2/30專題3.5函數(shù)的應(yīng)用（一）（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】 1【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】 4【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】 6【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】 8【題型5分式型函數(shù)模型的應(yīng)用】 11【題型6“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】 15【題型7函數(shù)模型的選擇問(wèn)題】 18知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用1．實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見(jiàn)的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過(guò).3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問(wèn)題常用到二次函數(shù)模型.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，不少于100千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克2.5元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買進(jìn)，如果購(gòu)買的水果為x千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為y元，則x與y之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．y=3000?100xB．y=3000?100xC．y=3000?2.5x???(100≤x≤1200)D．y=3000?2.5x【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，直接列式，根據(jù)題意求x的最小值和最大值，得到x的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是y=3000?2.5x，由題意可知最少買100千克，最多買30002.5=1200故y=3000?2.5x；x∈故選:C.【變式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）網(wǎng)上購(gòu)物常?？吹较旅孢@樣一張表，第一行可以理解為腳的長(zhǎng)度，第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)”．為了穿得舒適，鞋子不能擠腳，也不能過(guò)長(zhǎng)．SIZE尺碼對(duì)照表中國(guó)鞋碼實(shí)際標(biāo)注(同國(guó)際碼)mm220225230235240245250255260265中國(guó)鞋碼習(xí)慣叫法(同歐碼)34353637383940414243一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長(zhǎng)為282mm，則從表格數(shù)據(jù)可以推算出，他最適合穿的鞋號(hào)是（

）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解題思路】設(shè)出一次函數(shù)y=kx+b，采用待定系數(shù)法求出k,b，令y=282即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)腳長(zhǎng)為ymm，鞋號(hào)為x碼，由數(shù)據(jù)可知，腳長(zhǎng)和鞋號(hào)符合一次函數(shù)關(guān)系：y=kx+b，將34,220,35,225代入可得y=5x+50，當(dāng)y=282時(shí)，故選：C.【變式1-2】（24-25高一上·湖北武漢·期中）從裝滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（A．fx=45C．fx=45【答案】C【解題思路】求出第k次倒出酒精后容器中含純酒精的質(zhì)量，然后可得第k+1次倒出的純酒精的質(zhì)量，然后可得倒k+1次共倒出的純酒精．【解答過(guò)程】∵第k次時(shí)共倒出了純酒精x升，∴第k次倒出后容器中含純酒精為(10?x)升第k+1次倒出的純酒精是10?x10所以倒出第k+1次時(shí)，共倒出了純酒精f(x)=x+故選：C.【變式1-3】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷不同方案下參數(shù)的變化對(duì)圖象的影響，即可確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】設(shè)目前車票價(jià)格為k1，支出費(fèi)用為b1，則對(duì)于建議（I），設(shè)建議后的支出費(fèi)用為b2（b2＜b1顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對(duì)于建議（II），設(shè)建議后的車票價(jià)格為k2（k2＞k1顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例2】（24-25高一上·遼寧大連·期末）從甲地到乙地的距離為240km，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗油量Q（單位：L）與速度V（單位：kmh）0≤V≤120的關(guān)系式為Q=0.000026V3?0.00416V2A．60 B．80 C．100 D．110【答案】B【解題思路】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答過(guò)程】由題意可得總耗油量為fV由于fV為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為故速度為80kmh故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·四川南充·開(kāi)學(xué)考試）如圖，用一段長(zhǎng)為120米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，已知墻長(zhǎng)80米，則菜園面積的最大值為（

）平方米.

