第22練平面向量的概念及線性運算

一、課本變式練

1.1人A必修二P4習題6.1T3變式）判斷下列四個命題：①若W/6,則〃=②若則〃="③

若1。1=1以，則a/加；④若a=b，則1。1=|勿.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（人A必修二P4習題6.114變式）如圖，設。是正六邊形ABCDEF的中心，則與AB不相等的向量為（）

%

OE

A.OCB.FOC.EDD.FC

3.（人A必修二P22習題6.2T4變式）化簡MN+NP+PQ=（）

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

4.〔人A必修二Pl6練習T3變式）已知向量q,6不共線，。=4+34，〃=2q+衣?，若allb，則A=

二、考點分類練

（一）平面向量的概念

5.下列關于零向量的說法正確的是（）

A.零向量沒有大小B.零向量沒有方向

C.兩個反方向向量之和為零向量D.零向量與任何向量都共線

6.下列說法正確的是（）

A.向量44〃CQ就是A8所在的直線平行于CQ所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.若。=Z?,》=C,則4=C

D.共線向量是在一條直線上的向量

7.1多選）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1,在其中標出了6個向量，則在這6個向量中（）

A.向星CH,DG的模相等B.

C.向量。G,〃尸共線D.|DG|+|WF|=10

（二）向量的線性運算

8.（2022屆廣東省揭陽市揭東區(qū)高三上學期期中）如圖所示，矩形中，若n=6^，DC=4^則

A.3q+2e2B.36]-26

C.2e）+3e2D.2q-3e2

9.數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于

同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點。G,"

分別為任意.AAC的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG=-OHB.OH2GH

23

“A。+2A”*2BO+BH

Cr.AG=---------nD.BG=---------

33

（三）根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)

1（）.（2022屆內蒙古包鋼第一中學高三一模）已知向量,，內是兩個不共線的向量，[=么-/與〃=q+笳2

共線，則4=（）

A.2B.—2C.—D.!

22

11.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學期三模）在二A8C中，A=],點。在線段八B上，點E在線段AC上，

且滿足2AD=Z）B=2,4E=EC=2,CD交BE十F,設A8=a，AC-b>WOAF-BC=（）

6「17「29n32

A.-B.—C.—D<—

5555

（四）向量共線定理的及應用

12.（2022屆重慶市第十一中學校高三3月月考）下面四個命題哪些是平面向量共線的充要條件（）

A.存在一個實數(shù)4,〃=羽B(yǎng).a，力兩向量中至少有一個為零向量

c.a?b方向相同或相反D.存在不全為零的實數(shù)a,〃，〃+〃〃=o

13.（2022屆山西省懷仁市第一中學高三上學期第月考）在4.A8C中，CM=2MB，點。為AC的中點，BQ

交AM于點N.

（1）證明：點N為BQ的中點;

（2）若NANM=*，求|AM].

三、最新模擬練

14.（2022安徽省六安一中、阜陽一中、合肥八中等校高三聯(lián)考）設。、方都是非零向量，下列四個條件中,

ab

使同=同成立的充分條件是（）.

A.a=3bB.al/bC.a=-bD.且同=忖

15.（2022屆河南省許平汝聯(lián)盟高三下學期核心模擬）已知向量q,與不共線，且向量雞+%與2q-56平

行，則實數(shù)2:（）

3610

A.--B.—C.---D.-4

553

16.（2022屆河南省開封市高三三模）在平面四邊形ABC。中，E,產(chǎn)分別為A。，AC的中點，則下列向量與

AB+OC不相等的是（）

A.2EFB.AC+DBC.EB+ECD.FA+FD

17.（2022屆福建省原門高三上學期期中）設。為△ABC所在平面內一點，滿足2OA-7OB-3。。=0,則

△ABC的面積與^BOC的面積的比值為（）

812

A.6B.—C.—D.4

37

18.（2022屆湖南省婁底市高三上學期期中）如圖，在平行四邊形4BCO中，下列計算正確的是（）

B

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

muuuuuuuunu-----__

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=O

19.（多選）（2022屆河北省廊坊市高三模擬）已知實數(shù)機、〃和向量〃、b，下列結論中正確的是（）

A.m^a-bj=mci-mbB.^tn-n）a=ma-na

C.若ma=mb,則a=Z?D.若/〃“=x0）,則〃？=〃

20.（多選）（2022屆福建省華安縣第一中學高三上學期期中）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是

