,an稱為這個(gè)向量的分量，ai稱為這個(gè)向量的第i個(gè)分量或坐標(biāo)。分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。

6注意：向量一般用小寫的希臘字母等表示，其中n為向量的維數(shù)。一般所說的向量都是指列向量，行向量可看作是列向量的轉(zhuǎn)置。如:定義2

如果向量和對(duì)應(yīng)的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就稱這兩個(gè)向量相等，記為。

說明：由于列向量就是一個(gè)列矩陣，所以列向量滿足列矩陣的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算律。7定義3

向量與的和因此，得到如下相關(guān)的定義定義4

分量全為零的向量(0，0，…，0)T稱為零向量記為數(shù)與向量的數(shù)量乘積（簡(jiǎn)稱為數(shù)乘）記為記為當(dāng)時(shí)稱為向量的負(fù)向量向量的減法定義為規(guī)定規(guī)定8

設(shè)k和l為兩個(gè)任意的常數(shù)，為任意的n維向量向量的加法與數(shù)乘具有下列性質(zhì)：滿足(1)~(8)的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。9例1已知求10§2向量組的線性相關(guān)性若干個(gè)維數(shù)相同的向量所構(gòu)成的集合稱為一個(gè)向量組如：向量組定義1：背景：研究向量時(shí)向量之間的線性關(guān)系（相關(guān)或無關(guān)）極為重要，是許多與向量有關(guān)的問題的理論基礎(chǔ)。設(shè)向量組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)稱為該向量組的一個(gè)線性組合定義2

根據(jù)向量的運(yùn)算法則完全有意義思考:一個(gè)向量組有多少個(gè)線性組合?一個(gè)向量組有多少個(gè)線性組合取決于該向量組的維度和線性無關(guān)向量的數(shù)量。11則稱向量是向量組A的一個(gè)線性組合，或稱向量可以由向量組A線性表示。定義3：給定向量組和向量，如

果存在一組實(shí)數(shù)使得問題1.零向量是任何向量組的線性組合嗎?為什么？問題2.任何向量都可由它本身所在的向量組線性表示嗎？其中，問題１中的線性表示稱為零向量的平凡表示。12例如：可以看出

所以，

是向量組的線性組合，或可以由向量組線性表示。

13向量組具有的線性相關(guān)或線性無關(guān)的性質(zhì)稱為向量組的線性相關(guān)性。定義4

對(duì)于向量組，如果該向量組對(duì)零向量只有平凡表示，也即對(duì)零向量的線性表示方法唯一，則稱向量組

線性無關(guān)，否則，稱其線性相關(guān)。定義4

對(duì)于向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使則稱該向量組線性相關(guān)。反之，如果只有在k1=k2=…=km=0時(shí)上式才成立，就稱

線性無關(guān)。

14思考：設(shè)向量組，如果對(duì)任何一組不全為零數(shù)，都有

則該向量組的線性相關(guān)性如何？答案：一定線性無關(guān)15解：

對(duì)任意的一組數(shù)k1,k2,…,kn都有所以要使當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0其中，是階單位矩陣的第列因此線性無關(guān)。是由階單位矩陣的各列組成的，稱為單位坐標(biāo)向量。例1

判斷向量組的線性相關(guān)性。其中，是階單位矩陣的第列16例2

討論向量組

1=(1,-1,1)T,

2=(2,0,-2)T,

3=(2,-1,0)T的線性相關(guān)性。解：設(shè)有一組數(shù)

1，

2，

3,使即(

1+2

2+2

3,－

1－

3,

1－2

2)T=(0,0,0)T有

1+2

2+2

3=0－

1－

3=0

1－2

2=0

1

1+

2

2+

3

3=解得：

3=－

1不妨取

1=2,得非零解

1=2，

2=1,

3=－2所以，向量組

1,

2,

3

線性相關(guān)。17例3

設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組也線性無關(guān)。證設(shè)有k1,k2,k3,使且線性無關(guān)，故有由于滿足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以線性無關(guān)。思考：除定義以外，如何判定一個(gè)向量組的線性相關(guān)性？又18定理1

向量組（m≥2）線性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表示。即

必要性:所以線性相關(guān)。使則即可由線性表示

充分性:設(shè)