A．1800 B．1750 C．1700 D．1600【答案】A【解題思路】設(shè)BC長(zhǎng)為x米，利用面積公式求出菜園面積，將二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，結(jié)合圖像開(kāi)口方向以及x的取值范圍即可確定面積的最大值．【解答過(guò)程】

設(shè)BC長(zhǎng)為x米，∴AB=CD=1∴由矩形的面積公式得：y=AB?BC=1∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=?1y=?1∵?12<0∴當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值，最大值為1800平方米．故選：A.【變式2-2】（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為10000輛，本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃適度增加投入成本，提高產(chǎn)品的檔次.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)投入成本增加的比例多大時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)最大？最大值是多少？【答案】(1)y=200(?3(2)投入成本增加的比例為16時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)最大，最大值是6050【解題思路】（1）根據(jù)“年利潤(rùn)=（出廠價(jià)－投入成本）×銷售量”公式即可求得解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出最大值.【解答過(guò)程】（1）y=[1.2(1+0.75x)?(1+x)]×10000(1+0.6x)=200(?3x（2）函數(shù)y=200(?3x2+x+10)∴當(dāng)x=16時(shí)，y取得最大值∴投入成本增加的比例為16時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)最大，最大值是6050【變式2-3】（24-25高一上·浙江·階段練習(xí)）臨近新年，車?yán)遄?、榴梿等高檔水果受到人們青睞.老張水果店瞄準(zhǔn)商機(jī)，準(zhǔn)備新進(jìn)一大批車?yán)遄觼?lái)滿足市場(chǎng)需求，同時(shí)為提高銷售量，老張水果店特準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)車?yán)遄哟黉N活動(dòng).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為x元時(shí)，銷售量為120?0.8x斤.現(xiàn)批發(fā)商為配合老張水果店的活動(dòng)，將供貨價(jià)格分為固定價(jià)格與浮動(dòng)價(jià)格兩部分，即：供貨價(jià)格＝固定價(jià)格＋浮動(dòng)價(jià)格，其中固定價(jià)格為50元/斤，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元）與銷售量（單位：斤）成反比，比例系數(shù)為20.(1)試將總利潤(rùn)y表示成關(guān)于x的函數(shù)；(2)當(dāng)每斤車?yán)遄邮蹆r(jià)定為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大，為多少？【答案】(1)y=?0.8x2+160x?6020(2)100元，1980元.【解題思路】（1）由每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為x元時(shí)，銷售量為120?0.8x斤和供貨價(jià)格＝固定價(jià)格＋浮動(dòng)價(jià)格求解；（2）由（1）的結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為x元時(shí)，總利潤(rùn)為y，由120?0.8x>0,x>50,得50<x<150y==?0.8x2+160x?6020（2）總利潤(rùn)y=x?50?=?0.8x所以當(dāng)售價(jià)x=?1602×?0.8總利潤(rùn)y=?0.8×100即每斤車?yán)遄邮蹆r(jià)定為100元時(shí)，車?yán)遄涌偫麧?rùn)最大，為1980元.知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)模型的應(yīng)用1．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略:

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【例3】（24-25高一上·湖北荊州·期中）為響應(yīng)國(guó)家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了20%，如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（

）A．1?0.2250mC．0.8250m 【答案】D【解題思路】設(shè)某地的耕地面積每年減少x,依題列出方程(1?x)50=1?20%【解答過(guò)程】設(shè)某地的耕地面積每年減少x，因在最近50年內(nèi)減少了20%，則有(1?x)故(1?x)5由題意，2029年的耕地面積為m(1?x)5，即故選：D.【變式3-1】（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．23【答案】D【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為(x1,y1)，變化后為【解答過(guò)程】設(shè)初始狀態(tài)為(x1,y1又y1=kx1α，y8y1y1=k?16αx故選：D．【變式3-2】（24-25高一上·青海西寧·期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為y=kx3，如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 【答案】A【解題思路】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為y=kx求出k的值，解方程即可求解.【解答過(guò)程】由題可知加密密鑰為y=kx由已知可得，當(dāng)x=4時(shí)，y=2，所以2=k×43，解得故y=132x3，顯然令解得x3=1故選：A.【變式3-3】（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）遺忘曲線（又稱“艾賓浩斯遺忘曲線”）是由德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯（H．Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律．陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：y=1?0.6x0.06，若陳同學(xué)需要在明天15：00考語(yǔ)文時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的42%，則他明天復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間需大約在（