八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形A8COEFG”,其中=則下列結論正確的有（）

B.OB+OH=-y/2OE

UUUUUUUlBlUIM1

c.AHHO=BCBOD.AHAB=\-^!2

21.（2022屆林省東北師范大學附屬中學高三下測試泮徑為4的圓。上有三點A、B、C,滿足OA+AB+AC=0,

點P是圓。內一點，則的取值范圍為

22.（2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質量監(jiān)測）在平面直角坐標系中，△ABC滿足4-1，0）,B（l,0）,

T->

->TAR4r

GA+GB+GC=0^GP=GA+/l廠燈+尸］，NAC8的平分線與點P的軌跡相交于點/,存在非零實數(shù)〃，

\AB\\AC\

使得則頂點。的軌跡方程為

四、高考真題練

23.（2022新高考仝國卷I）在△48c中，點。在邊人8上,8￡>=2ZM.記。八=皿。￡>=〃，則CB=

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2,77+3〃

24.（2018高考全國卷I）在A/WC中,A。為8c邊上的中線，E為A。的中點，則E3=（）

3113，3113

A.-AB——ACB.-AB——ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

25.（2015高考全國卷I）設D為ABC所在平面內一點3C=3CO,則（)

-1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

五、綜合提升練

26.(2022屆湖北省武漢市高三5月全仿真模擬)如圖，在等腰44BC中，己知卜⑷=1,4=120。,七,尸

分別是邊A氏AC的點，且A￡=/IA及A尸=〃AC,其中且義+2//=1,若線段8C的中點分別

為M,N,則|朋必的最小值是()

C

A.立B.V7

C.—D.V21

14

27.(多選)已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意均有口+(1-以￡氏則

稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有().

A.{(x,y)|y>eAJB.{(x,y)?NInx)

C.{(x,y)|x+2y-l>0}D.{(x,y)|x2+/<1}

28.(2022屆全國“星云”大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考)已知.A3C為等邊三角形，點G是./3C的重心.過點G

的直線/與線段AB交于點￡),與線段AC交于點E.設第=2/，AE=jLiAC,My+—=_________；」ADE

Xf.1

與周長之比的取值范圍為.

29.已知以。8是非零不共線的向量，設℃=《以+缶困定義點集哈,鏟=KBKC

\KB\

當/，勺￡“時，若對于任意的廠之2,不等式%占卜。|/4例恒成立，則實數(shù)c的最小值為,

30.已知。是線段AB外一點，若。4=〃，OB=b.

(1)設點兒、4是線段AB的三等分點，0AA、△OAA及△041的重心依次為G、G、5，試用向

TC〃、b表示OG\+OGi+OG3；

（2）如果在線段人5上有若干個等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論.

第22練平面向量的概念及線性運算

一、課本變式練

1.（人A必修二P4習題6.1T3變式）判斷下列四個命題：①若〃//人則〃=②若1。1平1,

則a=Z>;③若la1=1〃I，則a//〃；④若a=Z>,則|a|=l〃l.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】因向量共線，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若〃"則是假命題，

①不正確；

因模相等的向量，方向不一定相同，即若1。1=1回，則是假命題，②不正確；因模相等

的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若1〃1=1加，則〃/必是假命題，③不正確；由相

等向量的定義可知：若〃=〃，則Ia|=l〃l是真命題，④正確，所以，正確命題的個數(shù)是1.故

選A

2.（人A必修二P4習題6.1T4變式）如圖，設0是正六邊形A8CDEF的中心，則與44不

相等的向量為（）

【答案】D

【解析】由題意，AB=OC=FO=ED，2A4=尸。.故選D.

3.（人A必修二P22習題6.2T4變式）化簡MN+NP+PQ=（）

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

【答案】B

【解析】MN+NP+PQ=MN+NQ=MQ.

4.（人A必修二P16練習T3變式）已知向量"，的不共線，〃=。+36，〃=2q+成”若

allb，則％=?

【答案】6

【解析】因為〃=6+36，/?=四+生且，所以存在，eR,使得〃=山，即

4+3e7=t（2e}+溫）,

2t=1?

因為馬，e不共線，所以】一；解得，=7，x=6.

二、考點分類練

（一）平面向量的概念

5.下列關于零向量的說法正確的是（）

A.零向量沒有大小B.零向量沒有方向

C.兩個反方向向量之和為零向量D.零向量與任何向量都共線

【答案】D

【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；

兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；

零向量與任意向量共線，D正確.故選D.