設(shè)中有一個(gè)向量，例如

能由其余向量線性表示，不妨設(shè)設(shè)該向量組線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)19例如，向量組是線性相關(guān)的。推論：

兩個(gè)非零向量

1,

2線性相關(guān)

即

1

,

2對(duì)應(yīng)分量成比例

1=k

2,(其中k0)這是因?yàn)?0即可由線性表出。

定理2

設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則能由向量組線性表示，且表示式是唯一的。

由

線性無關(guān)，得k≠0下面證明表示式是唯一的——證由于線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)

使21設(shè)為兩個(gè)表達(dá)式。得到

l1=h1,l2=h2,…，lt=ht

因此表示式是唯一的。且線性無關(guān)22定理3

有一個(gè)部分組線性相關(guān)的向量組必定線性相關(guān)。證設(shè)向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān)。因此也線性相關(guān)。(部分相關(guān)

整體相關(guān))不妨設(shè)這個(gè)部分組為，則有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr，使23推論1：包含零向量的向量組一定線性相關(guān)推論2：若m個(gè)向量

1，

2，…，

m線性無關(guān)，則其中任一部分組也線性無關(guān)。(整體無關(guān)部分無關(guān))24(2)如果線性無關(guān)，那么也線性無關(guān)。(1)如果線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)。證對(duì)列向量來證明定理。定理4在r維向量組的各向量添上n-r個(gè)分量變成n維向量組。如果線性相關(guān)，就有一個(gè)非零的s1矩陣X，使因此，

也線性相關(guān)，即(1)成立。利用(1)式，用反證法容易證明(2)式也成立。25推論當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量組成的向量組線性相關(guān)。（即當(dāng)向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)必定線性相關(guān)）定理5

任意n+1個(gè)n維向量

組成的向量組必線性相關(guān)。（證明利用數(shù)學(xué)歸納法）26證對(duì)任意的常數(shù)k1,k2,…,ks，即是對(duì)各分量的順序進(jìn)行重排后得到的向量組，則這兩個(gè)向量組有相同的線性相關(guān)性。例4

設(shè)p1,

p2

,…pn為1,2,…,n中的某一個(gè)排列，

和為兩向量組，其中27上兩式只是各分量的排列順序不同，因此當(dāng)且僅當(dāng)所以和有相同的線性相關(guān)性。28§3向量組的秩若向量組可以由向量組線性表示，則必存在一個(gè)矩陣，使得系數(shù)矩陣思考:如何利用定義證明兩個(gè)向量組等價(jià)？如果兩個(gè)向量組可以互相線性表示，就稱它們等價(jià)。定義1

如果向量組

中的每個(gè)向量都可以由向量組線性表示，就稱向量組可由線性表示。29向量組的等價(jià)具有下列性質(zhì)：

(1)反身性：向量組與它自己等價(jià)；(2)對(duì)稱性:如果向量組與等價(jià)，那么也與等價(jià)。(3)傳遞性:如果向量組與等價(jià)，而向量組又與等價(jià)，

那么等價(jià)。與30向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩定義2(1)

1，

2，…，

r線性無關(guān)；(2)任取

，總有

1,

2,…,

r,

線性相關(guān)

設(shè)

1,

2,…,

r是某向量組中的r個(gè)向量，若滿足：

則稱

1,

2,…,

r為向量組

的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組。31例如：對(duì)于向量組

T

：而

1,

2線性無關(guān)為T

的一個(gè)極大無關(guān)組；同樣可以驗(yàn)證

2,

3;

1,

3

也是T的極大無關(guān)組。思考：當(dāng)一個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)比較多時(shí)如何求出該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組?可知：

1,

2,

3線性相關(guān)，因?yàn)?

1+

2－

3=32注:(1)只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組；(2)一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；(3)一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示；(4)一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組一般是不唯一的；（如情形（2）是唯一的）(5)同一個(gè)向量組的各個(gè)極大線性無關(guān)組中含有向量的個(gè)數(shù)是唯一的。33定理6性質(zhì)1

向量組的極大無關(guān)組與向量組本身等價(jià)。性質(zhì)2

同一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組（若存在）都等價(jià)。線性無關(guān)組a1，a2，…