）參考數(shù)據(jù)：120.06≈0.9593A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00【答案】A【解題思路】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開(kāi)始.【解答過(guò)程】令1?0.6x0.06=0.42∵120.06≈0.9593，3∴x的估計(jì)值可取0.5，即他復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間需大約在14:30．故選：A.知識(shí)點(diǎn)3分段函數(shù)模型的應(yīng)用1．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【例4】（24-25高二下·北京朝陽(yáng)·期末）某研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，一次性服藥t0≤t≤12小時(shí)后每毫升血液中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足圖中所示的曲線關(guān)系.據(jù)測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于4毫克時(shí)治療疾病有效，則12小時(shí)內(nèi)藥物在體內(nèi)對(duì)治療疾病一直有效所持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)為（

）A．4小時(shí) B．5小時(shí) C．6小時(shí) D．7小時(shí)【答案】A【解題思路】首先求出函數(shù)解析式，再令y≥4求出相應(yīng)的t的取值范圍，即可得解．【解答過(guò)程】當(dāng)0≤t≤3時(shí)，則y=6當(dāng)3<t≤12時(shí)，設(shè)函數(shù)為y=kt+b，將(3,6)，(12,0)代入可得6=3k+b0=12k+b，解得k=?23所以y=2t,0≤t≤3要使y≥4，則2t≥40≤t≤3或?23t+8≥43<t≤12綜上所述：2≤t≤6，所以有效所持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)為6?2=4個(gè)小時(shí)．故選：A．【變式4-1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某重裝企業(yè)的裝配分廠舉行裝配工人技術(shù)比賽，根據(jù)以往技術(shù)資料統(tǒng)計(jì)，某工人裝配第n件工件所用的時(shí)間(單位：分鐘)f(n)大致服從的關(guān)系為fn=kn,n<MkM,n≥M(A．40分鐘 B．35分鐘C．30分鐘 D．25分鐘【答案】C【解題思路】由工人裝配第9件工件用時(shí)20分鐘，裝配第M件工件用時(shí)12分鐘，求得k=60,M=25，可得fn=60【解答過(guò)程】由題意工人裝配第9件工件用時(shí)20分鐘，裝配第M件工件用時(shí)12分鐘，所以當(dāng)n=M時(shí)，kM當(dāng)n=9時(shí)，k9=20，解得所以fn因?yàn)閚=4<25，所以f4即可大致推出該工人裝配第4件工件所用的時(shí)間是30分鐘．故選：C.【變式4-2】（25-26高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)x萬(wàn)部并全部銷售完，每萬(wàn)部的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)=a?4x,0<x≤15(1)求a，b；(2)寫(xiě)出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)部）的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1)a=200,b=40000(2)W=(3)當(dāng)年產(chǎn)量為50萬(wàn)部時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3680萬(wàn)元.【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b的方程組求解出結(jié)果.（2）根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算公式分別考慮當(dāng)0<x≤15，x>15時(shí)W的解析式，由此可求解出結(jié)果.（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)分析0<x≤15時(shí)的最大值，利用基本不等式分析x>15時(shí)的最大值，由此可確定出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）依題意，8(a?32)?20?8×16=119620(530020（2）當(dāng)0<x≤15時(shí)，W=xR(x)?(20+16x)=x(200?4x)?(20+16x)=?4x當(dāng)x>15時(shí)，W=xR(x)?(20+16x)=x(5300所以所求函數(shù)解析式為W=?4（3）當(dāng)0<x≤15時(shí)，W=?4x此時(shí)由二次函數(shù)單調(diào)性可知Wmax當(dāng)x>15時(shí)，W=?40000當(dāng)且僅當(dāng)16x=40000x，即因?yàn)?840<3680，所以當(dāng)年產(chǎn)量為50萬(wàn)部時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3680萬(wàn)元.【變式4-3】（24-25高一上·貴州黔南·期末）在遼闊的中華大地上，農(nóng)村的醫(yī)療服務(wù)一直是國(guó)家關(guān)注的焦點(diǎn).隨著時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，國(guó)家正致力于提高農(nóng)村醫(yī)療服務(wù)水平，以保障廣大農(nóng)民的健康權(quán)益.某公司為了滿足市場(chǎng)需求，進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃自主研發(fā)新型基礎(chǔ)型CT機(jī).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為200臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本Gx萬(wàn)元，且G(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)Wx（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）的函數(shù)解析式.（利潤(rùn)=銷售收入?