6.下列說法正確的是（）

A.向量AB//CD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.若a=b,b=c,則a=c

D.共線向量是在一條直線上的向量

【答案】C

【解析】對于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量48//CO就是A3所在的直線與。。所在的直

線平行或重合，故選項A不正確：

對于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項B不正確；

對于C：若a==c,則〃=c，故選項C1E確；

對于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線,

故選項D不正確；故選C.

7.（多選）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1,在其中標出了6個向量，則在這6個向

量中（）

A.向量CH,OG的模相等B.|AE|=>/i0

C.向量OG,“尸共線D.\DG\+\HF\=\（）

【答案】BC

【解析】對于A,因為卜1="+>=后,卜揚+2?=2&,所以|CH卜|岡，所以

A錯誤，

對于B,因為,目=仔丁=>/方，所以B1E確，

對丁C,因為NCDG=NC"/=45c,所以2X7〃〃尸，所以向展DG,“/共線，所以C正確,

對于D,因為|回+|”耳=7?育+配幣=5近工10,所以D錯誤,

故選BC

（二）向量的線性運算

8.（2022屆廣東省揭陽市揭東區(qū)高三上學期期中）如圖所示，矩形A8CO中，若8"=62，

A.3e,+2e2B.3et-2e2

C.261+36D.2e,-3e2

【答案】A

fTfT__*1Tl――1-*T—>—>

【解析】已知8c=6&，DC=4e,，由圖可知，OC=%AC=：；（>4B+4。）=7（亦+8。=3q—24.

1222

故選A.

9.數(shù)學家歐拉于1765年在池的著作《三角形的兒何學》中首次提出定理：三角形的外心、重

心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被

稱為三角形的歐拉線，設點O,G,”分別為任意sABC的外心、重心、垂心，則下列各式一定

正確的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

「…AO+2AH、M2130+BH

C.AG=-------------D.BG=-------------

33

【答案】D

【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，

.1.1.a.

：.OG=-GH,AOG=-OH,OH=-GH,A錯誤，B錯誤：

232

AG=AO+OG=AO+-OH=AO+-（AH-AO}=2A°^AHC錯誤；

33、,3

BG^BO+OG=BO+-OH=BO+-（BH-BO]=2，D正確.

33、J3

故選D.

H

(三)根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)

10.(2022屆內蒙古包鋼第一中學高三一模)已知向量,，外是兩個不共線的向量，。=20-0

與〃=弓+&2共線，則2=()

A.2B.—2C.—D.~

22

【答案】C

【解析】因為a=2q—g與8=q+4心共線，所以版=〃，攵=0，所以

k(2e1-e2)=el+Ae2=>2ke}-ke2=ey+Ae2,因為向量q,e2是兩個不共線的向量，所以

解得行j

[-k=z2

故選C.

11.(2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學期三模)在.ABC中，A=p點。在線段A8上，

點E在線段AC上，且滿足24。=OB=2,4E=EC=2,CD交BE于F,設=〃，AC=b>

則A尸-3C=()

6?17「29卜32

AA.-B.—C?—D?

5555

【答案】B

【解析】設。尸=2OC，EF=x，EB,因為

AF=AD+DF=-AB+ADC=-AB+A(DA+AC)=-AB+A(--AB+AC)=^—^AB+1AC.

33333

1111\-u

AF=AE+EF=-AC+JLIEB=-AC+^(EA+AB)=-AC+^--AC+AB)=—^-AC+^AB,

2=—

5

所以有，

AF-BC-+—XC)(—AC)=——AB+—AC——AC-AB,

因為Aug,AB=3>AC=4?

UlUUUUU12I117

所以A/8C=/IF^C=--x9+-xl6--x3x4x-=—,故選B

JJJ/rJ

（四）向量共線定理的及應用

12.（2022屆重慶市第十一中學校高三3月月考）下面四個命題哪些是平面向最〃，力共線

的充要條件（）

A.存在一個實數(shù)4,〃=4■B.〃兩向量中至少有一個為零向量

C.”，人方向相同或相反D.存在不全為零的實數(shù)4,〃，焉+4=0

【答案】D

【解析】當〃為零向量，方為非零向量時，a//b?則AC選項錯誤.