，ar是其所在向量組的極大無關(guān)組的充要條件是向量組中的任一向量都可以被線性無關(guān)組a1，a2，…

，ar線性表示。定理7兩個(gè)向量組等價(jià)的充要條件是它們的極大無關(guān)組等價(jià)。（證明兩個(gè)向量組等價(jià)的另一種方法）極大無關(guān)組的性質(zhì):34定義3

向量組的極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩，記作

。（1）只有零向量的向量組的秩為0。（4）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：（2）向量組線性無關(guān)≤（3）向量組線性相關(guān)35推論1定理8設(shè)兩個(gè)向量組的秩分別為

，如果組可由組線性表示，則.（證明利用反證法）推論2

若一個(gè)向量組的秩為r，則該向量組中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大無關(guān)組。兩個(gè)等價(jià)的向量組的秩相同。思考:反之，成立嗎?

答案:不一定36例5

設(shè)有三個(gè)向量組它們的秩依次為則思考1:

本例中，如果三個(gè)向量組的秩都相等，你能得到什么結(jié)論？答案：向量組與向量組等價(jià)思考2：到目前為止，要證明兩個(gè)向量組等價(jià)你能找到幾種方法？37例6設(shè)求該向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組。思考：利用定義求向量組的秩，有何不便之處？有沒有更直接的方法？38如果矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣，則向量組與向量組有相同的線性相關(guān)性根據(jù)上述結(jié)論，要求一個(gè)向量組的秩和極大無關(guān)組可以利用矩陣的初等行變換來完成例:利用矩陣的初等行變換計(jì)算例639例7求矩陣A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并且把其余的列向量用極大無關(guān)組線性表示。解：設(shè)矩陣A的各列分別為下面利用矩陣的初等行變換把此矩陣化為行階梯形40所以，矩陣A的列向量組的秩是3就是列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組繼續(xù)對(duì)上面矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形可知41定理1

矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若A～B，則R(A)=R(B).（等價(jià)矩陣的秩相等）求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換化成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。例1:,求A的秩。證明（略）注意：本定理的逆命題不一定成立42思考：此矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是什么?你能得到什么結(jié)論?矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型有三種：

1.

階梯型矩陣：階梯型矩陣是指其每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素的左側(cè)及其所在列以下全為零的矩陣。

2.

行簡(jiǎn)化梯形矩陣：行簡(jiǎn)化梯形矩陣是指線性代數(shù)中的矩陣，在所有全零行的上面，即全零行都在矩陣的底部。

3.

等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是指經(jīng)過多次變換后，得到一種最簡(jiǎn)單的矩陣，其左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都是零。此矩陣即為原矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型。44

通過前面可知，把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可看作由這些行向量組成，稱為矩陣的行向量組；把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可看作由這些列向量組成，稱為矩陣的列向量組。思考：矩陣的秩與這些向量組的秩會(huì)有什么關(guān)系呢？

定理２若，則存在可逆矩陣,使得＝45定義3矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣的行秩，記作Rr(A).矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，記作Rc(A)

.

定理3

矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理4R(A)=Rr(A)=Rc(A)

,即矩陣的三秩相等。（利用此定理可以求向量組的秩）46例如:求下列向量組的秩并寫出它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。具體求法：把向量組的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后對(duì)該矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該向量組的秩，非零行的第一個(gè)非零元素所在的列對(duì)應(yīng)的原來的向量就是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。47矩陣秩的性質(zhì)：1.任意矩陣有2.任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變。定理6AnBn=O時(shí)，有特別地，當(dāng)（運(yùn)算可行）其中，都是可逆矩陣．

48證明：下面給出

(3)的證明。設(shè)使得令其中C1為r1×r2階矩陣其中C1是C中去掉n-r1行，n-r2列49§4向量空間定義1設(shè)是由維向量構(gòu)成的集合，如果集合非空，且該集合中任意兩個(gè)向量對(duì)加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算都封閉，則稱集合構(gòu)成一個(gè)向量空間。例1：n維向量的全體是一個(gè)向量空間。例2：集合構(gòu)成向量空間例3：集合不構(gòu)成向量空間在向量空間V這個(gè)向量集合中：①任意取V的兩個(gè)向量α、β，則α+β∈V，這叫V對(duì)加法封閉；②任意取V的一個(gè)向量α，及一個(gè)實(shí)數(shù)k，則kα∈V，這叫V對(duì)數(shù)乘封閉。50記作dimW＝r，稱W是r維向量空間。