(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司所獲年利潤(rùn)Wx【答案】(1)W(2)150臺(tái)，5420萬(wàn)元【解題思路】（1）根據(jù)投入成本及銷售收入寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)即可；（2）分段分別利用二次函數(shù)配方法和基本不等式求最值，再比較大小得解即可.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)0<x≤80時(shí)，Wx當(dāng)80<x≤200時(shí)，W=?x?52900則Wx（2）當(dāng)0<x≤80時(shí)，Wx當(dāng)x=76時(shí)，Wx當(dāng)80<x≤200時(shí)，W≤?2x+80當(dāng)且僅當(dāng)x+80=52900x+80，即又5420>5376，則當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為150臺(tái)時(shí)，該公司所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是5420萬(wàn)元.【題型5分式型函數(shù)模型的應(yīng)用】【例5】（24-25高一上·山東聊城·期中）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為19元/件的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.x…24313949…y…44302012…根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)y=kx+1+b(x>0)來(lái)近似刻畫(huà)y(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P（單位：元），寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)？【答案】(1)y=1600x+1?20(2)P=1980?32000x+1?20x【解題思路】（1）取數(shù)據(jù)對(duì)代入求出k,b即可求出解析式.（2）求出日銷售利潤(rùn)函數(shù)，再利用基本不等式求解.【解答過(guò)程】（1）取數(shù)據(jù)對(duì)(24,44),(49,12)，則k25+b=44k由實(shí)際意義知，x>191600x+1?20>0所以y與x之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=1600x+1?20（2）由（1）得，日銷售利潤(rùn)P=(x?19)y=(x?19)(1600x+1?20)=1980?P=2000?20[1600x+1+(x+1)]≤2000?20×21600x+1所以當(dāng)銷售單價(jià)為39元時(shí)，獲得最大日銷售利潤(rùn)400元.【變式5-1】（24-25高二下·全國(guó)·期中）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位；cm）滿足關(guān)系：Cx=16(1)求fx(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用fx【答案】(1)f(2)當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112【解題思路】（1）由建造費(fèi)與能源消耗費(fèi)求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【解答過(guò)程】（1）每年能源消耗費(fèi)用為Cx=16∴fx（2）因?yàn)?≤x≤10，所以fx當(dāng)且僅當(dāng)512x+2=8x+2所以當(dāng)x=6時(shí)，fx取得最小值f∴當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112萬(wàn)元.【變式5-2】（24-25高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a；(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】(1)a=(2)25【解題思路】（1）設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym，結(jié)合x(chóng)y=750，進(jìn)而求得a關(guān)于x（2）由（1）知a=375x?【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym因?yàn)榫匦位▓@的總面積為750m2，所以xy=750，可得又因?yàn)殛幱安糠质菍挾葹?m的小路，可得2a+3=750x，可得即a關(guān)于x的關(guān)系式為a=375（2）解：由（1）知，a=375則S=(x?2)a+(x?3)a=(2x?5)a=(2x?5)×(≤15152?23x?1875所以當(dāng)x=25m時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為1215【變式5-3】（24-25高一上·廣東·期末）某大學(xué)校園選擇了一個(gè)八邊形區(qū)域AEFBCGHD設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀，如圖所示，圖中四個(gè)三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和）為100m2，在重合的部分MNPQ處建一正方形特色涼亭，涼亭造價(jià)為600元/m2；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）建造水池和噴泉，造價(jià)為1600元/m2；四個(gè)矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價(jià)忽略不計(jì).設(shè)AM長(zhǎng)為y（單位：m），MN(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)校園景觀總造價(jià)為S（單位：元），求S的最小值.【答案】(1)y=(2)40000元【解題思路】（1）利用面積建立x,y的關(guān)系，解得y，并求得x的范圍即可得；（2）用x表示出S，變形后由基本不等式得最小值．【解答過(guò)程】（1）由題意可知4xy+x2=100又y=25x?x4所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=25（2）由題意可得，涼亭總造價(jià)為600x水池和噴泉總造價(jià)為1600×4×1所以校園景觀總造價(jià)S=600=200≥200×24當(dāng)且僅當(dāng)4x2=16×625x所以當(dāng)x=52時(shí)，S知識(shí)點(diǎn)4“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用1．“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)模型是常考的模型，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.2．