當圓。為非零向量且〃力同向時，?！Γ瑒tB選項錯誤.

根據(jù)共線向量基本定理的推論可知，D選項正確.故選D

13.（2022屆山西省懷仁市第一中學高三上學期第月考）在.48C中，CM=2MB，點。為AC

的中點，8。交AM于點N.

（1）證明：點N為3Q的中點；

⑵若NANM=-6,求,必.

【解析】（1）證明:設BNMBQ,

???點。為AC的中點，

BQ=；BC+gBA,

BN=k（-BC+-BA]=-BC+-^A=—BM+-BA.

（22）2222

QN,M,A三點共線，

然A1

--解得A--

222???點N為3。的中點.

（2）由（1）知，AN=-AB+-AQ=-AB+-AC.

2224

AM=mAN=-AB+-AC,

24

\M?B,C三點共線，二（=1,解得=

:.NA=-3NM，:.NA.NM=-3NM，NM=—6,

.?.M/=2，，|NM|=&，.1AM|=4X/L

三、最新模擬練

14.（2022安徽省六安一中、阜陽一中、合肥八中等校高三聯(lián)考）設d、〃都是非零向量,

ab

下列四個條件中，使同=同成立的充分條件是（）.

A.a=3bB.allbC.a=-bD.〃〃〃且同=同

【答案】A

ab

【解析】由時可得力、。同向，故只有4=3〃時4、〃同向，而BCD只能確定。、〃共

線，

故選A

15.（2022屆河南省許平汝聯(lián)盟高三下學期核心模擬）已知向量q,0?不共線，且向量2弓+3“2

與2q—5s平行，則實數(shù)幾=（）

A.--B.—C.------D.—4

553

【答案】B

【解析】+3%與么—56平行，的，e；向量不共線，

**?存在實數(shù)k,使得Aet+3e2=k（2e,-5e2）=2ke]-5ke2,

???2U=-25k,V解得F6

16.（2022屆河南省開封市高三三模）在平面四邊形"CO中，E,尸分別為A。，3c的中點，

則下列向量與4B+OC不相等的是（）

A.2EFB.AC+DBC.EB+ECD.FA+FD

【答案】D

【解析】因為在平面四邊形A8CO中，E,尸分別為A。,8C的中點，

所以BF=FC=-BC,

22

因為EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF

所以2七/=七。+。。+。/+￡4+48+8r=48+。。.

所以A正確，因為。C=DA+4C,A8=AO+QB,

所以。C+A3=￡）A+AC+AQ+O8=AC+O8，所以B正確，

因為。C=QE+￡C,AS=A￡：+E6,

所以。C+AB=OE+EC+4巨+KB=EC+EB，所以C正確,

因為以十尸。=FB+BA+"C+CO=3八+CO=-(AB+DC),

所以D錯誤，故選D

17.（2022屆福建省原門高三上學期期中）設。為△ABC所在平面內一點，滿足2OA-708-

30c=0，則△A8C的面積與△80C的面積的比值為（）

Q）2

A.6B.-C.—D.4

37

【答案】D

【解析】不妨設OA=2Q4,Og=-7O8OC=3OC,如圖所示，

根據(jù)題意則04,+。4+OC,=0,

即點O是aAIBICI的重心，所以有SOA4=SOAG=S0rtic、=k,

刀卬乂，S.OBC-OBOC=Is*-OAOB=Is*0Aoe=I

乂"內S*GOB.OQ21飛密4OA314'S°AG0Aoe6'

刃l(wèi)，么sOBC=2?smc=：k

SABC=SOAR+SOAC~ORC

14621

-k

故4ABC的面積與仆BOC的面積的比值為十=4.故選D

18.（2022屆湖南省婁底市高三上學期期中）如圖，在平行四邊形48co中，下列計算正確

的是（）

D

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

uuuuuuumiuuu

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=O

【答案】ACD

【解析】由平行四邊形加法法則可得：AZ?+4O=AC，A正確；

由三角形力口法法則AB+CD+DO=AB+CO=AB+OA=OB，B錯誤；

AB+AD+CD=AC+CD=AD^C正確；

AC+BA+DA=BC+DA=（）^D正確.故選ACD

19.（多選）（2022屆河北省廊坊市高三模擬）已知實數(shù)陰、〃和向量〃、b，下列結論中正

確的是（）

A.rn（a-b^=ma-mbB.（in-n}a=nia-na

C.若ina=mb，貝=〃D.若，"a=*0）,則〃

【答案】ABD

【解析】對于A選項,^ma-mb,A對；對于B選項,（m-n）a=ma-na,B對；

對于C選項，若ma=mb,則一〃）=0,所以，加=0或a=〃，C錯；

對于D選項,若〃〃7=/0）,則（"［一〃）。=0,所以,/〃一〃=0,即，〃=〃，D對.

故選ABD.

20.（多選）（2022屆福建省華安縣第一中學高三上學期期中）八卦是中國文化的基本析學概

念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFG”,其中|OA|=1,

則下列結論正確的有（）

A-如-#

B.OB+OH=-y/2OE

uuuminHimuuu

c.AHHO=BCBOD.AHAB=\-yf2

【答案】ABD

【解析】對于A，由正八邊形可得4404=45，則

0A0D=\oA-lODlcosZ.AOD=1x1xcos135=--,A正確;

對于B,連接交04于“，由|0叫=|。q=1,N〃OB=90可得|0M|=等,由向量的平

行四邊形法則可得O3+OH=2OM，

又|O￡|=1,則OB+O"=2OM=-夜OE，B正確：

對J-C,AHHO=-HAHO=-\H^\HC^CGSZ.OHA,BCBO=\BC\\BO\COSZ1OBC.

易得4)HA=4)BC=67.5,又|網(wǎng)=用,照=忸。,則那.能=_隴.能,C錯誤;

對于D,由余弦定理可得A8『二|04『+|0到:2|OA||OA|cos?=2-血，又

網(wǎng)二碼ZHAB=135,

則A〃.A8=k"HMcos/”48=M8『cosl35=1-心,D正確.故選ABD.

21.(2022屆林省東北師范大學附屬中學高二下測試)半徑為4的圓。上有二點A、B、C,

滿足Q4+A8+AC=0，點，是圓。內一點，則P4PO+PB.QC的取值范圍為.

【答案】卜16,56)

【解析】如圖，0A與BC交于點D,由OA+A5+AC=0得：OB=CA，

四邊形0HAe是平行四邊形，又04=08=4,所以四邊形08AC是菱形，則AD=0Q=2,

BD=DC=24i，

由圖知PC=PD+DC，而OB=-OC，

，PBPC=Plf-DS=\PD|2-|DB『=|T2，

同理0A=PO+DA，PO=PD+DO,而OA=-。。，

，PAPO=Plf-DO1=|PDf-|DO|2=|PDf-4，

/.PAPO+PBPC=2\PD|2-16,

丁點尸是圓內一點，則041Poi<6,???一16￡24。0+/)8。。〈56.故答案為卜16,56)

22.(2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質量監(jiān)測)在平面直角坐標系中，△A4C滿足A(-l,

->TAuAC

()),4(1,0),G}+G%+G3=0，GP=GA+2廠”+廠燈，NACB的平分線與點P的軌跡

\AB\\AC\

相交于點/，存在非零實數(shù)〃，使得己=4彘，則頂點c的軌跡方程為

22

【答案】；v十］v=1(q*0)

［解析】設C(M}'),因為GZ+GI3+GC=0，所以G是_A8C的重心,

->T->->

——ARAC*ttAftAC,

因為GP=GA+A廠口+廠口，所以GP—GA=4尚斗&

眄HI\AB\\AC\

所以A3=/I

所以點P在?c的先平分線r_,

因為NAC8的平分線與點P的軌跡相交于點/,所以點/為AA4C的內心.

-a+b+2xaxO+〃xO+2y、.-a+b+2x

所以點/(---------,--------------)，M即rI/(---------Z+H2)

a+b+2a+b+2a+b+2

又排=〃石,「.易〃荒，所以G/與x軸平行，又G(小?，

所以.三,.?.〃+/=4>|48|,

a+b+23

所以點。的軌跡是以AB為焦點，長軸長為4的橢圓，

當。是橢圓的長軸的端點對，不能構成三角形，所以不能取到橢圓的長軸的端點；

當。是橢圓的短軸的端點時，d=6,與已知存在非零實數(shù)〃，使得d=矛盾，所以不

能取到橢圓的短軸的端點.

又橢圓的焦距為2,所以橢圓的方程為￡+$=1.

43

所以點C的軌跡方程為［+?=1（外工0）.