“對(duì)勾”函數(shù)模型的求解方法(1)利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性求解；(2)利用基本不等式求解.【題型6“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【例6】（24-25高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）某電腦公司為了提高產(chǎn)值，預(yù)計(jì)生產(chǎn)電腦的固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千臺(tái)電腦，需投入成本R(x)萬(wàn)元，R(x)=700x?10000x?1250.按前幾年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，最少生產(chǎn)0.4萬(wàn)臺(tái)，最多每年生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)電腦.已知每臺(tái)電腦的售價(jià)為(1)以利潤(rùn)L(萬(wàn)元)為函數(shù)y，年產(chǎn)量x（千臺(tái)）為自變量，求函數(shù)解析式；(2)求當(dāng)年利潤(rùn)的取值范圍.【答案】(1)y=400x+10000x(2)5050≤y≤6050【解題思路】（1）根據(jù)利潤(rùn)=收入?成本即可得結(jié)果；（2）直接根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過(guò)程】（1）由題意得y=1100x?R(x)?200=400x+10000x+1050（2）由（1）可得：y=400x+10000x+1050=400(x+∴函數(shù)在區(qū)間[4,5)單調(diào)遞減，在區(qū)間(5,10]單調(diào)遞增，當(dāng)年產(chǎn)4000部時(shí)，y=5150，當(dāng)年產(chǎn)10000部時(shí)，y=6050，當(dāng)年產(chǎn)5000部時(shí)，y=5050，因此：當(dāng)年產(chǎn)量為10000部時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量為5000部時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最小，最小利潤(rùn)為5050萬(wàn)元，綜上所述：公司利潤(rùn)取值范圍是：5050≤y≤6050（單位萬(wàn)元）.【變式6-1】（24-25高一上·上海楊浦·期中）如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備利用一面長(zhǎng)度20米的舊墻建造一間體育活動(dòng)室，活動(dòng)室為占地224平方米的矩形.工程費(fèi)用情況如下:①翻修1米舊墻的費(fèi)用為25元;②建造1米新墻的費(fèi)用為100元;③拆去1米舊墻，然后用所得的材料修建1米新墻的費(fèi)用為50元.記利用舊墻的一條矩形邊長(zhǎng)為x米(x∈(0,20])，建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用為y元.請(qǐng)問(wèn)如何利用舊墻，能使得建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低?并求出最低費(fèi)用.【答案】保留16米舊墻翻新，拆除4米舊墻修新墻能使建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低，為4600元.【解題思路】根據(jù)已知求得矩形另一邊長(zhǎng)為224x【解答過(guò)程】由題設(shè)，一邊為x米，矩形另一邊長(zhǎng)為224x則要建新墻為x+448x米，要翻修舊墻為x米，要拆舊墻為20?x米，且所以y=25x+100(x+448當(dāng)且僅當(dāng)x=16∈(0,20]時(shí)等號(hào)成立；綜上，保留16米舊墻翻新，拆除4米舊墻修新墻能使建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低，為4600元.【變式6-2】（24-25高一上·遼寧錦州·期末）某廣場(chǎng)欲建一塊2500m2的矩形綠地，在綠地的四周鋪設(shè)2m寬的人行道，如圖所示．設(shè)矩形綠地的長(zhǎng)為xm，綠地與人行道一共占地ym(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求x為何值時(shí)，占地面積y最?。敬鸢浮?1)y=10000x(2)x=50【解題思路】（1）由矩形綠地的長(zhǎng)，求出寬，得到綠地與人行道的總長(zhǎng)與總寬，由面積公式寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式求最小值.【解答過(guò)程】（1）由題意，易知綠地與人行道的長(zhǎng)為(x+4)m，寬為2500x+4故y=x+42500x（2）由基本不等式可知，y=10000當(dāng)且僅當(dāng)10000x=4x時(shí)，即故x=50m時(shí)，占地面積y的最小值為2916m2【變式6-3】（24-25高一上·北京西城·期末）A,B兩地相距520km，貨車從A地勻速行駛到B地，全程限速100km/h．已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：元）由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可變成本與車速x的平方成正比，比例系數(shù)為kk>0．(1)把貨車的全程運(yùn)輸成本y（單位：元）表示為車速x（km/h）的函數(shù)；(2)為使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？【答案】(1)y=520(kx+400x)(2)答案見(jiàn)解析.【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本及行駛時(shí)間即可得函數(shù)關(guān)系.（2）借助對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性探討最小值，即可得解.【解答過(guò)程】（1）依題意，貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本的可變成本為kx2，固定成本為400元，行駛時(shí)間所以y=520x(k（2）由（1）知，y=520k(x+400kx)在而0<x≤100，則當(dāng)20k≤100，即k≥125時(shí)，當(dāng)20k>100，即0<k<125時(shí)，所以當(dāng)k≥125時(shí)，貨車應(yīng)以當(dāng)0<k<125時(shí)，貨車應(yīng)以【題型7函數(shù)模型的選擇問(wèn)題】【例7】（24-25高二下·寧夏銀川·期末）2023年金年中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量分別達(dá)到958.7萬(wàn)輛和949.5萬(wàn)輛，比分別增長(zhǎng)35．