四、高考真題練

23.（2022新高考全國卷1）在二ABC中，點。在邊上,BD=2D4.記C4=，〃,CO=〃,

則CB=

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.

2切+3〃

【答案】B

【解析】因點。在邊AB匕且BD=2DA，所以BO=2DA，即CD-CB=2（CA-CD）,

所以C3=3CO—2c4=3〃-2根二-2切+3〃.故選B.

24.(2018高考全國卷【)在A4BC中,4。為BC邊上的中線，E為AO的中點，貝lj悌二

()

3113-3113

A.—AB—ACB.—AB—ACC.—AB4—ACD.—ABH—AC

44444444

【答案】A

【解析】在AABC中，AD為3c邊上的中線，E為A3的中點，

EB=AB-AE=AB--AD=AB--(AB+AC}=-AB--AC,故選A.

22、f44

25.（2015高考全國卷I）設D為ABC所在平面內一點8C=3CQ,則（）

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

—.—.-]一]一一1一4

【解析】由題知AO=AC+CO=AC+-3C=AC+-(AC-43)==一一AB+-AC,

3333

故選A.

五、綜合提升練

26.（2022屆湖北省武漢市高三5月全仿真模擬）如圖，在等腰△A8C中，已知

卜8卜卜4=1,/4=120。.民尸分別是邊AB,4c的點，RAE=AAB,AF=^ACf其中

4〃?0,1）且/1+2〃=1,若線段砂,8C的中點分別為M,N,則|MN|的最小值是（）

c

N

AEB

A.當B.>/7

C.—D.ViT

14

【答案】C

【解析】在等腰△ABC中，,@=卜。卜1,4=120"，貝]A8-4C=M8||AC|cosA=—g,

???￡尸分別是邊A氏AC的點，

----1一一1一——1

AAM=-(AF+AE)=-(//AC+AAB),AN=-(AB+AC),而

MN=AN-AM=匕(1-/l)4B+(1-〃)4C],

2

???兩邊平方得：

—<01..2?■■21

MN=-[(1-4/AB+2(1-2)(1-u)AB-AC+(\-^AC]=-[(1-A)*2*4-(1-A)(l-//)+(l-//)2]

44

一,而A+2〃=l,

4

23

???4加2=7/_4〃+1=7(〃-5'+7又Z〃e(0,l),EPz/efoil,

44V7

???當〃\時，MN?最小值為京，即胸的最小值為普.故選C

27.(多選)已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意，直0,1),均有

ta+(\-t)heEf則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有().

A.{(x，y)|yNe'}B.{(x,.y)|y>inx}

C.{(x,y)|x+2y-l>0}D.{(x,y)|x2+/<1}

【答案】ACD

【解析】設OA=Q,OB=b，。。=心+(1-小，則C為線段A4上一點，

因此一個集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點的連線上的點仍在該區(qū)域內，

四個選項所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

AB

CD

觀察選項A,B,C,D所對圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.故選ACD

28.（2022屆全國“星云”大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考）已知一例C為等邊三角形，點G是..A8c的

重心.過點G的直線/與線段AB交于點D,與線段AC交于點E.設注="工，AE=,

則!+,=__________；弓々48。周長之比的取值范圍為___________.

X〃

【答案】3

32o

【解析】連接AG并延長，交BC于F,如圖所示

由題意得，r為4C中點,

所以A尸=g(4B+ACj

又G為重心，所以AF=：4G,

所以3AG=」A8+AC)=-!-4Q+-!-AE,upAG=—AD+—AE

22',2/12〃3，3〃

因為D、G、E三點共線，

所以或+品，即%卜?

設“8C的邊長為I,設“4花與工A8C周長之比

則

G_3k耳_331ABi

2

在中，由余弦定理得cosA=-A--\A--BL\+一〃2一Ad一_J麗L=—1,

22|AB|-//|AC|2

、）DE_____

所以|網(wǎng)2=（儲+,2_刈朋'即一-=y/片+川一辦,

AH

由(1)可得｝+%=3,即％+〃=3"代入上式，可得"L=M+/2人與

由題意得O〈/IW1,O<〃WI,

所以;21,,21,

X//

乂%3一常,所以1弓A

141

因為1?丁42,所以不，

41

令t一%,Wlj-</<-,

92

41

所以/⑴在上為增函數(shù)，

「2I6]

所以/(/)e,

32o

所以二ADE與.A8C周長之比的取值范圍為+g