8%和37．9%；我國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過(guò)60%，連續(xù)9年位居世界第一位．新能源汽車出口120.3萬(wàn)輛、同比增長(zhǎng)77．2%v60708090100110120P810.413.216.4202428.4為描述該電動(dòng)汽車在高速公路上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量P與速度v的關(guān)系，現(xiàn)行以下兩種函數(shù)模型供選擇：①P1(v)=kv(1)請(qǐng)選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)李華駕駛一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從銀川出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）勻速行駛到距離為510km/h【答案】(1)選擇函數(shù)模型②，解析式為P(2)該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)秦安縣；7.4小時(shí)【解題思路】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型②，代入數(shù)據(jù)計(jì)算系數(shù)可得函數(shù)解析式；（2）設(shè)耗電量為fv，則f由單調(diào)性的定義可得fv在區(qū)間60,120單調(diào)遞增，的f(v)min=f60=68>65?5，所以該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)秦安縣；設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為t1【解答過(guò)程】（1）由表格中所列數(shù)據(jù)，P與v的函數(shù)關(guān)系，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型②，由題意有：3600a+60b+c=84900a+70b+c=10.46400a+80b+c=13.2所以P2（2）設(shè)耗電量為fv，則f任取60≤vfv由60≤v1<v2≤120，則有fv1?f所以函數(shù)fv在區(qū)間60,120單調(diào)遞增，f即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)秦安縣；又設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為t1,t則初始電量+充電電量-消耗電量≥保障電量，即65+18t2?f所以總時(shí)間t=t當(dāng)且僅當(dāng)1.02v18=17003v，即【變式7-1】（24-25高一下·浙江·期中）2022年第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2022年2月4日星期五開(kāi)幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，與冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)的商品銷量持續(xù)增長(zhǎng)．對(duì)某店鋪某款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備的日銷售單價(jià)P(x)（元/套）與時(shí)間x（被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第x天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+kx（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量Q(x)（個(gè)）與時(shí)間x10202530Q(x)110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出兩種函數(shù)模型：①Q(mào)(x)=ax+b，②Q(x)=a|x?25|+b，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述該商品的日銷售量Q(x)與時(shí)間x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)求該商品的日銷售收入f(x)（1≤x≤30，x∈N【答案】(1)k=1(2)選擇②，Q(x)=125?|x?25|，（1≤x≤30，x∈N(3)121元【解題思路】（1）根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為121元，列式求得答案；（2）由表中數(shù)據(jù)的變化可確定Q(x)=a|x?25|+b描述該商品的日銷售量Q(x)與時(shí)間x的關(guān)系，代入表述數(shù)據(jù)可求得其解析式；（3）討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，分段求出函數(shù)的最小值，比較可得答案.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榈?0天該商品的日銷售收入為121元，所以P(10)?Q(10)=1+k10（2）由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，故只能選②:Q(x)=a|x?25|+b代入數(shù)據(jù)可得：110=a|10?25|+b120=a|20?25|+b，解得a=?1，b=125所以Q(x)=125?|x?25|，（1≤x≤30，x∈N（3）由（2）可得，Qx所以，fx所以當(dāng)1≤x<25，x∈N?時(shí)，f(x)=101+x+100x在區(qū)間所以當(dāng)x=10時(shí)，f(x)有最小值，且為121；當(dāng)25≤x≤30，x∈N?時(shí)，所以當(dāng)x=30時(shí)，f(x)有最小值，且為124，綜上，當(dāng)x=10時(shí)，f(x)有最小值，且為121元，所以該商品的日銷售收入最小值為121元．【變式7-2】（24-25高一上·廣東佛山·期中）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)分別為P和Q（萬(wàn)元），事先根據(jù)相關(guān)資料得出它們與投入資金x（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤(rùn)模型為P=ax+b，乙的利潤(rùn)模型為Q=b+axα．（a,b,α為參數(shù)，且x20406080P33363942（1）請(qǐng)根據(jù)下表與圖中數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)與投入資金x（萬(wàn)元）的函數(shù)模型（2）今將300萬(wàn)資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對(duì)甲、乙